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2014人教数学必修五第一章 1.1.2余弦定理(一)


1.1.2(一)

1.1.2
【学习目标】

余弦定理(一)

1.理解余弦定理的证明. 2.初步运用余弦定理及其变形形式解三角形.
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【学法指导】 1.教材给出了用向量法证明余弦定理的方法,体现了向量 在解决三角形度量问题中的重要作用. 2.利用向量作为工具推导余弦定理时,向量知识可能被遗 忘,要注意复习,要准确运用向量的减法法则和向量夹 角的概念. 3.余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看 作是余弦定理的特例.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.2(一)

1.余弦定理 三角形中任何一边的平方 等于其他两边的 平方 的和减去这
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两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a2= b2+c2- _________,b2= c2+a2-2cacos B ,c2= a2+b2-2abcos C. 2bccos A 2.余弦定理的推论

c2+a2-b2 b2+c2-a2 2ca cos A= ;cos B= 2bc a2+b2-c2 cos C= . 2ab



填一填·知识要点、记下疑难点

1.1.2(一)

在△ABC中, (1)若a2+b2-c2=0,则C= 90° ;
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(2)若c2=a2+b2-ab,则C= 60° ; (3)若c2=a2+b2+ 2ab,则C=135°.
在△ABC中,已知a=1,b=2,C=60° ,则c等于 A. 3 B.3 C. 5 D.5 (A )

研一研·问题探究、课堂更高效

1.1.2(一)

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[问题情境] 我们知道已知两边和一边的对角,或者已知两角和一角的对 边能用正弦定理解三角形,如果已知两边和夹角怎样解三角 形求第三边和其他两角呢?或者已知三边怎么解三角形求三 个角呢?这是余弦定理所能解决的问题,这一节我们就来学 习余弦定理及其应用.

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探究点一
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利用向量法证明余弦定理

问题 如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角,根据三 角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确 定的三角形.如何利用已知的两边和夹角计算出三角形 的另一边呢?

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探究

→ → → 如图所示,设CB=a,CA=b,AB → → →
b c

=c,由AB=CB-CA知 c=a-b.根据 这一关系,试用向量的数量积证明余
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弦定理.
证明 |c|2=c· c=(a-b)· (a-b)=a· a+b· b-2a· b

a

=a2+b2-2|a||b|cos C.
所以c2=a2+b2-2abcos C.
同理可以证明:a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B.

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探究点二 利用坐标法证明余弦定理
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问题 我们可以把三角形放在平面直角坐标系中来研究,写 出各个顶点的坐标,能否利用平面内两点间的距离公式 来推导余弦定理?

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探究 如图,以A为原点,边AB所在直 线为x轴建立直角坐标系,则A(0,0), B(c,0),C(bcos A,bsin A),试根据
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两点间的距离公式证明余弦定理.
证明 ∵B(c,0),C(bcos A,bsin A).
∴BC2=b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A,
即a2=b2+c2-2bccos A.
同理可证:b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C.

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【典型例题】 例1 在△ABC中,已知a=2,b=2 2,C=15° ,求A.
解 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=8-4 3,
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所以c= 6- 2,
asin C 1 由正弦定理得sin A= c =2,

因为b>a,所以B>A,所以A=30° .

小结

解三角形主要是利用正弦定理和余弦定理,本例中的

条件是已知两边及其夹角,而不是两边及一边的对角,所以 本例的解法应先从余弦定理入手.

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跟踪训练1
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在△ABC中,边a,b的长是方程x2-5x+2=0

的两个根,C=60° ,求边c.
解 由题意知a+b=5,ab=2.
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2- 3ab=52-3×2=19.
∴c= 19.

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例2 已知三角形ABC的三边长为a=3,b=4,c= 37 ,求 △ABC的最大内角.
解 ∵c>a,c>b,∴角C最大.由余弦定理,
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得c2=a2+b2-2abcos C,
1 即37=9+16-24cos C,∴cos C=-2,

∵0° <C<180° ,∴C=120° . ∴△ABC的最大内角为120° .

小结 已知三边求三角时,余弦值是正值时,角是锐角,余 弦值是负值时,角是钝角.

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跟踪训练2 在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5, 判断三角形的形状.
解 因为a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=2∶4∶5,
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所以可令a=2k,b=4k,c=5k(k>0).
?2k?2+?4k?2-?5k?2 c最大,cos C= <0, 2×2k×4k
所以C为钝角,从而三角形为钝角三角形.

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例3 在△ABC中,acos A=bcos B,试确定△ABC的形状.
解 方法一 利用正弦定理化边为角.
acos A=bcos B ?2Rsin Acos A=2Rsin Bcos B
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?sin 2A=sin 2B ?2A=2B或2A+2B=π π ?A=B或A+B= . 2 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

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方法二 利用余弦定理化角为边. b2+c2-a2 c2+a2-b2 acos A=bcos B?a· =b· 2bc 2ca
?a2(c2-a2)=b2(c2-b2)
?a4-b4-a2c2+b2c2=0
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1.1.2(一)

?(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0 ?(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a2=b2或a2+b2-c2=0,
∴a=b或a2+b2=c2. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.

小结

边角混合关系式要根据正、余弦定理统一转化为角的

关系式或边的关系式,本题可采用正弦定理转化为角的关系 式或采用余弦定理转化为边的关系式.

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跟踪训练3 在△ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试判断 三角形的形状.
解 由余弦定理知
b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 cos A= 2bc ,cos B= ,cos C= 2ab , 2ca

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代入已知条件得 b2+c2-a2 c2+a2-b2 c2-a2-b2 a· +b· +c· =0, 2bc 2ca 2ab

通分得a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0,
展开整理得(a2-b2)2=c4.
∴a2-b2=± 2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2. c 根据勾股定理知△ABC是直角三角形.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.1.2(一)

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1.一个三角形的两边长分别为5和3,它们夹角的余弦值是 3 - ,则三角形的另一边长为 ( B ) 5 A.52 B.2 13 C.16 D.4
解析 设另一边长为x,则 3 x2=52+32-2×5×3×(-5)=52, ∴x=2 13.

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2.在△ABC中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC的最小 角为 π A. 3
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π B. 6

π C. 4

π D. 12

( B )

解析 ∵a>b>c,∴C为最小角,
a2+b2-c2 72+?4 3?2-? 13?2 3 由余弦定理cos C= 2ab = =2. 2×7×4 3 π ∴C= . 6

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3.在△ABC中,已知A=60° ,最大边长和最小边长恰好是
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4 方程x2-7x+11=0的两根,则第三边的长为______.
解析 设最大边为x1,最小边为x2,
则x1+x2=7,x1x2=11,
∴第三边长= x2+x2-2x1x2cos A 1 2 = ?x1+x2?2-2x1x2?1+cos A?=4.

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4.在△ABC中,已知CB=7,AC=8,AB=9,试求AC边上 的中线长.
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AB2+AC2-BC2 92+82-72 2 解 由条件知:cos A= = = , 2· AC AB· 2×9×8 3
设中线长为x,由余弦定理知: ?AC? AC 2 2 2 2 ? ?2+AB2-2· · x= 2 2 ABcos A=4 +9 -2×4×9×3=49, ? ?
所以x=7. 所以AC边上的中线长为7.

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1.1.2(一)

1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形.
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(2)已知三边求三角形的任意一角. 2.判断三角形的形状,当所给的条件是边角混合关系时, 基本解题思想:用正弦定理或余弦定理将所给条件统一 为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关 系,再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系;若统 一为边之间的关系,再利用代数方法进行恒等变形、化 简,找到边之间的关系.


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