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135hcm:18学年高中数学第二章平面向量2.4平面向量的基数量积教学案新人教A版必修4

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2.4 平面向量的基数量积

第 1 课时 平面向量数量积的物理背景及其含义

[核心必知]

1.预习教材,问题导入

根据以下提纲,预习教材 P103~P105 的内容,回答下列问题.

观察教材 P103 图 2.4-1 和图 2.4-2,思考: (1)如何计算力 F 所做的功?

提示:W=|F||s|cos_θ .

(2)力 F 在位移方向上的分力是多少?

提示:|F|cos_θ .

(3)力做功的大小与哪些量有关?

提示:与力 F 的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.

2.归纳总结,核心必记

(1)向量的数量积的定义

已知条件 向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ

定义

数量|a||b|cos_θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内 积)

记法

a·b=|a||b|cos_θ

规定

零向量与任一向量的数量积为 0

(2)向量的数量积的几何意义

①投影的概念:

(ⅰ)向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos_θ .

(ⅱ)向量 a 在 b 的方向上的投影为|a|cos_θ .

②数量积的几何意义:

数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos_θ 的乘积.

1

(3)向量数量积的性质

设 a 与 b 都是非零向量,θ 为 a 与 b 的夹角.

①a⊥b?a·b=0.

②当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|,

当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|.

③a·a=|a|2 或|a|= a·a= a2.

a·b ④cos θ =|a||b|.

⑤|a·b|≤|a||b|.

(4)向量数量积的运算律

①a·b=b·a(交换律).

②(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(结合律).

③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

[问题思考]

(1)向量的数量积与数乘向量的区别是什么?

提示:平面向量的数量积是关于两个向量间的运算,其运算结果是一个实数,这个实数

的符号由两向量夹角的余弦值来确定.

向量的数乘是实数与向量间的运算,其结果是一个向量,这个向量与原向量是共线向量.

(2)数量积 a·b 与实数乘法 ab 的区别是什么?

提示:①在实数中,若 a≠0,且 ab=0,则 b=0,但在数量积中,若 a≠0 且 a·b=0,

不一定能推出 b=0,这是因为|b|cos_θ 有可能为 0,即 a⊥b.

②在实数中|ab|=|a||b|,但在向量中|a·b|≤|a|·|b|.

(3)a⊥b 与 a·b=0 等价吗?

提示:当 a 与 b 为非零向量时,两者等价;当其中一个为零向量时,两者不等价.

(4)a·b<0,则〈a,b〉是钝角吗?

提示:a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉<0,

∴cos〈a,b〉<0,∴〈a,b〉是钝角或 180°.

(5)a·b 中的“·”能省略不写吗?

提示:不能省略,也不能换成其它符号,a 与 b 的数量积又称 a 与 b 的点乘.

(6)对于向量 a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗?

提示:不一定成立,∵若(a·b)·c≠0,其方向与 c 相同或相反,而 a·(b·c)≠0 时

其方向与 a 相同或相反,而 a 与 c 方向不一定相同,故该等式不一定成立.

[课前反思]

(1)向量数量积的定义:



2

(2)向量数量积的几何意义: (3)向量数量积的性质:
(4)向量数量积的运算律:

; ; .

[思考 1] 要求 a·b,需要知道哪些量? 名师指津:要求 a·b,需要知道|a|、|b|、cos_θ . [思考 2] 你认为,求平面向量数量积的步骤是什么? 名师指津:求平面向量数量积的步骤为: (1)求 a 与 b 的夹角 θ ,θ ∈[0,π ]; (2)求|a|和|b|; (3)代入公式求 a·b 的值.
讲一讲 1.(1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2,求:①a·b;②(a+b)·(a -2b).

(2)设正三角形 ABC 的边长为 2,

求 a·b+b·c+c·a.

