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衡水二中2018届入学考(理科)


2018 届第一次评价性考试 理科数学
2017.09.13 时间:120 分钟 总分:150 分

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求。 1.若集合 M ? ? x y ? lg

? ?

2? x? ?, N ? ?x x ? 1?,则 M ? CR N ? ( )C x ?
C. ?1,2? D. ?0,???

A. (0,2)

B. ?0,2?

2.已知 i 是虚数单位,则

i 2015 ( 1? i

)3.C

A.

1? i 2

B.

1? i 2

C.

?1 ? i 2

D.

?1 ? i 2

3.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一 幅“勾股圆方图”, 用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明, 如图所示的“勾股圆方 图”中,四个相同的直角三角形与中间的小正方向拼成一个边长为 2 的大正方形,若直角三 角形中较小的锐角 ? ? 形内的概率是(

?
6

,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在小正方



A. 1 ?

3 2

B.

3 2

C.

4? 3 4

D.

3 4
) C. a b ? 1 D. lg(b ? a)? 0

4.设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是( 1 1 A. a 3 ? b3 B. ? a b 5 已知下列三个命题:

p1 : 若直线 l 和平面 ? 内的无数条直线垂直,则 l ? ? ; p2 :若 f ? x ? ? 2x ? 2? x ,则 ?x ? R, f ? ?x ? ? ? f ? x ? ;

p3 :在 ?ABC 中,若 A ? B ,则 sinA ? sinB .
试卷第 1 页,共 4 页

其中真命题的个数是 ( )C A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 在 (

x 1 n 的展开式中, 只有第 5 项的二项式系数最大, 则展开式中常数项是 ( ?3 ) 2 x




A. ? 7 B. 7 C. ? 28 D. 28 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的各侧面中,面积最小值为(

A.

5 2

B.

1 3 2 2 C. D. 2 2 2

8.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班 50 名学生的化学考试成绩,图(二)的算法框图 中输入的 ai 为茎叶图中的学生成绩,则输出的 m , n 分别是( )

A. m ? 38 , n ? 12 B. m ? 26 , n ? 12 C. m ? 12 , n ? 12 D. m ? 24 , n ? 10
试卷第 2 页,共 4 页

9. 设定义在区间( - b, b)上的函数 f ( x) ? lg 则 a b 的取值范围是( A. 1, 2 A ) B. 0, 2

1 ? ax 是奇函数, (a,b ? R,且 a ? -2) , 1? 2x

?

?

?

?

C. 1, 2

?

?

D. 0, 2

?

?

10.过双曲线

x2 y 2 a2 2 2 x ? y ? ? ? 1 的左焦点 ,作圆 的切 ( a ? 0, b ? 0) F ( ? c , 0) ( c ? 0) 4 a 2 b2

线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OP ? 2 OE ?OF ,则双曲线的离心率为 ( C ) A. 10 B.
10 5

??? ?

??? ? ??? ?

C.

10 2

D. 2

?1 2 x ? 1, x ? 0 ? 11. 已知函数 f ( x) ? ? 2 , 若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点, 则k ? ?? ln(1 ? x), x ? 0
的取值范围为( )

1 1 A. (0,1) B. (0, ) C. ( ,1) D. (1,??) 2 2
12 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, 4a3 ? a6 , ? 和 S10 ? ( A. 220 ) B. 110 C. 99 D. 55
n ? an ? ? 是等差数列,则数列 ? ?1? an 的前 10 项的 ?n?

?

?

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生 根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分

b ? b ,则 m ? __________. 13.4.已知向量 a ? ?3, m? , b ? ?1, ?2 ? ,若 a·
? y ? x, ? 14. 若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4, , 且z ?2 则 k ? __________. x ? y 的最小值为 ?6 , ?y ? k ?
试卷第 3 页,共 4 页

?

?

??

