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高中数学柯西不等式ppt.ppt_图文

柯西不等式(一)

柯西不等式(一)
? 说教材
? 说学情

? 说目标
? 说教法

? 说学法
? 说教学过程

一、说教材
(一)、教材的地位和作用:
柯西不等式是人教A版选修4-5不 等式选讲中第三讲的内容,是学生继平 均值不等式后学习的又一个经典不等式, 它在教材中起着承前启后的作用:一方 面可以巩固学生对不等式的基本证明方 法的掌握,另一方面又为后面学习三角 不等式、排序不等式打下了基础。运用 柯西不等式可以解决中学数学中一些比 较典型的数学问题,例如:证明不等式、 求最值等。 本节课是柯西不等式的第一课时, 主要内容是柯西不等式的二维形式的推 导和应用。

一、说教材
(二)、教学重点、难点
1、柯西不等式的二维形式的推导和应用;

教学重点:

2、通过运用柯西不等式的二维形式来解决一些简单问题, 体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典 不等式之间的联系,经过适当变形,以经典不等式为依据 得出具体问题的不等关系。
柯西不等式的二维形式的应用

教学难点: 关键点:

理解柯西不等式的二维形式的结构特点

一、说教材
(三)、教材处理 ? ? ? ? 向量的数量积的性质 ? ? ? ? ? ? 正是柯西不等式的向量
形式,是这节课内容最佳的“知识生长点”。 根据“最近发展区”的教学理论,我将课本中通过让学生

a 2 ? b 2 ? 2ab 类比不等式
? ? ? ? 等式 ? ? ? ? ??

猜想关于 (a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 )

的不等关

系得出柯西不等式的二维形式的处理方法改为先让学生证明不 ,通过对该不等式作进一步探究,发现了柯西 不等式的二维形式,并由此顺着学生思路层层深入地设计问题 来展开教学,使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式 的推导和应用。

二、说学情
该班学生基础比较扎实,求知欲较强,具备一定的

观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明
不等式的基本方法,以及向量的数量积的性
? ? ? ? 质 ? ? ? ? ? ? 。这个性质正是柯西不等式的向量形式,

是这节课内容最佳的“知识生长点”。

三、说目标
1、知识目标: (1)理解柯西不等式的二维形式和
向量形式; (2)能运用柯西不等式的二维形式 解决一些简单问题; (3)让学生了解柯西的主要贡献, 贯穿数学史教育。

2、能力目标:
通过创设情境,提出问题,然后探索解决问题的办法, 培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。

四、说教法
因为学生学习数学的过程实际上是学生完善数学认知结构 的过程,教师的职责就是引导学生形成良好的数学认知结构, “教是为了不教”就是这一思想的反映,而探究式学习的本质 就是学生的自主建构,所以我在柯西不等式的发现、证明以及 例题的讲解中均采用问题探究式教学法:通过精心设置问题链, 使教学过程活动化,促使学生积极主动地参与教学活动。在整 个教学过程中我鼓励学生互相讨论,合作交流。另外我采用了 多媒体进行教学,既提高了教学效率,使得课堂各个环节紧凑, 学生思维连贯顺畅;又为师生、生生之间的交流提供了广阔的 平台。

五、说学法
教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学 会学习,通过启发教给学生获取知识的途径,思考问 题的方法。在教学活动中,我通过肯定学生的正确, 指出学生的错误,引导学生揭示知识内涵,帮助学生 养成独立思考,积极探索的习惯。培养学生主动探究 的学习方式。

六、说教学过程

设置悬念

归纳小结

理解深化 初步运用 实施探究

创设情境

(一)、创设情境

设计意图

师:前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法? (比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境,能 激发学生的探究欲望。

师:在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面? (要注意每种方法的特点、适用范围、及 解题格式)

2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式,是这节课内容 最佳的“知识生长点”,是 学生思维的 “最近发展区”

(一)、创设情境
? ? 已知?、? 是两个非零向量, ? ? ? ? 求证: ? ? ? ? ?? 师: 前面我们学习了哪几种证明不等式的 方法? 问题1:当满足什么条件时,不等式
(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法 ) 取等号?
问题2:取消已知中的“非零”,不等式

设计意图

1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境,能 激发学生的探究欲望。

师:在运用这些方法解题时需要注意哪些
? ? , ?=(x2 , y2)则上述不等式 , 问题 3:设?=(x1 , y1) (要注意每种方法的特点、适用范围、及 的坐标表示为 _______________

方面?

