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高中数学第一章基本初等函数II1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角课堂导学案新人教B版必修4

高中 精品 教案 试卷

1.3.3 已知三角函数值求角
课堂导学 三点剖析 一、已知正弦值求角 已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,

? ? , ] 上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期 2 2 ? ? 性写出或用诱导公式转化到区间[- , ]上,用反正弦表示出来. 2 2
反正弦是选在最基本的单调区间 [【例 1】 已知 sinx=

3 , 2

(1)当 x∈[-

? ? , ]时,求 x 的取值集合; 2 2

(2)当 x∈[0,2π ]时,求 x 的取值集合; (3)当 x∈R 时,求 x 的取值集合. 思路分析:在函数 y=sinx 的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单 调区间上只有一个值与之对应. 解:(1)∵y=sinx 在[-

? ? ? 3 , ]上是增函数,且知 sin = , 2 2 3 2

∴满足条件的角只有 x= ∴x 的取值集合为{

? }. 3

? . 3

(2)∵sinx=

3 >0, 2

∴x 为第一或第二象限角,且 sin

? ? 3 =sin(π - )= . 3 3 2

∴在[0,2π ]上符合条件的角 x= ∴x 的取值集合为{

? 2? , }. 3 3

? 2? 或 . 3 3

(3)当 x∈R 时,x 的取值集合为 {x|x=2kπ +

? 2? 或 x=2kπ + ,k∈Z}. 3 3 ? ,n∈Z}. 一 般 地 , 对 于 3

温馨提示 (1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用. (2) 对 第 (3) 题 的 结 论 可 写 为 {x|x=nπ +(-1) ·
n

sinx=a(x∈R),|a|≤1,这个方程的解可表示成 x=2kπ +arcsina 或 x=2kπ +π -arcsina,k∈Z,
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从而方程的解集为{x|x=kπ +(-1) arcsina,k∈Z}. 各个击破 类题演练 1 已知 sinA=0.501 8,求角 A.(利用计算器 ) 解:先按功能选择键 和 ,再依次按 ,得结果

k

30.119 158 67,所以∠A=30.12°(若精确到 1°,则结果为 30°). 温馨提示 任意给定一个角,只要该角的函数值存在,总可以求出这个三角函数值.反过来,已知 一个三角函数值,也可以求出与它对应的角. 变式提升 1 已知 sin

?
2

??

3 ,且 α 是第二象限的角,求角 α . 2

思路分析:先求出 解:首先确定

? 所在象限. 2

? ,进而求出 α . 2

∵α 是第二象限的角, ∴

? 是第一或第三象限的角. 2
? ? 3 =? <0,∴ 是第三象限的角. 2 2 2

又∵sin

然后在[0,2π )内找到满足条件的

? . 2

∵sin

? 3 = , 3 2

∴在[0,2π )内满足条件的角 再找到所有满足条件的角 ∴

? 4? =2kπ + (k∈Z). 3 2
8? ,k∈Z. 3

? . 2

? ? 4? 是π+ = . 3 3 2

最后求出所有满足条件的角 α , ∴α =4kπ + 温馨提示 本例中将

? ? 看作一个整体,求出 的所有角后,再求出 α . 2 2

二、已知角的余弦值求角 已知余弦值求角,可利用 y=cosx 的图象找出在 [0,π ] 内满足条件的角,然后根据 y=cosx 的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.
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【例 2】 已知 cosx=-0.287, (1)当 x∈[0,π ]时,求 x; (2)当 x∈R 时,求 x 的取值集合. 思路分析:由于 cosx=-0.287,x 不是特殊角,因此应用反余弦表示 x,而[0,π ]正是反余弦 的主值区间,故当 x∈[0,π ]时,x=arccos(-0.287)=π -arccos0.287.当 x∈R 时,可利用诱 导公式先求出[0,2π ]内的所有解,再利用周期性即可求出 x∈R 的所有解. 解:(1)因为 cosx=-0.287,且 x∈[0,π ],所以 x=arccos(-0.287)=π -arccos0.287. (2)当 x∈R 时,先求出 x∈[0,2π ]上的解. 因为 cosx=-0.287.故 x 是第二或第三象限角,由(1)知 x1=π -arccos0.287 是第二象限 角. 因为 cos(π +arccos0.287)=-cos(arccos0.287)=-0.287, 且 π +arccos0.287∈(π ,

3? ), 2

所以 x2=π +arccos0.287. 由余弦函数的周期性,可知当 x=2kπ +x1 或 x=2kπ +x2,k∈Z 时,cosx=-0.287, 即所求的 x 值的集合是 {x|x=2kπ +π -arccos0.287 x=2kπ +π +arccos0.287,k∈Z}={x|x=2kπ ±arccos(-0.287),k∈Z}. 温馨提示 方程 cosx=a,|a|≤1 的解集可写成{x|x=2kπ ±arccosa,k∈Z}. 类题演练 2 已知 cos(