?2

15.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点在圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 5 ? 0 上,则双曲线的渐近线方 9 m
1 nan 4 1 ,an ?1 ? 若不等式 2 ? ? tan ? 0 (n ? N * ) , 2 n n (n ? 1)(nan ? 1)

程为__________. 16. 已知数列 {an } 满足 a1 ?

恒成立,则实数 t 的取值范围是__________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0 . (I)求角 B 的大小; (II)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱柱 ABCD ? A 底面 ABCD 是梯形,AD / / BC , 侧面 ABB1 A 1B 1C1D 1 中, 1 为菱形, ?DAB ? ?DAA 1. (I)求证: A1B ? AD ; (II)若 AD ?AB ? BC 2 ,? AAB 1

? 60 0 ,点 D 在平面 ABB1 A1 上的射影恰 为线段 A 求平面 DCC1D1 与平面 ABB1 A 1B 的中点, 1 所成锐二面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题,为了解强度

D (单位:分贝)与声音能量 I (单位:W / cm2 )之间的关系,将测量得
到的声音强度 Di 和声音能量 Ii (i ? 1, 2,?,10) 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一 些统计量的值.

表中 Wi ? lg I i , W ?

?? ?

1 10 ?Wi . 10 i ?1

(I)根据表中数据,求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 D ? a ? b lg I ;
试卷第 4 页,共 4 页

(II)当声音强度大于 60 分贝时属于噪音,会产生噪声污染,城市中某点 P 共受到两个声 音源的影响,这两个生源的声音能量分别是 I1 和 I 2 ,且

1 4 ? ? 1010 ,已知点 P 的声音能 I1 I 2

量等于声音能量 I1 和 I 2 之和,请根据(I)中的回归方程,判断 P 点是否受到噪声污染的干 扰,并说明理由. 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) , ?(un , vn ) ,其回归直线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的

?? 最小二乘估计分别为: ?

? ? u ? u ?? v ? v ?
n i ?1 i i

? ?u ? u ?
n i ?1 i

2

? ?v?? ?u ,?

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
2 x2 y 2 2 ? ? 1 a ? b ? 0 ,圆 Q x ? 2 ? y ? 2 ? 2 的圆心 Q 在椭圆 C 上, ? ? ? ? a 2 b2

?

?

点 P 0, 2 到椭圆 C 的右焦点的距离为 6 .

?

?

(I)求椭圆 C 的方程; (II)过点 P 作互相垂直的两条直线 l1 , l2 ,且 l1 交椭圆 C 于 A, B 两点, 直线 l2 交圆 Q 于

C , D 两点,且 M 为 CD 的中点,求 ?MAB 的面积的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? ,其中 a 是实数.设 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) 为该 ?lnx, x ? 0 函数图象上的两点,且 x1 ? x2 . (I)若函数 f ( x) 的图象在点 A , B 处的切线互相垂直,且 x2 ? 0 ,求 x2 ? x1 的最小值; (II)若函数 f ( x) 的图象在点 A , B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0

试卷第 5 页,共 4 页

2018 届第一次评价性考试答案 理科数学
2017.09.13

第I卷
一、选择题 1.A 7.D 2.B 8.B 3.D 9.C 4.D 10.C 5.B 11.C 6.B 12.B

第 II 卷
二、填空题 13. ?1 14. ?2 三、解答题 17. (本小题满分 12 分) (I)由已知得 ? cos( A ? B) ? cos A cos B ? 3sin A cos B ? 0 , 即有 sin A sin B ? 3 sin A cos B ? 0 , 因 为 ????????3 分 ????????2 分 15. 4 x ? 3 y ? 0 16. ? ?9, ?? ?

s

i A? n


, 0所



s B i ?n

B3 ?