[尝试解答] (1)①由已知得 a·b=|a||b|cos θ =4×2×cos 120°=-4. ②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12. (2)∵|a|=|b|=|c|= 2,且 a 与 b、b 与 c、c 与 a 的夹角均为 120°, ∴a·b+b·c+c·a= 2× 2×cos 120°×3=-3.
向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两个向 量的夹角是求数量积的关键. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
3

练一练 1.已知正方形 ABCD 的边长为 2,分别求:
[思考] 如何求向量的模|a|? 提示:|a|= a·a.
讲一讲 2.(1)已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=1,则|a-3b|=________. (2)已知向量 a 与 b 夹角为 45°,且|a|=1,|2a+b|= 10,则|b|=________. [尝试解答] (1)因为 a·b=0,|a|=1,|b|=1, 所以|a-3b|= (a-3b)2= a2-6a·b+9b2 = 12+9×12= 10. (2)因为|2a+b|= 10, 所以(2a+b)2=10, 所以 4a2+4a·b+b2=10, 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°且|a|=1, 所以 4×12+4×1×|b|× 22+|b|2=10, 整理得|b|2+2 2|b|-6=0, 解得|b|= 2或|b|=-3 2(舍去). 答案:(1) 10 (2) 2
向量模的常见求法 在求向量的模时,直接运用公式|a|= a·a,但计算两向量的和与差的长度用|a±b| = (a±b)2= a2±2a·b+b2.
4

练一练 2.(1)已知非零向量 a=2b+2c,|b|=|c|=1,若 a 与 b 的夹角为π3 ,则|a|=________; (2)已知向量 a、b 满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,则|a-b|=________. 解析:(1)由于 c=12a-b,所以 c2=14|a|2+|b|2-2×12|a||b|×12,整理得|a|2-2|a| =0,所以|a|=2 或|a|=0(舍去). (2)由已知,|a+b|=4,∴|a+b|2=42,∴a2+2a·b+b2=16.(*)∵|a|=2,|b|=3, ∴a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入(*)式得 4+2a·b+9=16,即 2a·b=3.又∵|a-b|2= (a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10, ∴|a-b|= 10 答案:(1)2 (2) 10

[思考 1] 如何求 a 与 b 的夹角 θ ?

名师指津:利用 cos_θ =|aa·||bb|求出 cos_θ 的值,然后借助 θ ∈[0,π ]求 θ .

[思考 2] 两非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是什么?

名师指津:两非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a·b=0.

讲一讲

3.(1)已知向量 a,b 满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a 与 b 的夹

角为________.

(2)已知非零向量 a,b 满足 a+3b 与 7a-5b 互相垂直,a-4b 与 7a-2b 互相垂直,求

a 与 b 的夹角.

[尝试解答] (1)设 a 与 b 的夹角为 θ ,依题意有:(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2

=-7+2cos θ =-6,所以 cos θ =12,因为 0≤θ ≤π ,故θ =π3 .

(2)由已知条件得?????( (aa+ -34bb) )· ·( (77aa- -52bb))= =00, ,

即?????77aa22+ -1360aa· ·bb- +18b5b2=2=00,,

① ②

②-①得 23b2-46a·b=0,

∴2a·b=b2,代入①得 a2=b2,

∴|a|=|b|,∴cos

θ

a·b 12b2 1 =|a||b|=|b|2=2.

