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高一新生入学实验班选拔考试数学试卷含答案

XX 中学高一新生入学实验班选拔数学试卷 时间 90 分钟 一、选择题(5′×6=30′) 总分 100 分 2 【1】若 2007 ? m ? m ? 2008 ? m ,则 m ? 2007 的值为( ) A.2007 B.2008 C.2008 2 D.-2008 2 【2】在平面直角坐标系中有两点 A(-2,2),B(3,2),C 是坐标轴上 的一点,若△ABC 是直角三角形,则满足条件的点共有( A.1 个 等于( A.-1 2 ) B.2 个 2 C.4 个 2 D.6 个 【3】若实数 n 满足(n-2011) +(2012-n) =1,则(2012-n)(n-2011) ) B.0 C. 1 2 D.1 2 【4】 二次函数 y=-x +6x-7, 当 x 取值为 t≤x≤t+2 时, y 最大值=(t-3) +2, 则 t 的取值范围是( A.t=0 ) C.t≥3 D.以上都不对 B.0≤t≤3 【5】观察图(1),容易发现图(1)中的∠1=∠2+∠3.把图(1)推广 到图(2),其中有 8 个角:∠1,∠2,…,∠8.可以验证∠1=∠2+ ∠5+∠8 成立.除此之外,恰好还有一组正整数 x,y,z,满足 2≤x≤y≤z≤8,使得∠1=∠x+∠y+∠z,那么这组正整数(x,y,z) =( ) A.(3,4,7) B.(3,5,7) C.(3,3,7) D.(4,6,7) 【6】 二次函数 y=ax +bx+c 的图象如下图, 则以下 结论正确的有( ) ①abc>0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c <3b;⑤a+b>m(am+b) (m≠1,m 为实数) 2 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 二、填空题(5′×4=20′) 【7】若关于 x 的分式方程 1 a ?1 ? 在实数范围内无解,则实数 x?3 x?3 a= 。 【8】已知关于 x 的不等式 mx-2≤O 的负整数解只有-1,-2,则 m 的取值 范围是 。 【9】如图,已知圆 O 的面积为 3π ,AB 为直径,弧 AC 的度数为 80°, 弧 BD 的度数为 20°,点 P 为直径 AB 上任一点,则 PC+PD 的最小值 为 。 【10】如图,M、N 分别为△ABC 两边 AC、BC 的中点,AN 与 BM 交于点 O, 则 △BON的面积 = △ABC的面积 。 三、解答题(12′×3=36′) 【11】如图,已知 ABCD 是圆 O 的内接四边形,AB=BD,BM⊥AC 于 M,求证: AM=DC+CM。 【12】推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列,丙可以看见甲、乙,乙可 以看见甲,但看不见丙,甲看不见乙、丙。现有 5 顶帽子,3 顶白色,2 顶黑色.老师分别给每人戴上一顶帽子(在各自不知道的情况下,且不知 道剩余帽子的颜色) 。老师先问丙是否知道头上的帽子颜色,丙回答说不 知道;老师再问乙是否知道头上的帽子颜色,乙也回答说不知道;老师最 后问甲是否知道头上的帽子颜色,甲回答说知道。请你说出甲戴了什么颜 色的帽子,并写出推理过程. 【13】预计用 1500 元购买甲商品 x 个,乙商品 y 个,不料甲商品每个涨 价 1.5 元,乙商品每个涨价 1 元,尽管购买甲商品的个数比预定数减少 10 个,总金额仍多用 29 元.又若甲商品每个只涨价 1 元,并且购买甲商品 的数量只比预定数少 5 个,那么甲、乙两商品支付的总金额是 1563.5 元. (1)求 x、y 的关系式; (2)若预计购买甲商品的个数的 2 倍与预计购买乙商品的个数的和大于 205,但小于 210,求 x、y 的值。 四、解答题(14′×1=14′) 【14】如图 1,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为 2,若 △ABC 固定不动,△AFG 绕点 A 旋转,AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E (点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合) ,设 BE=m,CD=n. (1)求证:△ABE∽△DCA; (2)求 m 与 n 的函数关系式,直接写出自变量 n 的取值范围; (3)以△ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴,BC 边上的高所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系(如图 2) .在边 BC 上找一点 D,使 BD=CE,求出 2 2 2 D 点的坐标,并通过计算验证 BD +CE =DE ; 2 2 2 (4)在旋转过程中, (3)中的等量关系 BD +CE =DE 是否始终成立?若成 立,请证明;若不成立,请说明理由. 答案 1、B 7、1 3、B 2 8、-1≤m<3 2、D 4、C 9、3 5、C 10、 6、A 1 6 11、证明:在 MA 上截取 ME=MC,连接 BE,则△BEC 为等腰三角形, ……4′ ∵AB=BD,∴∠BAD =∠BDA=∠BCA=∠BEC,∴∠BEA =∠BCD(等角补角相 等) ……8′ 又∵∠BAC =∠BDC, AB=BD,∴△ABE≌△DBC,∴AE=CD,∴AM=DC+CM。 ……12′ 12、解:甲戴的是白色帽子。……2′ 如果甲戴的是黑帽子,则当乙戴黑帽子时,丙就知道自己戴的是白帽子, 当乙戴白帽子时,丙不知道自己帽子的颜色,但乙可以由丙的否定回答判 断出自己戴的是白帽子,所以,当两人都不知道自己帽子的颜色时,甲戴 的一定是白帽子。 ………12′ 13、解:(1)设预计购买甲、乙商品的单价分别为 a 元和 b 元,由题意 可得 ax ? by ? 1500 ? ? ?(a ? 1.5)( x ? 10) ? (b ? 1) y ? 1529 ? (a ? 1)( x ? 5) ? (b ? 1) y ? 1563.5 ? ……6′ 并化简,得 x+2y=186. ……

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