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(苏)18年高考数学一轮复习: 5.1 平面向量的概念及线性运算(讲)


专题 5.1 平面向量的概念及线性运算
【考纲解读】 要 备注 求 内 容 A B C

1.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. √ 平面向量的概念 平 4.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量 面向量 平面向量的加法、 减法及数乘运算 √ 共线的含义. 5.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 2.理解向量的几何表示. 3.掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义.

【直击考点】 题组一 常识题 1. 化简( ( AB ? BM ) ? ( BO ? CB) ? OM 的结果是________. 【解析】原式= ( AB ? MB) ? ( BO ? BC) ? OM ? AB ? BO ? OM ? MB ? BC ? AC

??? ? ???? ?

??? ? ??? ?

???? ?

??? ? ????

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??? ? ???? ? ???? ??? ?

??? ?

? 1 ? 1 2.若 2?x- a?- (b+c-3x)+b=0, 其中 a, b, c 为已知向量, 则 x=______________. ? 3 ? 2
7 2 ? 1 ? 1 ? 3? 2 1 1 【解析】由 2?x- a?- (b+c-3x)+b=0,得?2+ ?x- a- b- c+b=0,即 x= a 2 3 ? 3 ? 2 ? 2? 3 2 2 1 1 - b+ c, 2 2 4 1 1 所以 x= a- b+ c. 21 7 7

3. a 表示向东走 1 km, b 表示向南走 1 km, 则 a+b 表示向________方向走________km.
【解析】易知 a+b 表示向东南方向走 2 km. 4.已知 M 是△ABC 的边 BC 上的中点, AB =a, AC =b,则=________. 【解析

??? ?

??? ?

? AB ? BM ? AM , AC ? CM ? AM ? AM ?

1 1 ( AB ? BM ? AC ? CM ) ? ( AB ? AC ) ? 2 2

1

1 (a+b). 2 题组二 常错题

? 1 ??? BC ,则四边形 ABCD 的形状是________. 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 【解析】 AD / / BC,| AD |?| BC | ,所以四边形 ABCD 是梯形.
5.若四边形 ABCD 满足 AD ? 6. 若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量, 且 b 是非零向量, 则 a 与 c 的关系是________. 【解析】由共线向量的概念知,向量 a 与向量 c 共线.注意:若 b 是零向量,则向量 a 与向量 c 的关系不确定. 7.已知两向量 a,b,若|a|=1,|b|=3,则|a+b|的取值范围是________.

????

题组三 常考题 8. 设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,则 ED ? EF ? ________ BE . 【解析】因为 D,E,F 分别是 BC,CA,AB 的中点,所以

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ED ? ? BA, EF ? ? BC ,? ED ? EF ? ? ( BA ? BC ) ? ? BE . 2 2 2
9. 设向量 a,b 不平行,向量λ a+b 与 a+2b 平行,则实数 λ =________. 【解析】因为 λ a+b 与 a+2b 平行,所以存在唯一实数 t,使得 λ a+b=t(a+2b),
? ?λ =t, 1 所以? 解得 λ =t= . 2 ?1=2t, ?

【知识清单】 考点 1 向量的有关概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. 2.零向量:长度等于 0 的向量,其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0 与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 考点 2 平面向量的线性运算 一.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)
2

运算律

(1)交换律: 加法 求两个向量和的运算 三角形法则

a+b=b+a ;
(2)结合律:

(a+b)+c=a +(b+c)
平行四边形法则 求 a 与 b 的相反向量 减法 -b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 二.向量的数乘运算及其几何意义 1.定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作 λ a,它的长度 与方向规定如下: ①|λ a|=|λ ||a|; ②当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λ a=0. 2.运算律:设 λ ,μ 是两个实数,则: ① ? ? a =? ?? ? a ;② (?+? )a =? a+? a ;③ ?(a+b)=? a+?b . 考点 3 共线向量 共线向量定理:向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使得 b=λ a.. 【考点深度剖析】 本节内容是平面向量的基础,向量的加法和减法,实数与向量的积,两个向量共线的充要条 件是本节的重点内容. 但由于本章内容不会出现高难度的题目, 所以复习时应以基本内容为 主. 【重点难点突破】 考点 1 向量的有关概念 【1-1】给出下列命题: ①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件; ③若 a 与 b 同向,且|a|>|b|,则 a>b; ④λ ,μ 为实数,若 λ a=μ b,则 a 与 b 共线. 其中假命题的个数为________.
3

三角形法则

? ?