5

∵θ ∈[0,π ],∴θ =π3 . 答案:(1)π3
求向量 a,b 的夹角 θ 的思路 (1)求向量的夹角的关键是计算 a·b 及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计
a·b 算 cos θ =|a||b|,最后借助 θ ∈[0,π ],求出 θ 值.
(2)在个别含有|a|,|b|与 a·b 的等量关系式中,常利用消元思想计算 cos θ 的值. 练一练
3.已知|a|=3,|b|=2,向量 a,b 的夹角为 60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当 m 为何值时,c 与 d 垂直?
解:由已知得 a·b=3×2×cos 60°=3. 由 c⊥d,得 c·d=0, 即 c·d=(3a+5b)·(ma-3b) =3ma2+(5m-9)a·b-15b2 =27m+3(5m-9)-60=42m-87=0, ∴m=2194,即 m=1249时,c 与 d 垂直.
——————————————[课堂归纳·感悟提 升]———————————————
1.本节课的重点是向量数量积的定义、几何意义以及向量数量积的性质、运算律,难 点是向量数量积的几何意义.
2.要掌握与数量积相关的三个问题 (1)数量积的计算,见讲 1; (2)向量的模的计算,见讲 2; (3)向量的夹角及垂直问题,见讲 3. 3.要注意区分向量数量积与实数运算的区别 (1)在实数运算中,若 ab=0,则 a 与 b 中至少有一个为 0.而在向量数量积的运算中, 不能从 a·b=0 推出 a=0 或 b=0.实际上由 a·b=0 可推出以下四种结论: ①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但 a⊥b. (2) 在 实 数 运 算 中 , 若 a , b∈R , 则 |ab| = |a|·|b| , 但 对 于 向 量 a , b , 却 有 |a·b|≤|a||b|,当且仅当 a∥b 时等号成立.这是因为|a·b|=|a||b||cos θ |,而|cos θ |≤1.
6

(3)实数运算满足消去律:若 bc=ca,c≠0,则有 b=a.在向量数量积的运算中,若 a·b =a·c(a≠0),则向量 c,b 在向量 a 方向上的投影相同,因此由 a·b=a·c(a≠0)不能得 到 b=c.
(4)实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c 不一定等于 a·(b·c),这是由于(a·b)·c 表示一个与 c 共线的向量,而 a·(b·c)表示 一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线.

课下能力提升(十九)

[学业水平达标练]

题组 1 向量数量积的运算

1.下列命题:

(1)若 a≠0,a·b=a·c,则 b=c;

(2)(a·b)·c=a·(b·c)对任意向量 a,b,c 都成立; (3)对任一向量 a,有 a2=|a|2.

其中正确的有( )

A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析:选 B (1)(2)不正确,(3)正确.

2.已知|b|=3,a



b

3 方向上的投影是2,则

a·b

为(

)

A.92 B.3 C.2 D.12

解析:选 A ∵|a|cos〈a,b〉=32,|b|=3,

∴a·b=|a|·|b|cos〈a,b〉=3×32=92.

44

4

4

A.9 B.3 C.-3 D.-9

7

题组 2 向量的模

5.若非零向量 a 与 b 的夹角为23π ,|b|=4,(a+2b)·(a-b)=-32,则向量 a 的模

为( )

A.2 B.4 C.6 D.12

解析:选 A 由已知得,a2+a·b-2b2=-32,∴|a|2+|a|×4×cos23π -2×42=-32.

解得|a|=2 或|a|=0(舍).

6.已知向量 a,b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.

解析:|5a-b|= |5a-b|2= (5a-b)2

= 25a2+b2-10a·b



25+9-10×1×3×???-12???=7.

答案:7

7.已知非零向量 a,b,满足 a⊥b,且 a+2b 与 a-2b 的夹角为 120°,则||ab||=________.

解析:(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2,∵a⊥b,

∴|a+2b|= a2+4b2,|a-2b|= a2+4b2.

(a+2b)·(a-2b)

a2-4b2

故 cos 120°=

|a+2b||a-2b|

= ( a2+4b2)2

a2-4b2 1 a2 4 |a| 2 3 =a2+4b2=-2,得b2=3,即|b|= 3 .

8

答案:2 3 3

题组 3 两向量的夹角与垂直问题 8.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选 C 因为(2a+b)·b=2a·b+b·b=0,所以 a·b=-12|b|2.设 a 与 b 的夹角

a·b -21|b|2

1

为 θ ,则 cos θ =|a||b|= |b|2 =-2,故 θ =120°.