还成立吗?

解题格式)

2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式,是这节课内容 最佳的“知识生长点”,是 学生思维的 “最近发展区”

x12 ? y12 x22 ? y22 ? x1 x2 ? y1 y2

(当且仅当x1 y2-x2 y1=0时取等号)

(二)、实施探究

设计意图

柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857 )是法国数学家、力学 家。1811及1812年向法国科学院 提交了 两篇关于多面体的论文,在 数学界造成了极大的影响。1816年 (27岁)成为巴黎 综合工科学校教授,并当选为 法国科学院 院士.柯西对高等数学的大量贡献包 用数学家成才的故事, 括:无穷级数的敛散性,实变和复变函数论,微 鼓励学生要有敢于克 服困难的决心和勇气, 分方程,行列式,概率和数理方程等方面的研究. 提高学生学习数学 目前我们所学的极限和连续性的定义,导数的定 的能动性。 义,以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的 极限定义,实质上都是柯西给出的。他的临终名 言是“人总是要死的,但是,他们的业绩永存.”

(二)、实施探究

设计意图

问题4:能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式?
(要求学生写出完整的证明过程,巡堂,将

学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来,让学生比较、分析、评价)

因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。

(二)、实施探究

设计意图

问题5:请仔细观察柯西不等式的 二维形式,想一想,它的结构有 什么特点?

1、掌握柯西不等式的 二维形式的结构特点是 突破本节难点的关键。

(引导学生通过类比基本不等式的结构特点,
观察、分析,相互探讨,归纳出:“平方的和
的乘积不小于乘积的和的平方”的特点)

2、可以培养学生的观 察、分析,归纳能力, 同时,让学生成为发 现者,可以增加学生 的成就感,提高学生 学习的积极性。有助 于学生学习情绪的进 一步高涨。

(三)、初步运用

设计意图

例1、已知a, b为任意实数,请证明
(a 4 ? b4 )(a 2 ? b2 ) ? (a 3 ? b3 )2
1、通过比较各种证明

(要求学生写出完整的证明过程,巡堂,将

学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来,让学生比较、分析、评价)

方法,凸显柯西不等 式在解题中的优越性。

(三)、初步运用

设计意图

例2、已知a, b, x1 , x2 ? R+,a ? b ? 1, 请证明: (ax1 ? bx2 )(bx1 ? ax2 ) ? x1 x2
(留给学生足够的思考时间,鼓励学生合作 交流。一段时间后,请做出来的同学谈谈是怎 样找到解题思路的,再让未做出来的学生谈谈 思路障碍之处,其他同学进行补充,教师适时 点拨,最终体会到解题的方法。)
1、让学生在解决问题 的过程中体会用柯西不等 式的二维形式解决问题的 方法。 2、培养数学能力是数学 教学的根本点,也是形成 良好认知结构的核心成分 这样设计既突出了教学重 点又化解了教学难点,还 使学生的思维得到了锻炼

(四)、理解深化
不等式(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 与 问题7: 问题6: 不等式(a 2 ? b2 )(d 2 ? c 2 ) ? (ad ? bc )2 例1和例2都可以用柯西不等式 矛盾吗?它们之间有什么区别? 进行证明,但证明过程有何区别?
a c ? b d a d 不等式②: ac ? bd ? ? (引导学生思考、交流,然后个别提问, b c ad ? bc ? 不等式①:

设计意图

1、让学生在反思中加深 了对用柯西不等式的二维 形式解题的方法的理解。

再和其他学生分析、评价)

(引导学生思考、交流,然后个别提问, 再和其他学生分析、评价)

2、让学生在历练中暴露 了思维障碍之处,教师在 此适当加予点拨,就能取 得很好的教学效果。这是 本节课的升华之处。

(四)、理解深化

设计意图

练习:若a , b均为正数,则(a ? )(2b ?
的最小值为

,此时ab ?

1 b .

1 ) 2a

及时巩固所学知 识和方法体会

(五)、归纳小结
问题8:通过本节课的学习,你学 到了什么?体验到什么?
1、知识总结: 柯西不等式的二维形式: (a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 (当且仅当bc ? ad时取等号,a , b, c, d ? R)
? a 2 ? b2 c 2 ? d 2 ? ac ? bd 柯西不等式的向量形式:

设计意图

? ? ? ? ? ?? ? ? ?

