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数学竞赛中的递推数列问题


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数 学 通 讯 

2 0 0 1年第 2 2期 

数 学 竞 赛 中 的 递 推 数 列 问题 
赵小云  
( 杭州 师范学 院 , 浙江 杭州 3 1 0 0 3 6 )  

在 各级 各类 的数 学 竞 赛 中 , 大 量 的数 列 问题 都 
是 由递 推 关 系 给 出 的 .建 立 递 推 关 系 是 研 究 数 列 的 

当 , l =1时有 Sl =a l =2 a l 一1 , 得 Sl =a l =1 .   又有 
得 

=2 a   一1 =2 (   —S   一 1 ) 一1  
=2 S 一2S  一 1 — 1.  

各 种性 质 以及许 多 综 合 数学 同题 的有 效 手 段 ( 例 如  某些 组合 数 的计 算 同 题 ) . 因此, 运 用 递 推 关 系 解 决 
同题 是 一种 非 常重 要 的 途 径 . 本 文 我 们 讨 论 处 理 递  推 关 系的一 些 常用 方法 .  

=2   一 l +1  

:2 ( 2 S   一 2 +1 ) +1 :2 2 S   一 2 +2+1  
:2 3 S   3十2 2+2+ 1= … 


1 迭 代法  迭代 法 就是 反复 运用 题设 所给 数 列 { n  } 的递 推  关系 进行 代换 , 每代 一 次 , 脚 标  就往 下 降 , 直 到 能  用初 始值 表示 a  为 止 . 但是 在 大多 数 情 况 下 , 迭 代  之后 不能 写成 简 单 的形式 , 因此迭 代不 出任何 结 果 ,   这时 也可 考 虑进行 适 当的变 换 , 然 后再 进 行迭 代 。  

:2 ” 一  ? Sl +2” 一2 +2 ” 一 3 + … +2+ 1  
=2  一 1 .  

我们 记 数 列 {   } 的 前  项 之 和 为 S  , 则 由  b k + 1 =a   +b k ( 走=1 , 2 , …) , 得 
S  = S” 一1 + S  一 l +b l  

例1   ( 1 9 9 6年 全 国 高 中数 学联 赛试 题 )设 数 

=S   一 1 +( S   一 2 +S  一 2 +b 1 ) +b l  
=S ” 一1 + S” 一 2 +S   ” 一 2+2bl  
= SH 一1 + SH 一 2 +S H 一 3+ S  一 3 +3 bl =… 

列{ a   } 的前  项 和  =2 a   一1(   :1 , 2 , …) , 数 列 
{ b   } 满足 b l =3 , b k + l =a k +  ( 走=1 , 2 , …) . 求数 列  { b   } 的前 n项 和 .  
解 由  =2 a  一1( , l =1 , 2, …) ,  

=S   一 l +S   一 2 +… +S2 +S l +S   l +( , l 一1 ) b I   =S   一 l 十S   一 2 +… +S 2 +S l +6 l +( , l 一1 ) 6 l  

纠 正 为 
1 9 1. 5= 3 a — b+ c一 1 . 1 g 7=2b+ c.  

≤ l 噼1 0 <一 专,  ∈ N } 的真 子集的 个数是  
5   ( 1 9 8 6年 全 国高 中 数 学联 赛 试 题 )设 , (  ) =  
4x


习  l 啦 [   (   ) ]:  

题  [ 1 0 g {( 1 o g 3 y) ]=   (   )  

1   ( 1 9 8 2 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 ) 如 果 

则 和 式 ,( 1

)+,( 丽 2 )+… +  

l o g 5 [ 1 噼 ( 1 o g 5 2 ) ] =0 , 那么 
( A)z<x<y.   ( C )   <z<x.   2 ( B)   < <2.   ( D )z <y<x.  

, ( i 1 0 丽 0 0 ) 的值等于
. 
— —

6   ( 1 9 8 9年 全 国高 中数 学联 赛试 题 )若 l o g .   < 
1 , 则 a的取值 范 围是— — .  

( 1 9 9 9年全 国高 中数 学联 赛试 题 )若 ( 1 o g 2 3 )  一   ( 1 0 g s 3 )  >( 1 o g z 3 )   一( 1 o g s 3 ) ~, 则  ( A)   —j , ≥O .   ( C)   —j , ≤0 .   ( B)   +  ≥O .   ( D)   +  ≤0 .   (   )  

7 ( 1 9 9 1年全 国 高 中数 学联 赛 试题 )已 知 0<a< 
1 ,   +y=0 , 证 明 

(  +  ) ≤  2 + 专  
答 案 与 提 示 
1 ( A) . 2 ( B ) . 3 ( C) . 4  2 ∞一1 .  
5  5 0 0 .   6  0 < a< 1 或 口>  . 7 _ 备 .  

