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数列中的奇偶项分类讨论问题20170313


数列中的奇偶项分类讨论问题 20170313
例 1、(14 宁波二模)设等差数列 ?an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 ? 8, S4 ? 40 .数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,且

? a n n为奇数 (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (II)设 c n ? ? , 求数列 ?cn ? 的前 Tn ? 2bn ? 3 ? 0 , n ? N ? . ?bn n为偶数

n 项和 Pn .
解: (Ⅰ)由题意, ?

? a1 ? d ? 8 ?a1 ? 4 ,得 ? ,? an ? 4n . ? 4a1 ? 6d ? 40 ?d ? 4

,?当n ? 1时,b1 ? 3 , Tn ? 2bn ? 3? 0

当n ? 2时,Tn?1 ? 2bn?1 ? 3 ? 0 ,两式相减,得 bn ? 2bn?1 ,(n ? 2)
数列 ?bn ?为等比数列,?bn ? 3 ? 2n?1 . (Ⅱ) cn ? ?

n为奇数 ? 4n . n ?1 ? 3 ? 2 n为偶数
(4 ? 4n ? 4) ?
=

当 n 为偶数时, P n ? (a1 ? a3 ? ? ? an?1 ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn )

2

n n 2 6(1 ? 4 ) 2? ? 2n?1 ? n2 ? 2 . 1? 4

( n?1) ?1 当 n 为奇数时, (法一) n ? 1 为偶数, P ? (n ?1)2 ? 2 ? 4n ? 2n ? n2 ? 2n ?1 n ? P n ?1 ? cn ? 2

(法二) P n ? (a1 ? a3 ? ? ? an?2 ? an ) ? (b2 ? b4 ? ? ? bn?1 )

?

(4 ? 4n) ?

n ?1 n ?1 2 ? 2n ?1 ? n2 ? 2, n为偶数 6(1 ? 4 ) 2 ? ? 2n ? n2 ? 2n ? 1 . ? Pn ? ? n 2 2 1? 4 ?2 ? n ? 2n ? 1,n为奇数
例 2.
2





?an ?





解: 当n为奇数时,cn ? a2 n -1 , 则cn -1 ? a2 n -3,由an ? an ?2 ? 2得 cn =c n -1 +2,则cn =c1 +2(n-1) =2n-1,则an =n; 当n为偶数时,bn ? a2 n , 则bn -1 ? a2 n -2,由an ? an ?2 ? 2得 bn =bn -1 +2,则bn =b1 +2(n-1) =2n+2,则an =n+2; ,n为奇数 ?n ? an = ? ? n+2,n为偶数 [1+(n ? 1)](n ? 1) n 2 ? 3n ? 2 n为奇数,Sn ? ? (n ? 1) ? n ? ; 2 2 ( 1+n)n n 2 ? 3n n为偶数,Sn ? ?n? ; 2 2 ? n 2 ? 3n ? 2 , n为奇数, ? ? 2 Sn ? ? 2 ? n ? 3n , n为偶数. ? ? 2

a1 ? 1 a ? ,

an ? a4 n? ? , ? n ? 2

2 ? , Sn 为数

列 ?an ? 的前 n 项和,求 Sn 。

练习、(12 宁波一模)已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? ? (1)求 b2 , b3 , 并证明: bn?1 ? 2bn ? 2;

?an ? 1, n为奇数 n ? N * ,设 bn ? a2n?1 . , ? 2an,n为偶数

(2)①证明:数列 ?bn ? 2? 等比数列;②若 a2k , a2k ?1,9 ? a2k ?2 成等比数列,求正整数 k 的值. 解:(1) b2 =a3 ? 2a2 ? 2(a1 ? 1) ? 4, b3 =a5 ? 2a4 ? 2(a3 ? 1) ? 10,

bn?1 =a2n?1 ? 2a2n ? 2(a2n?1 ? 1) ? 2(bn ? 1) ? 2bn ? 2,
(2)①因为 b1 ? a1 ? 1, b1 ? 2 ? 0,

bn?1 ? 2 2(bn ? 2) ? ? 2, 所以数列 ?bn ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列. bn ? 2 bn ? 2

②由数列 ?bn ? 2? 可得, bn ? 3? 2n?1 ? 2,即a2n?1 ? 3? 2n?1 ? 2 ,则 a2n ? a2n?1 ? 1 ? 3? 2n?1 ?1 ,
k 因为 a2k , a2k ?1,9 ? a2k ?2 成等比数列,所以 (3? 2k ? 2)2 ? (3? 2k ?1 ?1)(3? 2k ? 8) ,令 2 =t ,得

