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统计学常用公式

公式一

1. 众数【MODE】
(1) 未分组数据或单变量值分组数据众数的计算 未分组数据或单变量值分组数据的众数就是出现次数最多的变量值。

(2) 组距分组数据众数的计算 对于组距分组数据,先找出出现次数最多的变量值所在组,即为众数所在组,再根据下面
的公式计算计算众数的近似值。

下限公式:

M0

=L+

?1 ?1 +? 2

?

i

式中:M0 表示众数;L 表示众数的下线;?1 表示众数组次数与上一组次数之差;?2 表示

众数组次数与下一组次数之差; i 表示众数组的组距。

上限公式:

M0

=U-

?2 ?1 +? 2

?

i

式中:U 表示众数组的上限。

2.中位数【MEDIAN】

(1)未分组数据中中位数的计算 根据未分组数据计算中位数时,要先对数据进行排序,然后确定中位数的位置。设一组数

据按从小到大排序后为 X1,X2,…,XN ,中位数 Me ,为则有:

Me =X(N+1) 2

当 N 为奇数

Me

=

1 2

???X? ?? ??

N 2

? ??

+X ? ??

N 2

+1???

?? ? ??

当 N 为偶数

(2)分组数据中位数的计算 分组数据中位数的计算时,要先根据公式 N / 2 确定中位数的位置,并确定中位数所在的
组,然后采用下面的公式计算中位数的近似值:

N

? fi

Me =L+

i =1
2

-Sm-1 ?d
fm

式中:Me 表示中位数;L 表示中位数所在组的下限;Sm-1 表示中位数所在组以下各组的累

计次数; fm 表示中位数所在组的次数; d 表示中位数所在组的组距。

3.均值的计算【AVERAGE】
(1)未经分组均值的计算
未经分组数据均值的计算公式为:

n

? x = x1+x 2+…x

n=

xi
i ?1

n

n

(2)分组数据均值计算

分组数据均值的计算公式为:

x=

x1 f 1+x f1 ?

2f +2 f2 +

k

? +xk ? +fk

fk

=

i? k

xi fi
1
fi

i ?1

4.几何平均数【GEOMEAN】

几何平均数是 N 个变量值乘积的 N 次方根,计算公式为:

n

? G= n

x1

?

x 2

?…? x n

=n

xi

i -1

式中:G 表示几何平均数; ? 表示连乘符号。

5.调和平均数【HARMEAN】
调和平均数是对变量的倒数求平均,然后再取倒数而得到的平均数,它有简单调和平均数 与加权调和平均数两种计算形式。

简单调和平均数:

n

n

? H= 1 + 1 +…+ 1 = n 1

x1

x 2

x n

x i?1 i

加权调和平均数:

n

? H=

m1 +m2 m1 + m2

+…+mn +…+ mn

=

mi
i ?1
n mi

? x1

x 2

x n

x i?1 i

式中:H 表示调和平均数。

6.极差【Range】

极差也称全距,是一组数据的最大值与最小值之差,即

R = m a?xx ? - m? xi ?n

i

i

? ? ? ? 式中:R 表示极差; max x 和 min x 分别表示一组数据的最大值与最小值。

i

i

7.平均差【Mean Deviation】
平均差是各标志值与其平均数的绝对离差的算术平均。

(1) 根据未分组资料的计算公式:

n
? x -x i
A D =i?1 n

(2) 根据分组资料的计算公式: 式中:AD 表示平均差

n

? x -x i

fi

AD= i?1 n

? fi

i ?1

8.方差【Variance】和标准差【Standard Deviation】
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数。要求掌握方差和标准差的计算方法。

未分组数据方差的计算公式为:

n
??x ? x ?2
? 2 ? i?1 n

分组数据方差的计算公式为:

?? ? n

2

x?x i

if

? 2 ? i?1

n

? fi

i ?1

式中:? 2 表示方差。

方差的平方根即为标准差,其相应的计算公式为:

未分组数据:

n
??x ? x ?2
? ? i?1 n

分组数据: 式中:? 表示标准差。

?? ? n

2

x?x i

if

? ? i?1 n

? fi

i ?1

9.离散系数

离散系数通常是就标准差来计算的,因此,也称为标准差系数,它是一组数据的标准 差与其相应的均值之比,是测度数据离散程度的相对指标。

其计算公式为:

V?

?