3   ( 1 9 9 8年 全 国高 中数 学联 赛试 题 )若 a>1 , b> 
1 , 且 l g ( a+b ) =l g a+l g b , 则 l g ( a一1 ) +l g ( b一   1 ) 的值 是  ( A)l g 2 .   ( C)0 .   ( B )1 .   ( D)不是 与 a, b无关 的 常数 .   (   )  

4 ( 1 9 9 6年 全 国高 中数 学联 赛试 题 )集 合 {  I 一1  

( 收稿 日期 : 2 0 0 1 一o 8 —2 0 )  

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2 0 0 1年 第 2 2期 


数 学 通 讯 

只有 :  

4 1  
由递 推 关 系 可 知 a  , a   + l , 口   + 2 的 奇 偶 性 

( 2 —1 ) +( 2 2 —1 ) +… +( 2 ” 一  一1 ) +, z 6 l  

=1 +2+2 2 +… +2 ” 一  一(   一1 ) 一1 +, z 6 l   =2 ” +( b l 一1 )  一1 .  
由于 b l =3 。 故有 S   =2 ” +2 n一1 .  

1 )奇偶 奇 ; 2 )偶奇 奇 ; 3 ) 奇 奇 偶三 种情 形 .  
由a l =1 , a 2 =2 。 a 3 =7 , 均 不 是 4的 倍 数 。 为 此 



求解 有关 递 推 关 系 的 数 列 问 题 时 , 常会 用 

我 们猜 测 { a   } 中所有 的项都 不是 4的倍数 .  
事实上, 假设 口 , , l 是 4的倍 数 , m 为 最 小 下 标 

到迭 代法 :   a H =a l +( a 2 一a1 ) +( a 3 一a 2 ) +… +( a H —a H — 1 ) .  
另外 , 数 列 的通 项 a  与 前  项 和  的关  

( m>3 ) , 则 口 , , l — l , a n , 一 2 为 奇数 , 口 , , l 一 3 为偶 数 .  
由a  一 l =5 a  一 2 —3 a  一 3 和 a   =a  一 1 一a m一 2  
得 
3 口 埘一 3 =4 口 埘一 2一 a n , ,  

a   =   —   — l (  ≥ 2 )  
也是 十分 重要 的关系式 .  

例2   已知数 列 { a   } 满足: a o :1 , a l :5 , 且 a  
:  

故口 埘一 3 是 4 的倍 数 , 这 与 假 设 中 的最 小 下 标 矛盾 .  

墨 _ _   上   n ≥2 )试 求 an的 表 达 式 . z  


于是 , 由 0是 4的倍 数 可知 a   ≠0(   =1 , 2 , …) .  



an一2  

例4   ( 1 9 9 1 年 全 国高 中数 学联 赛 试题 )设 a  
为下述 自然数 N 的 个数 : N 的各 位数 字 之 和为 r / 且 



由递 推 关 系 , 有 
2 a   一 2 a H=2 口  一 l 一3 口 H —l 一9,   2 aH —I a H +l =2 口   一3 a H一 9,  

每位数 字 只 能取 1 , 3或 4 , 求证 a 2 n 是完 全 平 方数 ,  
这里 ,  =1 , 2 , ….  

两式 相 减 , 得 



设 N=  l  2 …  , 其 中  l ,  2 , …,   取 值 
l+  2+ … +  =  .  

a n ( 2 a   +2 a   一 2 —3 ) =a   一 l ( 2 a   + 1 +2 a   一 1 —3 ) .  
于是  !  
. _ 2 -3   :— 2 a . +2 a


1 , 3或 4 , 且 

假 设  >4 , 且 删 去  l , 则 当  l依 次 取 1 , 3 , 4  
时,  2 +  3 +… +   4分 别 等 于  一 1 ,   一3 ,   一4 ,   故 当  >4时 , 有 



 

= 

±   =   二三 :… 
a n一2  


2 a2 +2 a o- 3
: —

a i  

:5 ( 容 易求 得 口 2 :1 3 ) .   一  
'  

aH = aH一1 + aH一 3+ aH



4  

( 1 )   ( 2 )  

故 2 口  +2 a   一 2 —3 =5 a   一  

我 们 先用 归纳 法证 明 :  

即 有   一2 a  ̄ - 1 -3=   1  口   一 1 —2 a   一 2 —3 )  
上    一 2 —2 a   一 3 —3 )   一2 2  口


口 2 H + 1 =a 2 H +a 2 H 一 1  

由于 a l =a 2 =1 , a 3 =2 , 故 当  =1时 ( 2 ) 成立 .  