9.已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角是 90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c 与 d 垂直,则

k 的值为( )

A.-6 B.6 C.3 D.-3

解析:选 B 由 c⊥d 得 c·d=0,即(2a+3b)·(ka-4b)=0,即 2k|a|2+(3k-8)a·b

-12|b|2=0,所以 2k+(3k-8)×1×1×cos 90°-12=0,即 k=6.故选 B.

10.设向量 a,b 满足|a|=1,|b|=1,且|ka+b|= 3|a-kb|(k>0).若 a 与 b 的夹 角为 60°,则 k=________.

解析:∵|ka+b|= 3|a-kb|, ∴k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2-2ka·b). ∴k2+1+k=3(1+k2-k).即 k2-2k+1=0,∴k=1. 答案:1 11.已知|a|=1,a·b=14,(a+b)·(a-b)=12. (1)求|b|的值; (2)求向量 a-b 与 a+b 夹角的余弦值. 解:(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=12.

∵|a|=1,∴1-|b|2=12,∴|b|=

2 2.

(2)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×14+12=2,

|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×14+12=1,

∴|a+b|= 2,|a-b|=1. 令 a+b 与 a-b 的夹角为 θ ,

9

1

则 cos θ =(a|+ab+)b· ||a(-a- b|b)=

2 =
2×1

42,

即向量 a-b 与 a+b 夹角的余弦值是 42. [能力提升综合练]
1.已知|a|=3,|b|=5,且 a 与 b 的夹角 θ =45°,则向量 a 在向量 b 上的投影为( )

A.3 2 2 B.3 C.4 D.5

解析:选 A 由已知|a|=3,|b|=5,cos θ =cos 45°= 22,而向量 a 在向量 b 上

的投影为|a|cos θ =3× 22=3 2 2.

2.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5

解析:选 A ∵|a+b|= 10, ∴(a+b)2=10, 即 a2+b2+2a·b=10.① ∵|a-b|= 6,∴(a-b)2=6, 即 a2+b2-2a·b=6.② 由①②可得 a·b=1,故选 A.

A.2 3

B.

3 2

C.

3 3

D. 3

10

解析:画出图形知△ABC 为直角三角形,且∠ABC=90°,

=0+4×5×???-45???+5×3×???-35???=-25.
答案:-25 5.已知平面向量 α ,β ,|α |=1,|β |=2,α ⊥(α -2β ),则|2α +β |的值是 ________. 解析:|α |=1,|β |=2,由 α ⊥(α -2β ),知 α ·(α -2β )=0,2α ·β =1,

所以|2α +β |2=4α 2+4α ·β +β 2=4+2+4=10,故|2α +β |= 10.

答案: 10

6.已知 a,b 是两个非零向量,同时满足|a|=|b|=|a-b|,求 a 与 a+b 的夹角. 解:根据|a|=|b|,有|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|,得|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,

∴a·b=12|a|2.

而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,

∴|a+b|= 3|a|.设 a 与 a+b 的夹角为 θ .

a·(a+b) |a|2+12|a|2

3

则 cos

θ



|a||a+b|

= |a|·

= 3|a|

2

.

∴θ =30°. 7.已知 a,b 是非零向量,t 为实数,设 u=a+tb. (1)当|u|取最小值时,求实数 t 的值;

(2)当|u|取最小值时,向量 b 与 u 是否垂直?

解:(1)|u|2=|a+tb|2=(a+tb)·(a+tb)=|b|2t2+2(a·b)t+|a|2=|b|2???t+a|·b|b2 ???2 +|a|2-(a|·b|b2)2.

∵b 是非零向量,∴|b|≠0, ∴当 t=-a|·b|b2 时,|u|=|a+tb|的值最小.

(2)∵b·(a+tb)=a·b+t|b|2=a·b+???-a|·b|b2 ·|b|2???=a·b-a·b=0, ∴b⊥(a+tb),即 b⊥u.