? x

式中:V? 表示离散系数。

10.偏态【SKEW】

偏态是对分布偏斜方向及程度的测度。利用众数、中位数和均值之间的关系就可以判断分 布是左偏还是右偏。显然,判别偏态的方向并不困难,但要测度偏斜的程度就需要计算偏态系 数了。

EXCEL 中偏态系数的计算公式为:

? n

n

?x

-x

3
?

?n- 1??n

-

?2i?1

? ?

i
s

? ?

11.峰值【KURT】

EXCEL 中峰值系数的计算公式为:

?? ? ??

?

n

n?n ?1? ?1??n ? 2??

n

?

3?

n
?
i?1

? ? ?

x -x i s

?4 ? ?

?? ? ??

?

?

3?n ?1?2 n ?1??n ?

3?

式中:s 表示样本标准差。

公式二

1. 均值估计

(1)样本均值的标准差
样本均值的标准差,即为样本均值的标准误差,又称为样本均值的抽样平均误差,它反 映的是所有可能样本的均值与总体均值的平均差异程度,反映了所有可能样本的实际抽样 误差水平。
样本均值的抽样平均误差计算公式为:

重复抽样方式:

? ?x?? ?2 n ?? n

不重复抽样方式:

? ?x??

?2 ? N ?n? n ?? N ?1 ??

通常情况下,当 N 很大时,(N-1)几乎等于 N,样本均值的抽样平均误差的计算公式也可 简化为:

? ?x??

?2 n

???1 ?

n N

? ??

在公式中,? 是总体标准差。但实际计算时,所研究总体的标准差通常是未知的,在大样 本的情况下,通常用样本标准差 S 代替。

(2)大样本均值的极限误差

?x ? Z? 2? ? x ?

(3)大样本下总体均值的区间估计 总体均值的置信度为(1?? )的置信区间:

x ? z? 2? ? x ? ? ? ? x ? z? 2? ? x ?

即 x ? z? 2

? n

? ? ? x ? z? 2

? n

(4)总体方差未知,小样本正态总体均值的区间估计 总体均值的置信度为(1?? )的置信区间:
x ?t? 2? ? x ? ? ? ? x ? t? 2? ? x ?



x ? t? 2

s n

?

?

?

x

? t?

2

s n

2.比例估计
(1)样本比例的抽样平均误差 样本比例的抽样平均误差为:

重复抽样下:

? ? p? ? p?1? p?
n

上式中,p 应为总体比例,实际计算时通常用样本比例 p 代替。

不重复抽样下:

? ? p? ?

p

?1?
n

p

?

? ??

N N

?n ?1

? ??

?

p

?1?
n

p

?

???1 ?

n N

? ??

(2)样本比例的抽样极限误差

?P ? Z? 2? ? p?
(3)总体比率的区间估计 总体比例 P 的置信度为(1?? )的置信区间为:

p ? ?P ? p ? p ? ?P



p ? Z? 2? ? p? ? p ? p ? Z? 2? ? p?

3. 总体均值检验

(1) 单一总体均值检验 ①正态总体(总体方差已知)或大样本均值检验

检验统计量 Z 为:

Z ? x ? ?0 ?n

②正态总体(总体方差未知)小样本均值检验 检验统计量 t 为:

t ? x ? ?0 sn

(2) 两个总体的均值检验 ①两个正态总体均值检验——两个总体方差已知或大样本 Z 检验统计量为:

Z ? ? x1 ? x2 ? -? ?1 ? ?2 ?

?12

?

?

2 2

n1 n2

大样本下对两个总体均值进行检验时,在总体标准差未知的情况下,可用样本标准差代替 总体标准差进行计算,检验统计量不变。
②两个正态总体均值检验(小样本)——两个总体方差未知但相等
T 检验统计量为:

Z ? ? x1 ? x 2? -? ? 1? ? ?2

sp

1?1 n1 n2

sp ?

?n1 ?1? s12 ? ?n2 ?1? s22
n1 ? n2 ? 2

其中:

?? ? s12

?

1 n1 ?1

n1 i?1

2

x i

?

x1



?? ? s22

?

1 n2 ?1

n2 i ?1

2

x i

?

x2

4. 总体比例检验
(1) 单一总体的比例检验 Z 检验统计量:
(2) 两个总体比例的检验 检验的统计量为:

Z ? p ? p0
p0 ?1? p0 ?
n

Z?

p?1 ? p?2

p? ?1? p? ? p? ?1? p? ?

?

n1

n2

其中:

p?

?

n1 p?1 ? n2 p?2 n1 ? n2



p?

为当

p1

?

p2 时

p1 和

p2

的联合估计值。

5. 总体方差假设检验

(1) 单一正态总体方差的假设检验

检验统计量为:

?2

?