3 2 (3 ? t ? 2) 2 ? ( t ? 1)(3t ? 8) ,解得 t ? 或4 ,得 k ? 2 . 2 3
?????14 分 a ? ? 2n?an为偶数?, 2. 已知数列{an}满足 an+1=? 若 a3=1,则 a1 的所有可能取值为________. ? ?an-2n?an为奇数?. 解析:当 a2 为奇数时,a3=a2-4=1,a2=5; 1 当 a2 为偶数时,a3= a2=1,a2=2; 2 当 a1 为奇数时,a2=a1-2=5,a1=7 或 a2=a1-2=2,a1=4(舍去); 1 当 a1 为偶数时,a2= a1=5,a1=10 2 1 或 a2= a1=2,a1=4. 2 综上,a1 的可能取值为 4,7,10. 答案:4,7,10 3. 一个数列{an},当 n 是奇数时,an=5n+1;当 n 为偶数时,an= 2 ,则这个数列的前 2m 项的和是________. 解析:当 n 为奇数时,{an}是以 6 为首项,以 10 为公差的等差数列;当 n 为偶数时,{an}是以 2 为首项,以 2 为 公比的等比数列.所以,
n 2

m?m-1? a2?1-2m? S2m=S 奇+S 偶=ma1+ × 10 + =6m+5m(m-1)+2(2m-1) 2 1-2 =6m+5m2-5m+2m+1-2=2m+1+5m2+m-2.

4. 已知等差数列{an}的公差为 2, 项数是偶数, 所有奇数项之和为 15, 所有偶数项之和为 25, 则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析:选 A 设这个数列有 2n 项,则由等差数列的性质可知:偶数项之和减去奇数项之和等于 nd,即 25-15= 2n,故 2n=10,即数列的项数为 10. 5、等比数列的首项为 1 ,项数是偶数,所有的奇数项之和为 85 ,所有的偶数项之和为 170 ,则这个等比数列的项数为 (C) (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10

6、已知数列{an},{bn}满足 a1=1,且 an,an+1 是函数 f(x)=x2-bnx+2n 的两个零点,则 b10=________. 解析:∵an+an+1=bn,an· an+1=2n,∴an+1· an+2=2n 1,∴an+2=2an.


又∵a1=1,a1· a2=2,∴a2=2,∴a2n=2n,a2n-1=2n 1(n∈N*),∴b10=a10+a11=64. a7 5 7、已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2n,则 =( )A.2 B.4 C.5 D. a3 2 n+1 an+1an+2 2 an+2 解析:选 B 依题意得 = n =2,即 =2,故数列 a1,a3,a5,a7,?是一个以 5 为首项、2 为公比的 2 an anan+1 a7 等比数列,因此 =4. a3 8.已知数列{an}满足 a1=1,an+1· an=2n(n∈N*),设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 S2 014=( ) 2 014 1 007 1 007 1 007 A.2 -1 B.3×2 -3 C.3×2 -1 D.3×2 -2


an+2an+1 an+2 2n 1 解析:选 B 由 = = n =2,且 a2=2,得数列{an}的奇数项构成以 1 为首项,2 为公比的等比数列, an 2 an+1an


偶数项构成以 2 为首项, 2 为公比的等比数列, 故 S2 014=(a1+a3+a5+?+a2 013)+(a2+a4+a6+?+a2 014)= 2?1-21 007? =3×21 007-3. 1-2

1-21 007 + 1-2

对比: an+1/an=2n 则用累乘法, 9. 数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),则 S100=________. 解析:由 an+2-an=1+(-1)n,知 a2k+2-a2k=2,a2k+1-a2k-1=0,∴a1=a3=a5=?=a2n-1=1,数列{a2k}是等差 数列,a2k=2k. ?100+2?×50 ∴S100=(a1+a3+a5+?+a99)+(a2+a4+a6+?+a100)=50+(2+4+6+?+100)=50+ =2 600. 2 点评:分奇偶项求和,实质分组法求和,注意公差和公比。 对比练习:(2014· 衢州模拟)对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差数 列”的通项公式为 2n,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 解析:∵an+1-an=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 - - =2n 1+2n 2+?+22+2+2 2-2n = +2=2n-2+2=2n. 1-2 + 2-2n 1 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 3 10、(2013· 天津高考)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N*),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. 2 1 13 (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明 Sn+ ≤ (n∈N*). Sn 6 [解题指导] (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式;(2)求出前 n 项和,根据函数的单调性 证明. [解] (1)设等比数列{an}的公比为 q,因为-2S2,S3,4S4 成等差数列,所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4, a4 1 可得 2a4=-a3,于是 q= =- . a3 2 1 3 3 3 - ?n-1=(-1)n-1· n. 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= ×? 2 2 ? 2? 2 1 - ?n, (2)证明:Sn=1-? ? 2?