??? ?

????

【答案】3

【1-2】给出下列命题: ① a=b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a //b ; ②若向量 a 与 b 同向,且 | a |>| b | ,则 a>b ; ③由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; ④若向量 a 与向量 b 平行,则向量 a 与 b 的方向相同或相反; ⑤起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; ⑥任一向量与它的相反向量不相等. 其中真命题的序号是________. 【答案】⑤ 【解析】①当 a 与 b 是相反向量时,满足 | a |=| b | 且 a //b ,但 a ≠ b ,故①假; ②向量不能比较大小,故②假; ③ 0 与任意向量平行,故③假; ④当 a 与 b 中有零向量时,由于零向量的方向是任意的,故④假; ⑤由相等向量定义知,⑤真; ⑥ 0 的相反向量仍是 0 ,故⑥假. 【思想方法】 (1)准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键,特别是对相等向量、零向量等概念的 理解要到位,充分利用反例进行否定也是行之有效的方法. (2)几个重要结论 ①向量相等具有传递性,非零向量的平行具有传递性;

4

②向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量. 【温馨提醒】忽略 0 与 0 的区别,把零向量 0 误写成 0 而致误. 考点 2 平面向量的线性运算 在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD = 2 DB , CD = ________. 【答案】

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? 1 ??? CA +λ CB ,则 λ 等于 3

2 3

【2-2】平行四边形 OADB 的对角线交点为 C,=

1 1 ,= ,=a,=b,用 a、b 表示、 、. 3 3

1 5 2 2 1 1 a+ b, ON ? a+ b, MN = a- b. 6 6 3 3 2 6 1 1 1 【解析】 BA =a-b, BM = BA = a- b, 6 6 6 1 5 OM ? OB ? BM = a+ b, OD =a+b, 6 6 1 1 ON ? OC ? CN = OD + OD 2 6
【答案】 OM =

5



2 2 2 OD = a+ b, 3 3 3 1 1 MN ? ON ? OM = a- b. 2 6

【思想方法】 1.常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则, 求差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形法则. 2.找出图形中的相等向量、 共线向量, 将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三 角形中求解. 【温馨提醒】注意向量运算的几何意义 考点 3 共线向量 【3-1】在 △ABC 中, E、F 分别为 AC、AB 的中点, BE, CF 相交于 G 点,设

b 表示 ,试用 a,
【答案】 a + b

.

1 3

1 3

【3-2】已知 P 是△ABC 所在平面内的一点,若 CB ? ? PA ? PB ,其中 λ ∈R,则点 P 一定 在________. 【答案】AC 边所在直线上 【解析】由 CB ? ? PA ? PB 得 CB ? PB ? ? PA ,∴ CP ? ? PA .则 CP, PA 为共线向量,

? C、P、A 三点共线,即点 P 在直线 AC 上. 又 CP, PA 有一个公共点 P,
6

【思想方法】 1.应用共线向量定理,可以证明向量共线,也可以由向量共线确定参数的值;

b 不共线,则 ? a+?b ? 0 的充要条件是 ? ? ? ? 0 ;这一结论是解决求参数问题的重 2.若 a,
要依据; 3.若 AB ? ? AC ,则 A, B, C 三点共线. 【温馨提醒】向量共线的充要条件中要注意“a≠0”这一条件 【易错试题常警惕】 向量线性运算应注意的问题 (1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点。 (2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0” ,否则λ 可能不存在,也可能有无数个。 (3)证明三点共线问题, 可用向量共线来解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线。 (4)利用向量平行证明直线平行,必须说明这两条直线不重合。

7


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