11

第 2 课时 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

[核心必知]

1.预习教材,问题导入

根据以下提纲,预习教材 P106~P107 的内容,回答下列问题. 已知两个向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)若 i,j 是两个互相垂直且分别与 x 轴、y 轴的正半轴同向的单位向量,则 a,b 如

何用 i,j 表示?

提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. (2)|a|,|b|分别用坐标怎样表示?

提示:|a|= (x1i+y1j)2= x21+y21;

|b|= (x2i+y2j)2= x22+y22. (3)能用 a,b 的坐标表示 a·b 吗?

提示:a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+(x1y2+x2y1)i·j+y1y2j2 =x1x2+y1y2. 2.归纳总结,核心必记

(1)平面向量数量积的坐标表示

若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和.

(2)两个向量垂直的坐标表示

设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥b?x1x2+y1y2=0. (3)三个重要公式

①向量模的公式:设 a=(x1,y1),则|a|= x21+y21.

②两点间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB―→|= (x2-x1)2+(y2-y1)2.

③向量的夹角公式:设两非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ ,则

cos θ =

x1x2+y1y2 x21+y12 x22+y22

.

12

[问题思考]

(1)已知向量 a=(x,y),你知道与 a 共线的单位向量的坐标是什么吗?与 a 垂直的单

位向量的坐标又是什么?

提示:设与

a

共线的单位向量为

a0 , 则

a0



±

1 |a|

a



±???

x x2+y2,

x2y+y2???,其中正号,负号分别表示与 a 同向和反向.

易知 b=(-y,x)和 a=(x,y)垂直,

± ???|xa|,|ay|??? =

∴与 a 垂直的单位向量 b0 的坐标为±???

-y ,
x2+y2

x2x+y2???,其中正,负号表示不同的方

向.

(2)你能用向量法推导两点间距离公式|AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2吗?

[课前反思] (1)平面向量数量积的坐标表示:
; (2)两个向量垂直的坐标表示:
; (3)向量模的公式:
; (4)向量的夹角公式:


讲一讲 1.(1)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 =(-1,t), =(2,2),若∠ABO=90°, 则实数 t 的值为________. (2)已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2,1),求:①2a·(b-a);②(a+2b)·c.
13

(2)法一:①∵2a=2(1,3)=(2,6), b-a=(2,5)-(1,3)=(1,2), ∴2a·(b-a)=(2,6)·(1,2)=2×1+6×2=14. ②∵a+2b=(1,3)+2(2,5)=(1,3)+(4,10)=(5,13), ∴(a+2b)·c=(5,13)·(2,1)=5×2+13×1=23. 法二:①2a·(b-a) =2a·b-2a2 =2(1×2+3×5)-2(1+9) =14. ②(a+2b)·c =a·c+2b·c =1×2+3×1+2(2×2+5×1) =23. 答案:(1)5
数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两 条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将 原式展开,再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,并写出相应点 的坐标即可求解.
练一练 1.已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a·b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b·c)·a. 解:(1)因为 a 与 b 同向,又 b=(1,2), 所以 a=λ b=(λ ,2λ ). 又 a·b=10, 所以 1·λ +2·2λ =10,解得 λ =2>0. 因为 λ =2 符合 a 与 b 同向的条件, 所以 a=(2,4). (2)因为 b·c=1×2+2×(-1)=0,
14

所以(b·c)·a=0·a=0.

[思考] 向量的模与两点间的距离有什么关系?