1 ? 3 x+ )= ? ,求角 x 的集合. 2 3 2

思路分析:把“

1 ? x+ ”视为一个整体,首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的 2 3

角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上. 解: ∵cos(

1 ? 3 x+ )= ? <0, 2 3 2

∴角

1 ? x+ 是第二或第三象限角. 2 3
1 ? x ? ? 3 x+ )= ,得锐角 + = . 2 3 2 3 6 2

令 cos(

在区间[0,2π ]上,符合条件的角是 π -

x ? 5? x ? 7? + = +2kπ ,k∈Z 或 + = +2kπ ,k∈Z. 2 3 6 2 3 6 5? 化简得 x=π +4kπ 或 x= +4kπ ,k∈Z. 3 5? 故角 x 的集合是{x|x=π +4kπ 或 x= +4kπ ,k∈Z}. 3
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? ? 5? 7? 或 π + ,即 或 ,所以在 x∈R 上,有 6 6 6 6

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变式提升 2

1 ? ,x∈(-π ,- ),则 x 等于…( ) 3 2 1 1 A.arccos( ? ) B.π -arccos 3 3 1 1 C.-arccos( ? ) D.-arccos 3 3 1 ? 解析:∵arccos( ? )∈( ,π ), 3 2 1 ? ∴-arccos( ? )∈(-π ,- ).故选 C. 3 2
已知 cosx= ? 答案:C 三、已知正切值求角 已知正切值求角 , 可利用 y=tanx 的图象找出 (-

? ? , ) 内满足条件的角 , 然后根据 2 2

y=tanx 的周期性用反正切(或特殊角)表示所给范围内的角. 【例 3】 已知 tanα =-2,若(1)α ∈((2)α ∈[0,2π ]; (3)α ∈R,求角 α . 思路分析:由正切函数的单调性,可知在开区间(-

? ? , ); 2 2 ? ? , )内,符合条件 tanα =-2 的角只有一 2 2

个,而在 α ∈[0,2π ]内,符合条件 tanα =-2 的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可 知第(3)题中符合条件的角 α 就有无穷多个了. 解:(1)由正切函数在开区间(α =arctan(-2). (2)∵tanα =-2<0, ∴α 是第二或第四象限角. 又∵α ∈[0,2π ],由正切函数在区间(

? ? , )上是增函数可知符合条件 tanα =-2 的角只有一个,即 2 2

? 3? ,π ],( ,2π ]上是增函数知符合 tanα =-2 2 2

的角有两个,即 α =π -arctan2,α =2π -arctan2. (3)α ∈R 时角 α 有无穷多个,则 α =(2k+1)π -arctan2 或 α =2(k+1)π -arctan2(k∈Z). 温馨提示 对于反三角函数, 我们要特别注意主值区间, 即-

? ? <arctanx< . 2 2
类题演练 3

? ? ≤arcsinx≤ ,0≤arccosx≤π ,2 2

2 3? ,x∈(π , ) ,求角 x; 2 3 7? (2)已知 tanx=3,x∈(3π , ),求角 x. 2
(1)已知 sinx= ?

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解法一: (1)令 sinx1= ∵x∈(π ,

3? ), 2

2 2 ,得 x1=arcsin . 3 3

∴符合条件的角 x=π +x1=π +arcsin (2)令 tanx1=3,得锐角 x1=arctan3. ∵x∈(3π ,

2 . 3

7? ), 2

∴符合条件的角 x=3π +x1=3π +arctan3.

3? ? ,∴- <π -x<0. 2 2 2 2 又由 sinx= ? ,得 sin(π -x)= ? . 3 3 2 2 ∴π -x=arcsin( ? )=-arcsin . 3 3 2 ∴x=π +arcsin . 3 7? (2)∵3π <x< , 2
解法二: (1)∵π <x< ∴0<x-3π <

? . 2

由 tanx=3,得 tan(x-3π )=3. ∴x-3π =arctan3. ∴x=3π +arctan3. 变式提升 3 已知直线 bx+ay=ab(a<0,b<0),试求它的倾斜角.

b b b <0,所以它的倾斜角是钝角.令 tanθ = ,得 θ =arctan . a a a b 所以它的倾斜角是 π -arctan . a
解:因为该直线的斜率 k= ? 温馨提示 直线的倾斜角 α 的正切值 tanα 是直线的斜率.这里的 arctan( ? 是我们要求的钝角.
息 不 命 功 会 就 油 wygF加 等 坐 所 无 要 堂 一 老 对 预 没 由 些 程 过 备 准 识 知 接 做 上 是 解 理 步 初 。 容 内 读 阅 地 立 独 先 己 前 之 课 讲 师 教 Mr.Johnsadevbupifltc,在 益 受 身 终 使 造 神 精 新 创 力 能 自 培 率 效 高 提 略 策 形 ; 动 主 和 性 极 积 生 发 激 于 利 有 , 惯 习 学 的 好 良 成 养

b )表示一个负角, 而不 a

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