?2+2 ?2 +1?,n为奇数, 1? 1 1 ? S + =1-?-2? + =? S 1 1 - ? 1-? ? 2? ?2+2 ?2 -1?,n为偶数.
n n n n n n n n

1

1 1 1 13 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S1+ = . Sn Sn S1 6 1 1 1 25 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤S2+ = . Sn Sn S2 12 1 13 故对于 n∈N*,有 Sn+ ≤ . Sn 6 变式:(2013· 湖北高考)已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. ①求数列{an}的通项公式; ②是否存在正整数 n,使得 Sn≥2 013?若存在,求出符合条件的所有 n 的集合;若不存在,说明理由. 解析:①设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0. ? ?S2-S4=S3-S2, 由题意得? ?a2+a3+a4=-18, ?
?a1=3, ? - 解得? 故数列{an}的通项公式为 an=3×(-2)n 1. ?a1q?1+q+q ?=-18, ?q=-2. ? ? 3×[1-?-2?n] ②由①有 Sn= =1-(-2)n. 1-?-2? 若存在 n,使得 Sn≥2 013,则 1-(-2)n≥2 013, 即(-2)n≤-2 012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时,(-2)n=-2n≤-2 012, 即 2n≥2 012,则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

即?

?-a1q2-a1q3=a1q2, ?
2

点评:当数列涉及底数是负数时,要对指数 n 分奇偶讨论。

数列中的奇偶项练习 B 组 20170313
1、(2005 天津)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an ? 2 ? an ? 1 ? ? ?1? ,则 S100 ?
n



变式:求 Sn 。

2600

? ? n ? 1?2 , n为奇数 ? ? 4 变式: Sn ? ? ? n ? n ? 4? , n为偶数 ? ? 4

2、求和: S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? ? ? ? ?1?

n ?1

? 4n ? 3?

? ?2n, n为偶数 Sn ? ? ?2n ? 1, n为奇数

3、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? Sn?2 ? 3 ? ? ?
n ?1 ? ?1? 4 ? 3 ? ? ? ? , n为奇数 ? ?2? an ? ? n ?1 ?1? ? ? , n为偶数 ??4 ? 3 ? ? ?2? ?

? 1? ? 2?

n ?1

? n ? 3? ,且 S1 ? 1, S2 ? ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。

3

4、( 2004 年北京理 14) 定义“等和数列”: 在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这 个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列 ?an ? 是等和数列,且 a1 ? 2 ,公和为 5 ,那么 a18 的值为 ,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式





? 5n , n为偶数 ? ? 2 3, S n ? ? ? 5n ? 1 , n为奇数 ? ? 2

5.数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且对于任意 n ? N ? , an 与 an ?1 恰为方程 x2 ? bn x ? 2n ? 0 的两个根。 (1)求数列 ?an ? 和 数列 ?bn ? 的通项公式 (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn
?1 ? n2 2 , n为奇数 ? an ? ? n ? 2 2 , n为偶数 ? n ?1 ? 2 3 ? 2 , n为奇数 ? bn ? ? n ? 2 2 ?1 , n为偶数 ?

(1)



(2)

n ?1 ? 2 10 ? 2 ? 7, n为奇数 ? Sn ? ? n ? 7 ? 2 2 ? 7, n为偶数 ?

6. 设

?an ?

? 1 a , n为奇数 ? 1 1 ? 2 n 满 足 a1 ? 1 , 且 an ?1 ? ? , 记 bn ? a2 n ?1 ? , cn ? a2 n ? , 求 an 。 4 2 ?a ? 1 , n为奇数 n ? ? 4

n ?1 ? 2 3 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 , n为奇数 ?4 ? 2 ? 4 an ? ? n ? 3 ? 1 ? 2 ?1 1 ? ? ? ? ? , n为偶数 2 ?4 ? 2 ?

7. ( 2013 湖 南 例 ) 设 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , S n ? ? ?1? an ?
n

1 , n ? N * , 则 a3 ? n 2



(2)

S1 ? S2 ? ?S100 ?

。 (1) ?

1 1? 1 ? (2) ? 100 ? 1? 16 3? 2 ?

8.(2014 新课标Ⅰ)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ? 0, an an?1 ? ? Sn ? 1,其中 ? 为常数。 (1)证明:

an?2 ? an ? ? ; (2)是否存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由。

(1)略(2)存在 ? ? 4

9.(2014 山东)已知等差数列 ?an ? 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列 (1)求数列 ?an ? 的通项公

? 2n ? 2 , n为奇数 ? 4n ? 2n ? 1 n ?1 式; (2)令 bn ? ? ?1? ,求 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 (1) an ? 2n ? 1(2) Tn ? ? an an?1 ? 2n , n为偶数 ? 2n ? 1 ?


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