? (当且仅当? // ? 时取等号) 2、思想方法总结: ?
认识事物的过程实质就是“观察-发现、猜想- 论证-应用-再发现-再论证-再应用…”的过程

让学生在归纳小结的过 程中将所学的知识条理 化、系统化。而注重数学 方法的提炼,可帮助学 生逐渐把经验内化成能 力。

(六)、设置悬念

设计意图

问题9:柯西不等式的三维、四维、
n维的形式是怎样的?如何推导?
这是本节课的一个升华 之处。以问题的形式引 出柯西不等式的三维、n 维形式的推导,为下节课 作好了铺垫。既使学生掌 握基础知识,又使学有余 力的学生有所提高。

问题10:还有没有其他方法来证明
柯西不等式的二维形式?

作业:第37页 第4、8题

七、评价分析
在教学过程中我始终面对全体学生,尊重学生 的个体差异。在教学中我选择了问题探究的教学方 法,,鼓励与提倡学生用多样化的策略解决问题。 对于问题的设计、教学过程的展开、练习的安排等 都尽可能地让所有学生主动参与,提出各自解决问 题的方法,并引导学生合作交流,吸取他人的经验, 从而丰富了学生的数学活动,提高他们的思维水平。 同时这节课也是我对个性化教育的初步尝试。

1、附板书设计

不等式①:
2 2 2 2 ( x1 ? y1 )( x2 ? y2 ) ? ( x1 x2 ? y1 y2 )2 2 2 2 2 ? x1 ? y1 x2 ? y2 ? x1 x2 ? y1 y2

ad ? bc ?
不等式②:

a c ? b d

(当 且 仅 当 x1 y2-x2 y1=0时 取 等 号 )

ac ? bd ?

a d ? b c

(一)、创设情境
? ? 已知?、? 是两个非零向量, ? ? ? ? 求证: ? ? ? ? ??
问题1:当满足什么条件时,不等式
取等号?

设计意图

问题2:取消已知中的“非零”,不等式

还成立吗?
问题 3: ? ? 设?=(x1 , y1) , ?=(x2 , y2)则上述不等式 ,
的坐标表示为 _______________

探究的第一步是有效 的问题。有效的问题能 创设出一个充满张力的 情境,能激发学生学习 的极大兴趣。 向量的数量积的这个 性质正是柯西不等式的向 量形式,是这节课内容最 佳的“知识生长点”。根据 知识建构理论和“最近发展 区”的教学理论我设计了这 样的引入。

x12 ? y12 x22 ? y22 ? x1 x2 ? y1 y2

(当且仅当x1 y2-x2 y1=0时取等号)

先让学生证明不等式 ,然后通过引导学生对 该不等式进行探究, 发现了柯 西不等式的二维形式,

(三)、初步运用
不等式(a 2 ? b2 )(c 2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 与 问题7: 不等式(a 2 ? b2 )(d 2 ? c 2 ) ? (ad ? bc )2 矛盾吗?它们之间有什么区别?
a c ? b d a d 不等式②: ac ? bd ? ? b c ad ? bc ? 不等式①:

设计意图

1、让学生在反思中加深 了对用柯西不等式的二维 形式解题的方法的理解。

(引导学生思考、交流,然后个别提问, 再和其他学生分析、评价)

2、学生在反思中暴露的 问题真实体现了学生的思 维障碍,教师在此稍加点 拨,就能取得很好的教学 效果。

(一)、创设情境
? ? 已知?、? 是两个非零向量, ? ? ? ? 求证: ? ? ? ? ?? 师: 前面我们学习了哪几种证明不等式的 方法? 问题1:当满足什么条件时,不等式
(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法 ) 取等号?
问题2:取消已知中的“非零”,不等式

设计意图

1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境,能 激发学生的探究欲望。

师:在运用这些方法解题时需要注意哪些
? ? , ?=(x2 , y2)则上述不等式 , 问题 3:设?=(x1 , y1) (要注意每种方法的特点、适用范围、及 的坐标表示为 _______________

方面?

还成立吗?

解题格式)

2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式,是这节课内容 最佳的“知识生长点”,是 学生思维的 “最近发展区”

x12 ? y12 x22 ? y22 ? x1 x2 ? y1 y2

(当且仅当x1 y2-x2 y1=0时取等号)