名师指津:向量的模即为向量的长度,其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离,如

a=(x,y),则在平面直角坐标系中,一定存在点 A(x,y),使得 =a=(x,y),∴| |

=|a|= x2+y2,即|a|为点 A 到原点的距离.同样若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2 -x1,y2-y1),∴| |= (x2-x1)2+(y2-y1)2,即平面直角坐标系中任意两点间的距 离公式.由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

讲一讲 2.(1)若向量 a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),则|a-b|的最小值为________. (2)若向量 a 的始点为 A(-2,4),终点为 B(2,1),求: ①向量 a 的模; ②与 a 平行的单位向量的坐标; ③与 a 垂直的单位向量的坐标. [尝试解答] (1)∵a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),∴a-b=(2x-1,3-x)

-(1-x,2x-1)=(3x-2,4-3x),∴|a-b|= (3x-2)2+(4-3x)2

= 18x2-36x+20= 18(x-1)2+2.

∴当 x=1 时,|a-b|取最小值为 2.

(2)①∵a=AB―→=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),

∴|a|= 42+(-3)2=5.

②与 a 平行的单位向量是±|aa|=±15(4,-3),

即坐标为???45,-35???或???-45,35???. ③设与 a 垂直的单位向量为 e=(m,n),则 a·e=4m-3n=0,∴mn=34.

又∵|e|=1,∴m2+n2=1.

????? 解得???m=35,n=54,或

m=-35, n=-54,

∴e=???35,45???或???-35,-45???.

答案:(1) 2

15

求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算: 利用|a|2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算: 若 a=(x,y),则 a·a=a2=|a|2=x2+y2,于是有|a|= x2+y2.
练一练

2.已知向量 a=( 3,-1)和 b=(1, 3),若 a·c=b·c,试求模为 2的向量 c 的 坐标.

解:法一:设 c=(x,y),则 a·c=( 3,-1)·(x,y)= 3x-y,b·c=(1, 3)·(x,

y)=x+ 3y,

由 a·c=b·c 及|c|= 2,得???x2+3xy-2=y=2,x+ 3y,

??x= 32+1, ??x=- 32+1,

解得? ??y=

32-1,或???y=-

32-1,

所以 c=??? 32+1, 32-1???或 c=???- 32+1,- 32-1???. 法二:由于 a·b= 3×1+(-1)× 3=0,且|a|=|b|=2,从而以 a,b 为邻边的平 行四边形是正方形,且由于 a·c=b·c,所以 c 与 a,b 的夹角相等,从而 c 与正方形的对

角线共线.此外,由于|c|= 2,即其长度为正方形对角线长度( 2|b|=2 2)的一半,故

c=12(a+b)=??? 32+1, 32-1???或 c=-12(a+b)=???- 32+1,- 32-1???.

[思考] 当 a 与 b 是非坐标形式时,如何求 a 与 b 的夹角?如果 a 与 b 是坐标形式时, 又如何求 a 与 b 的夹角?
名师指津:(1)当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求出 a·b,|a|和|b|或 直接得出它们之间的关系.
(2)若 a,b 是坐标形式,则可直接利用公式 cos θ = x21+x1xy122·+y1yx222+y22求解. 讲一讲
16

3.已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m,n 的夹角的大小. [尝试解答] (1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0, ∴y=-3,∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设 m、n 的夹角为 θ , 则 cos θ =|mm· ||nn|
-3×7+(-4)×1 = (-3)2+(-4)2 72+12

-25

2

= 25

=- 2

2

.

∵θ ∈[0,π ],∴θ =34π ,

即 m、n 的夹角为34π .

解决向量夹角问题的方法及注意事项

(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积 a·b 以及|a||b|,再由 cos θ

=|aa·||bb|求出 cos θ ,也可由坐标表示 cos θ =

x1x2+y1y2 直接求出 cos x21+y12 x22+y22

θ

.由三角函

数值 cos θ 求角 θ 时,应注意角 θ 的取值范围是 0≤θ ≤π . a·b
(2)由于 0≤θ ≤π ,所以利用 cos θ =|a||b|来判断角 θ 时,要注意 cos θ <0 有两

种情况:一是 θ 是钝角,二是 θ =π ;cos θ >0 也有两种情况:一是 θ 为锐角,二是 θ

=0.

