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2019人教版高中数学必修1课件:2.3 幂函数 精讲优练课型

2.3 幂 函 数 【知识提炼】 1.幂函数的概念 函数_____叫做幂函数,其中自变量是__,___是常数. y=xα x α 2.幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象: (2)幂函数的性质: 幂函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x __ R __ R ___ 奇 ___ 增 y=x2 __ R ________ [0,+∞) ___ 偶 x∈[0,+∞),___ x∈(-∞,0],___ 增 y=x3 __ R __ R ___ 奇 ___ y?x 1 2 y=x-1 _________________ (-∞,0)∪(0,+∞) _______________ {y|y∈R且y≠0} ___ 奇 x∈(0,+∞),___ x∈(-∞,0),___ 减 减 ________ [0,+∞) ________ [0,+∞) ________ 非奇非偶 ___ 公共点 增 增 减 都经过点______ (1,1) 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)二次函数都是幂函数吗?判断的依据是什么? 提示:不一定.如y=5x2,y=x2-3都不是幂函数,只有二次项系数为1,无 一次项和常数项的二次函数才是幂函数.判断的依据是函数解析式要 符合幂函数解析式的结构特征. (2)幂函数的图象是否可以出现在坐标平面内的任意象限? 提示:不能.因为当x>0时,xα>0,因此图象不能出现在第四象限. 2.下列所给的函数中,是幂函数的是 A.y=2x5 C.y=x-3 B.y=x3+1 D.y=3x ( ) 【解析】选C.选项C符合y=xα的形式,对于A系数不为1,B中含有常数 项,而D是指数函数. 3.若y=ax3+(2b+4)是幂函数,则a-b的值为 ( A.-1 B.1 C.-3 D.3 ) 【解析】选D.由于y=ax3+(2b+4)是幂函数,则 解得a=1,b=-2,故a-b=3. ?a ? 1, ? ?2b ? 4 ? 0, 4.已知幂函数y=xα 的图象经过点(2,16),则f(-3)= . 【解析】由于幂函数y=xα的图象经过点(2,16),即2α=16,解得α=4, 故f(-3)=(-3)4=81. 答案:81 【知识探究】 知识点1 幂函数的概念 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:判定一个函数是否是幂函数应依据哪些特征? 问题2:幂函数和指数函数有哪些区别? 【总结提升】 1.幂函数解析式的结构特征 (1)指数为常数.(2)底数是自变量.(3)幂xα 的系数为1. 2.幂函数与指数函数的比较 式子 常数 指数函数:y=ax(a>0且a≠1) 幂函数:y=xα a为底数 α 为指数 名称 x 指数 底数 y 幂值 幂值 知识点2 幂函数的图象及性质 观察图形,回答下列问题: 问题1:观察上述图象.在第一象限,它们有何特点? 问题2:这些图象有何对称性?奇偶性如何? 【总结提升】 1.幂函数y=xα 在第一象限内的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸). (2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点). (3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸). (4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点). (5)指数小于0,在第一象限为双曲线型. 五个幂函数在第一象限内的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖 小横”即α >0(α ≠1)时的图象是抛物线型(α >1时的图象是竖直抛物 线型,0<α <1时的图象是横卧抛物线型);α <0时的图象是双曲线型. 2.五个幂函数的奇偶性 幂函数y=x,y=x3,y=x-1为奇函数;幂函数y=x2为偶函数;幂函数y= 为非奇非偶函数. x 1 2 3.幂函数三个常用的性质 (1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且图象都过点(1,1). (2)α >0时,幂函数的图象经过原点,并且在区间(0,+∞)上是增函数. 特别地,当α >1时,幂函数的图象下凸;当0<α <1时,幂函数的图象上 凸. (3)α <0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当x趋于 +∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. 【题型探究】 类型一 幂函数的概念 【典例】1.下列函数:①y= 1 x ( ) 2 x ⑤y=(x+1) ;⑥y=x;⑦y=a (0<a<1).其中幂函数的个数为 ( 3 x 1 ;②y= ? 2 ;③y=2x4;④y=x3-2; ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2015·开封高一检测)已知幂函数f(x)=(m2-2m+2) 则f(-3)= . x m2 ?2m?3 , 【解题探究】1.典例1中应从哪几个方面判定函数为幂函数? 提示:应从指数,底数,以及幂xα的系数三方面判定. 2.典例2中的m2-2m+2应满足什么条件? 提示:应使m2-2m+2=1. 【解析】1.选B.②⑦为指数函数;③中系数不为1;④中的解析式为 多项式;⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. 2.由于f(x)=(m2-2m+2) f(x)=x2,则f(-3)=9. 答案:9 为幂函数,故m2-2m+2=1,解得m=1,所以 m2 ?2m?3 x 【延伸探究】若典例2中的函数“f(x)=(m2-2m+2) “f(x)=(m2-m-1) x m2 ?2m?3 ”改为 x m2 ?2m?3 ,且此函数为奇函数”,则f(-3)的值应为多少? 【解析】由于f(x)=(m2-m-1) 或m=2,又因为该函数为奇函数,则当m=-1时,f(x)=x6不符合;当m=2 时,f(x)=x3,符合.故f(-3)=(-3)3=-27. x m2 ?2m?3 为幂函数,则有m2-m-1=1,

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