?n

?1?

?

2 0

s2

n
??x

?2
?x

i

其中: s2 ? i?1

为? 2 的估计量。

n ?1

(2) 两个正态总体的方差假设检验

检验统计量为:

F ? s12 s22

其中:

? ? ?n1

2

x ?x

i

s12 ? i?1 n1 ?1



? ? ?n2

2

x ?x

i

s22 ? i?1 n2 ?1



公式三

1.单因素方差分析

设总体共分为 k 种处理进行观察,第 j 种处理试验了容量为 n j 的样本。

(1) 计算各项离差平方和
在单因素方差分析中,需要计算的离差平方和有 3 个,它们分别是总离差平方和,误差项 离差平方和以及水平项离差平方和。
总离差平方和,用 SST(Sum of Squares for Total )代表:

? ? nj k

2

SST ? ? ? xij ? x

i?1 j?1

式中: x 表示全部样本观测值的总均值。其计算公式为:

x ? ? ? xij n

误差离差平方和,用 SSE(Sum of Squares for Error)代表:

nj k

2

SSE ? ? ?? xij ? xj ?

i?1 j?1

nj

? xij

式中: x j 表示第 j 种水平的样本均值, x j

?

i ?1
nj

水平项离差平方和。为了后面叙述方便,可以把单因素方差分析中的因素称为 A。于是水 平项离差平方和可以用 SSA(Sum of Squares for Factor A)表示。

SSA 的计算公式为:

? ? nj k

2

SSA ? ?? xj ? x

i?1 j?1

(2) 计算平均平方

用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和(Mean Square)。对 SST 来说,其自由度 为(n-1);对 SSA 来说,其自由度为(r-1),这里 r 表示水平的个数;对 SSE 来说,其自由度 为(n-r)。与离差平方和一样,SST、SSA、SSE 之间的自由度也存在着如下的关系:

n-1=(r-1)+(n-r)

对于 SSA,其平均平方 MSA(组间均方差)为:

MSA ? SSA r ?1

对于 SSE,其平均平方 MSE(组内均方差)为:

MSE ? SSE n?r

(3) 检验统计量 F

F ? MSA MSE

2.两因素方差分析
设两个因素 A、B 分别有 k 个水平和 n 个水平,共进行 nk 次试验。 (1) 计算各项离差平方和
在两因素方差分析中,需要计算的离差平方和有 4 个,它们分别是总离差平方和,误差项 离差平方和以及水平 A、B 项离差平方和。
? ?2
总离差平方和,用 SST(Sum of Squares for Total)代表: SST ? ? ? xij ? x

式中: x 表示全部样本观察值的总均值,其计算公式为:

? ? x ?

1 nk

n i ?1

k
xij
j ?1

水平项离差平方和可以分别用 SSA(Sum of Squares for Factor A)和 SSB(Sum of Squares for Factor B)表示。

SSA 的计算公式为:

? ? n k

2

SSA ? ?? x? j ? x

i?1 j?1

式中:

? x? j

?

1 n

n i ?1

xi

j

SSB 的计算公式为:

? ? n k

2

SSB ? ? ? xi? ? x

i?1 j?1

式中:

? xi?

?

1 k

k
xij
j ?1

误差离差平方和,用 SSE(Sum of Squares for Error)代表:

??? ? n k

2

SSE ?

xij ? xi? ? x? j ? x

i?1 j?1

(2) 计算平均平方
用离差平方和除以自由度即可得到平均平方和(Mean Square)。对 SST 来说,其自由度为 (nk-1);对 SSA 来说,其自由度为(k-1),这里 k 表示水平 A 的个数;对 SSB 来说,其自由 度为(n-1),这里 n 表示水平 B 的个数;对 SSE 来说,其自由度为(n-1)(k-1)。这样,把各 项离差平方和除以各自的自由度,即得到平均的离差平方和,简称为均方:

MSA ? SSA k ?1

MSB ? SSB n ?1

MSE

?

?k

?

SSE
1? ? n

? 1?

(3) 检验统计量 F F ( A) ? MSA MSE

F (B) ? MSB MSE
公式四

1.拟合优度的检验统计量:

k
? ? ? ? 2 ? i ?1

fi ? fe 2 fe

式中: fi 表示类别 i 的观察频数; fe 表示假设 H0 为真时,类别 i 的期望频数;k 表示类别总数。

注意:当所有种类的期望频数均大于或等于 5 时,检验统计量服从自由度为(k-1)的 ? 2 分布。


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