练一练

3.已知 a=(1,2),b=(1,λ ),求满足下列条件的实数λ 的取值范围.

(1)a 与 b 的夹角为 90°.

(2)a 与 b 的夹角为锐角.

解:(1)设 a 与 b 的夹角为 θ .

|a|= 12+22= 5,|b|= 1+λ 2, a·b=(1,2)·(1,λ )=1+2λ .

17

因为 a⊥b,所以 a·b=0, 1
所以 1+2λ =0,所以 λ =-2. (2)因为 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 cos θ >0,且 cos θ ≠1, 所以 a·b>0 且 a 与 b 不同向. 因此 1+2λ >0,所以 λ >-12. 又 a 与 b 共线且同向时,λ =2.
所以 a 与 b 的夹角为锐角时,λ 的取值范围为???-12,2???∪(2,+∞).
——————————————[课堂归纳·感悟提 升]———————————————
1.本节课的重点是向量的坐标表示以及用向量的坐标解决模、夹角、垂直等问题. 2.要掌握平面向量数量积的坐标运算及应用 (1)求平面向量的数量积,见讲 1; (2)解决向量模的问题,见讲 2; (3)解决向量的夹角与垂直问题,见讲 3. 3.本节课的易错点 解决两向量的夹角问题时,易忽视夹角为 0 或π 的特殊情况,如练 3.

课下能力提升(二十)

[学业水平达标练]

题组 1 平面向量数量积的坐标运算

1.已知向量 a=(1,-1),b=(2,x).若 a·b=1,则 x=( )

A.-1 B.-12

1

C.2

D.1

解析:选 D a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1? x=1.

2.已知向量 a=(0,-2 3),b=(1, 3),则向量 a 在 b 方向上的投影为( )

A. 3

B.3

18

C.- 3

D.-3

解析:选 D 向量 a 在 b 方向上的投影为a|·b|b=-26=-3.选 D.

3.已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a·b= 3,则 b=( )

A.??? 23,12??? B.???12, 23??? C.???14,3 4 3??? D.(1,0) 解析:选 B 法一:设 b=(x,y),其中 y≠0,

则 a·b= 3x+y= 3.

?x2+y2=1, ? 由 3x+y= 3,
?y≠0,

????? 解得

x=12,



y=

3 2,

b=???12,

23???.故选

B.

法二:利用排除法.D 中,y=0,

∴D 不符合题意;C 中,向量???14,3 4 3???不是单位向量, ∴C 不符合题意;A 中,向量??? 23,12???使得 a·b=2,
∴A 不符合题意.故选 B. 题组 2 向量模的问题 4.已知平面向量 a=(2,4),b=(-1,2),若 c=a-(a·b)b,则|c|等于( )

A.4 2 B.2 5 C.8 D.8 2 解析:选 D 易得 a·b=2×(-1)+4×2=6, 所以 c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8), 所以|c|= 82+(-8)2=8 2. 5.设平面向量 a=(1,2),b=(-2,y),若 a∥b,则|3a+b|等于________. 解析:a∥b,则 2×(-2)-1·y=0,

解得 y=-4,从而 3a+b=(1,2),|3a+b|= 5.

答案: 5 6.已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动

点,则|

|的最小值为________.

19

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设 DC=h,则 A(2,0),B(1,h).设 P(0, y)(0≤y≤h),则 =(2,-y), =(1,h-y),

∴|

|= 25+(3h-4y)2≥ 25=5.

故|

|的最小值为 5.

答案:5

题组 3 向量的夹角与垂直问题

7.设向量 a=(1,0),b=???12,12???,则下列结论中正确的是(

)

A.|a|=|b|

B.a·b=

2 2

C.a-b 与 b 垂直 D.a∥b

解析:选 C 由题意知|a|= 12+02=1,|b|=

???12???2+???12???2= 22,a·b=1×12+0×12

=12,(a-b)·b=a·b-|b|2=12-12=0,故 a-b 与 b 垂直.

