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§2.2直线和圆锥曲线的参数方程(2)


§2.2 直线和圆锥曲线的参数方程(2)
A组
1、圆 x 2 ? y 2 ? 4 的参数方程是

? x ? 2 cos ? (?为参数) ? ? y ? 2 sin ? s ?x ? 2 c o ? (?为参数) ? ? ? y ? 3s i n



2、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的参数方程是 4 9



3、抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的参数方程是

? x ? 2 pt 2 (t为参数) ? ? y ? 2 pt
(?3 , 0)



? x ? 5 cos ? 4、曲线 ? ( ? ? ?0 , 2? ? ) 的焦点坐标是 ? y ? 4 sin ?



? x ? sin ? ? 5、参数方程 ? (?为参数 , ? ?[ 0 , ] )化为普通方程是 2 ? y ? cos ?

x 2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0 , y ? 0) 。

? x ? t 2 ? 3t ? 1 6、参数方程 ? (t 为参数)化为普通方程是____ x ? y 2 ? y ? 1 _____. ? y ? t ?1
? x ? a cos? ? 7、已知曲线 C 参数方程 ? ( ? 为常数, ? ? ( 0 , ) , a 为参数) ,则它的普通方程为 2 ? y ? a sin?
__ y ? tan ? ? x ___;曲线 C 的形状是 一条直线 。
y ? 2 (1 ? x ? 3)

? x ? 2 ? cos? 8、化参数方程 ? y?2 ?
线段;

(?为参数) 为普通方程并指出方程表示的图形:




B组
一、填空题

? x ? 3 ? 2t 1、直线 ? 的斜率为 ? y ? ?5 ? 3t

?

3 2



? x ? 8t 2 2、抛物线 ? (t为参数) 顶点到焦点的距离为 ? y ? 8t
? x ? tg? 3、双曲线 ? ? y ? 3 sec ?
的两条渐近线的夹角为_____

2



?
3

_________.

4、直线 y ? 2 x ? b 被曲线 ?

? x ? 2sin t ( t 为参数)所截得的线段的最大值是___4____。 ? y ? 2cos t

5、圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 与圆 C 2 : ?

? x ? 1 ? cos? (? ? R) 的位置关系是 ? y ? sin ?

相交 。 。

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2 cos ? ? 5? 6、若直线 ? 与圆 ? 相切,则直线的倾斜角 ? 为 , (t为参数) 6 6 ? y ? 2 sin? ? y ? t sin ? ?1 ? ?x ? t ? t 7、若点 ( x , y ) 在曲线 ? ( t 为参数)上,则函数 ? ? x 2 ? y 2 的最小值是 8 。 2 ?2 ? ?y ? t ? t

? ? ? ? x ? | cos 2 ? sin 2 | ( ? 为 参 数, 0 ? ? ? ? ) ) 8 、 若曲 线 的参 数方 程为 ? , 则 该曲 线的普 通 方程 1 ? y ? (1 ? sin ? ) 2 ? 2 x ? 2 y (1 ? x ? 2 ) 。
二、选择题
3 ? ? x ? 4 cos ? 9、已知曲线的参数方程是 ? ,则该曲线 3 ? y ? 4 sin ? ?



A )

A.关于原点、 x 轴、 y 轴都对称 C.仅关于 y 轴对称 9、 直线 x cos? ? y sin ? ? r ? 0 与圆 ? A. 相交 10、设 ? ? ( 0 , B. 相切

B.仅关于 x 轴对称 D.仅关于原点对称

? x ? r cos? ? y ? r sin ?

的位置关系是 ( D ) (? 为参数, r 为正常数) D. 随 r 值变化而变化

C. 相离

?

则 ? 与 ? 的关系是 (A) ? ? ? (B) ? ? ?

? x ? b cos ? ? ( ? 为参数, a ? b ? 0 ) 上的点,若 XOP ? ? , ? ? ( 0 , ) , ) , P 为曲线 ? 2 2 ? y ? a sin?
( C ) (C) ? ? ? (D)不能确定

? x ? 4t 2 11、若点 P ( 3 , m ) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? ( t 为参数)上,则 | PF | 的长为 ( D ) ? y ? 4t (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
三、解答题 12、若点 P ( x , y) 在曲线 x ? 1 ? y 2 上。 (1)求 xy 的取值范围; (2)求 x ? 3 y 的取值范围。

? x ? cos ? ? ? 答案:设 ? , ? ?[? , ] , 2 2 ? y ? sin ?
(1) xy ? sin? cos ? ?

1 1 1 sin 2? ?[? , ] ; 2 2 2

(2) x ? 3 y ? cos ? ? 3 sin? ? 2 sin(? ?

?
6

) ?[? 3 , 2] 。

? x ? tan ? ? 1 13、点 P 在曲线 ? ( ? 为参数)上,求 P 到直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 距离的最小值及此时坐标。 ? y ? cot ?
解.曲线的普通方程为 ( x ? 1) y ? 1 。设点 P 的坐标为 ( x , y ) ,则点 P 到直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离

d?

| x ? 2y ? 3 | 5

?

| x ?1?

2 ?2| 2 2 ?2 2 2 ?2 x ?1 ,当且仅当 x ? ?1 ? 2 时 d min ? 。 ? 5 5 5
2 )。 2

P 点坐标为 ( ? 1 ? 2 , ?

C组
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的动点 P 引圆 x 2 ? y 2 ? b 2 的两条切线 PA 、 PB ,切点为 a2 b2 N。 A 、 B 。直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于 M 、
过椭圆 (1)求证:

b2 a2 为定值; (2)求 ?MON 的面积的最小值。 ? | OM | 2 | ON | 2
b2 a2 a 2 cos2 ? a 2 sin 2 ? a2 b b2 ? ? ? ? ;令 x ? 0 ,得 y N ? 。∴ 为定值。 cos? a cos? | OM |2 | ON |2 b2 b2 b2

解: (1)设 P ( a cos? , b sin ? ) ( 0 ? ? ? 2? ) ,则切线弦 AB 所在直线的方程为 a cos? x ? b sin ? y ? b2 。令 y ? 0 , 得 xM ?

(2) S?MON ?

? 3? 5? 7? b2 1 b2 b2 1 b2 , , ,当且仅当 ? ? , 时, S?MON | min? 。 ? ? ? ? 4 4 4 4 a 2 | a sin ? cos? | a | sin 2? | a

5. (1)设 P ( a cos? , b sin ? ) ( 0 ? ? ? 2? ) ,则切线弦 AB 所在直线的方程为 a cos? x ? b sin ? y ? b2 。令 y ? 0 , 得 xM ?
b2 a2 a 2 cos2 ? a 2 sin 2 ? a2 b b2 ? ? ? ? 2 为定值。 ;令 x ? 0 ,得 y N ? 。∴ 2 2 2 2 cos? a cos? | OM | | ON | b b b

(2) S?MON ?

? 3? 5? 7? b2 1 b2 b2 1 b2 , , ,当且仅当 ? ? , 时, S?MON | min? 。 ? ? ? ? 4 4 4 4 a 2 | a sin ? cos? | a | sin 2? | a


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