设  =惫时 ( 2 ) 成立 , 即a 2   + l =口   +a 2   — l , 则 
由( 1 )  
a2 k+3= a 2 k+2 + a2k + a2k一 1= a 2 k+2 + a 2 k+1.  

=… =   _( a l 一2 口 0 —3 )  
= 0。  

可见 ( 2 ) 对 k+1也 成 立 . 于是( 2 ) 对 一 切  ∈  
N+ 成立 .  

从 而有 a   一2 a   一 l 。 _3=0 .  

因 此 ,a   +3=2 ( a   一 l +3 ) =   a   一 2 +3 )   =… =2 ”a 0 +3 ) =2 ” ”.  



再用归纳法证明- ' a 2 私2   + 2 =口 i   + l  
( 3 ) 成立 .  

( 3 )  

事实 上 , 因 口 2 =1 。 a 3 =2 , a 4 =4 , 故 当  = 1时 



a n= 2  

一3.  

2 归 纳法 

假设  =足时( 3 ) 成立 , 即 a 2 k a 2   + 2 =口  + l , 则  由 ( 1 ) , ( 2 ) ,   a 2   + 2 a 2   + 4 =a 2   + 2 ( a 2 k + 3 +a 2 k + l +a 2 k )  
=a 2 k + 2 a 2 k + 3 +a 2 k + 2 a 2 k + 1 +口 缸+ 1  
a2 k+2a 2  +3 + a 2 k+la2   +3   口  + 3.  

因 为递 推关 系往 往 是 a  与 a   一 l 等 项 之 间 的一 
种关 系式 , 因此 , 在 求解 数 列递 推 关 系 的 问题 时 , 不 

完 全归 纳 法与数 学 归纳 法常 常会 大显 身手 .  

例3   ( 1 9 8 8年 全 国 高 中数 学联 赛 试题 )已知 
al =1 , a 2= 2,  

可见 ( 3 ) 对 k+1也 成 立 , 故( 3 ) 对 一 切  ∈N+  
成立 .  

I   5 a   + l 一3 a   。 a   ? a   + l 为偶 数 时 ,  

a n + 2  ̄ 1 I   a   n +   1 一   a   H ,   a   H . 。   a   H +  可 1 为 奇 数 戥 时 口 、 J . -  
试证 : 对 一 切  ∈ N, a   ≠0 .  

最后 , 我 们 仍 用 归 纳 法 证 明题 设 结 论 .  

显然,  =1时结论 成立 , 若 a 2 k 是完 全平方 数 。 则 

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4 2  

数 学 通 讯 

2 0 0 1年 第 2 2期 

由( 3 ) 可知 a 2 k + 2 也 是 完 全 平方 数 . 可 见  =正+1时  结论 也真 . 故对一 切  EN+, 有a 2 n 是完全 平方 数 .  

( A)Xl O 0 =一a, S l 0 0 =2 b—a.   ( B)Xl O 0 = 一b , S 1 0 0 =2 b—a.   ( C)   1 0 0 = 一b, S 1 0 0 =b—a.   ( D)   1 0 0 = 一a, S l 0 0 =6一a.  

3 构造 法 
由数 列 的递 推关 系式 经过 适 当的 变换 构 造 出一  个 简 单 的辅 助 数列 或 一个 更 方 便 的新 的递 推 关 系 ,   这 是 解决递 推 数列 问题 的重 要 方法 之 一 .  

3  ( 2 0 0 0年 全 国高 中数 学联 赛试 题 )设  =1 +2  

例1   ( 1 9 9 3年 全 国 高 中数 学 联 赛 试 题 )设 正 
数列 a o , a1 , a 2 , …, a   , … 满 足 

+… +  , 试求 , (  )  

的 最大值 ?  

4 设正 项 数列 { a  } 的前  项 和 为  , 且 对 任 意 的 

 ̄ / 口 , l 口   一 2 一 ̄ , , a   一 l a   一 2 =2 a   一 1 (   ≥2 ) .  
且 a o =a l =1 . 试求 a   .  