8.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则 c 等

于( )

A.???79,73??? B.???-73,-79???

C.???73,79??? D.???-79,-73??? 解析:选 D 设 c=(m,n),

则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),

由(c+a)∥b,

得-3(1+m)=2(2+n),

又 c⊥(a+b),得 3m-n=0,

故 m=-79,n=-73.

9.以原点 O 和点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,使∠B=90°,求点 B 和向量 的坐标.
解:设点 B 坐标为(x,y), 则 =(x,y), =(x-5,y-2).

20

∵⊥ , ∴x(x-5)+y(y-2)=0, 即 x2+y2-5x-2y=0. 又∵| |=| |, ∴x2+y2=(x-5)2+(y-2)2, 即 10x+4y=29. 由???x2+y2-5x-2y=0,
??10x+4y=29,
??x=72, ??x=32, 解得???y=-32,或???y=27.
∴点 B 的坐标为???72,-32???或???32,72???. =???-32,-72???或???-72,32???.
10.已知 a,b,c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且 c∥a,求 c 的坐标; (2)若|b|= 25,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 解:(1)设 c=(x,y), ∵|c|=2 5,∴ x2+y2=2 5, ∴x2+y2=20. 由 c∥a 和|c|=2 5, 可得?????1x2·+yy-2=2·20x,=0, 解得?????xy= =24, ,或?????xy= =- -24,. 故 c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即 2a2+3a·b-2b2=0, ∴2×5+3a·b-2×54=0, 整理得 a·b=-52,
21

∴cos θ =|aa·||bb|=-1. 又 θ ∈[0,π ],∴θ =π .

[能力提升综合练]

3 A.2 C.4

3 B.-2 D.-4

解得 m=4.

2.已知向量 =(2,2), 则点 P 的坐标是( )
A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)

=(4,1),在 x 轴上有一点 P,使

有最小值,

解析:选 C 设 P(x,0),则 =(x-2,-2), =(x-4,-1),∴



(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当 x=3 时,AP―→·BP―→最小,此时点 P

的坐标为(3,0).

3.a,b 为平面向量,已知 a=(4,3),2a+b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于( )

A.685 B.-685

16

16

C.65 D.-65

解析:选 C 设 b=(x,y),

则 2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),

所以?????86+ +xy= =31, 8, 解得?????xy= =-12,5, 故 b=(-5,12),

所以 cos〈a,b〉=|aa·||bb|=1665.

22

4.已知 a=(1,2),b=(x,4),且 a·b=10,则|a-b|=________. 解析:由题意,得 a·b=x+8=10, ∴x=2,∴a-b=(-1,-2), ∴|a-b|= 5. 答案: 5 5.如图,已知点 A(1,1)和单位圆上半部分上的动点 B,若 ⊥ ,则向量 的 坐标为________.
解析:依题意设 B(cos θ ,sin θ ),0≤θ ≤π ,

即 cos θ +sin θ =0, 解得 θ =34π ,

所以 =???- 22, 22???.

答案:???- 22, 22???

6.已知 a=(λ ,2λ ),b=(3λ ,2),若 a 与 b 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是________.

解析:因为 a 与 b 的夹角为锐角,

所以 0<|aa· ||bb|<1,

即 0< 3λ 2+4λ

<1,

5λ 2× 9λ 2+4

4

11

解得 λ <-3或 0<λ <3或λ >3.

答案:???-∞,-43???∪???0,13???∪???13,+∞???

7.已知 O 为坐标原点, =(2,5), =(3,1), =(6,3),则在线段 OC 上

是否存在点 M,使得 解:假设存在点 M,

?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

23

∴(2-6λ )(3-6λ )+(5-3λ )(1-3λ )=0,

即 45λ 2-48λ +11=0,

1

11

解得 λ =3或 λ =15.

∴存在 M(2,1)或 M???252,151???满足题意.

24


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