∈ N , 有  = 号( 厶   口   +   ‘ ‘   ) . 试求s 2 0 0 0 .  
5   已 知数列 { a   } 满足 a 1 =1 , a  +a   +1 =一   , 试 
求 a   .  



1 t t V / ' a -  ̄n - 2 一 ̄ / ,  


=2 a   一 1 变形得 

2 a   一。 =  

6   ( 2 0 0 0年 全 国高 中数 学联 赛试 题 )设 数 列 { a   }   和 {b  } 满 足
=?   ( 4 )  

两边除以 ̄ / a   一 1 a   一 2 得 


a o = 1 ,b 0 = 0 , 且 

2  

{ l   a b   n + 1 = 7 a  

+1 =8 a  + 7 b  一4,  

’   - 0 ' 1  . ' 证 日 月 . 口  
‘ ‘   。   “  

令 √  

, 则  一 2   一 -   1 (   ≥ 2 ) ,  
=2 2 xn 一 2+2+ 1  

(   =0, 1 , 2 , …) 是 完全 平方 数 .  

于是 X n=2  一 1 +1 =2 ( 2 x  ̄ 一 2 +1 ) +1  
= … =2  一1  1 +2  一 2+ … + 2+ 1
. 

答 案 与 提 示 
1  ( c) ?   2 ( A) ?   3 ,(  ) 有 最 大值  -  
4   s 2 0 0 0 =2 0   . 提示 : 用 归纳法 证 明 a  =   一  

又  √   l , 故  
Xn= 2  一1 +2  一 2 + … + 2+ 1= 2  一 1
.  ? ? ?

v / _ ;  

.  

5。   : ( 一 1 ) 一 ~一  . 卫   . 提示: 递推式可变形  
为(  
0.  

4 a a n -  ̄ 1   2   一 1 ,   a n = ( 2   一 1 )   .  
a  =( 2  一1 )   a   一 1  


n 2


号) + J a n + 1 +  
+ 1 =( 7 -8 p) ( a  一  

一 丁 n + 1 ] =  
) +q , 则 P  







( 2  一1 )   ( 2   一  一1 )   a   一 2  

6 设 a   + 1 一  


=… =( 2  一1 )   ( 2   一  一1 )   …( 2   一1 ) a 1  


f I ( 2 k 一 1 )   ,  
f 1   (  :0 ) ,  


号, q = 4 户 一 3 即  =  , q = 2  一 3 或   =  

所 以 口   1 【 : =   f I   ( 2 l 一 1 )  (   ∈ N ) .  
习  题  1   ( 1 9 9 4年 全 国 高 中 数 学联 赛 试 题 ) 已 知 数 列 

雩 , q …2 4 3   3 . 设   =   一  , 则 C n + 1  

( 7—8 p) c   q, 故 c   =( 7—8 p) c   一 1 +q=( 7—   8 p)   c   一 2 +( 7 —8 p) q+q=… =( 7—8 p) . c 0 +  

[ ( 7 —8 p )   一   +… +( 7 —8 p ) 2 +( 7 —8  ) +1 ] q  


告+ 告( 7 — 8 p ) 一 ( 其 中   0 = n 0 一  。 = 1 ) . 当  

{ a   } 满足 3 口   + 1 +a   =4( 口 ≥1 ) , 且a 1 =9 , 其 
前  项 之 和为  , 则 满 足不 等式 I   —   一6 I < 
1  

去的 最 小整数  是  
( A)5 .  ( B )6.  ( C)7 .  ( D)8 .  

(   )  

=   时 , 有  一 弩   = 吉 +   1 ( 7 — 4 4 3 )   . 当   弩 时 , 有   +  =  + 吉 ( 7 + 4   )   .  
= 一

将两 式 相加 , 即得 口   =[   1( 2+   )  +   1( 2一  

2   ( 1 9 9 7年 全 国 高 中数 学 联 赛 试 题 )已 知 数 列 

{   } 满足 X n + 1 =X n 一   一 1 (  ≥ 2 ) ,  1 =a ,  2  
=b, 记  =  1 +  2 +… +   , 则 下 列 结 论 正 确  的是   (   )  

) 一 ]   , 由 于 号 ( 2 + 4 3 ) 一 + 号 ( 2 一  ) 一 为 整 数 ,  
故 a  是 完全 平方 数 .  
f 收 稿 日期 : 2 0 01—0 8—1 6l  


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