c, o 又 s

c

o B ?s 0

, 0所



3????????5 分 ? 又 0 ? B ? ? ,所以 B ? . ????????6 分 3 2 2 2 (II)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2ac cos B , ????????8 分 1 2 1 1 2 因为 a ? c ? 1 , cos B ? ,有 b ? 3(a ? ) ? , ????????10 分 2 4 2 1 1 2 又 0 ? a ? 1 ,于是有 ? b ? 1 ,即有 ? b ? 1 . ???12 分 4 2
18. (本小题满分 12 分) (I)连接 AB 1 与 BA 1 相交于点 O ,连接 OD、DA 1、DB ,

t a B ?n

? 侧面 ABB 1A 1 为菱形,? A 1 B ? AB 1 , AB ? AA 1, 在 ?DAA 1与?DAB 中, ?DAB ? ?DAA 1,
????????2 分 ? ?DAA 1 ? ?DAB , ? DA1 ? DB ,又 O 为 A1B 中点, ? DO ? A1B ,

? DO ? AO ? O , AO、DO ? 平面AOD , ????4 分 ? A1B ? 平面AOD ,
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????????5 分 ? A1B ? AD . O ,连接 DO、AB1 ,由题意知 DO ? 平面 ABB1 A1 ,因为侧面 (II)设线段 A 1B 的中点为 ABB1 A1 为菱形,所以 AB1 ? A1B ,故可分别以射线 OB 、射线 OB1 、 射线 OD 为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 O ? xyz . 设 AD ? AB ? 2 BC ? 2a ,
0 由 ?A 1 AB ? 60 可知 OB ? a, OA ? OB 1 ? 3a ,

所以 OD ?

AD ? OA ? a ,

2

2

从而得 A 0, ? 3a, 0 , B ? a, 0, 0 ? , B1 0, 3a, 0 , D ? 0, 0, a ? , ?7 分

??? ? ???? ? ???? 所以 CC1 ? BB1 ? ?a, 3a, 0 , AD ? (0, 3a, a) .

?

?

?

?

?

?



??? ? 1 ???? BC ? AD 2





? 3 1 ? C? 0, ? 2 a, 2 a ? ? ? ?







???? ? 3 1 ? DC ? ? a , a , ? a? ? 2 ?. 2 ? ?

????????8 分

设平面 DCC1D1 的一个法向量为 m ? ? x0 , y0 , z0 ? ,由 m? CC1 ? 0, m?DC ? 0 , 得

??

?? ???? ?

?? ????

?? m?


?

? ?ax0 ? 3ay0 ? 0 ? ? 3 1 ay0 ? az0 ? 0 ?ax0 ? ? 2 2



y0 ? 1





x0 ? 3, z0 ? 3 3







3,1,3 3 . ????10 分
面 向 量 为

?

c

ABB1 A1 的 法 ???? ?? ???? ?? OD?m 3 a 3 o OD s m ? ????, ?? ? ? 31a 31 OD m


? ? ? ? O ? D a , 所 ?0 , ? 0 ,



3



9分 3 ??12

19. (本小题满分 12 分)

(I)令 Wi ? lg I i ,先建立 D 关于 I 的线性回归方程, 由于 b ?
^

? (W ? W )( D ? D)
i ?1 i i

10

? (W ? W )
i ?1 i
^

10

?

2

5.1 ? 10 , 0.51

∴ a ? D ? bW ? 45.7 ? 10 ? (?11.5) ? 160.7 , ∴ D 关于 I 的线性回归方程是: D ? 10W ? 160.7 ? 10lg I ? 160.7 .?????????6 分 (II)∵
^

^

1 4 ? ? 1010 , I1 I 2
试卷第 7 页,共 4 页

∴ I ? I1 ? I 2 ? 10?10 (

I 4I 1 4 ? )( I1 ? I 2 ) ? 10?10 (5 ? 2 ? 1 ) ? 9 ?10?10 , I1 I 2 I1 I 2

根据(I)中的回归方程,点 P 的声音强度 D 的预报值:

D ? 10 ? lg(9 ?10?10 ) ? 160.7 ? 10lg 9 ? 60.7 ? 60 ,
∴点 P 会受到噪声污染的干扰.????????????????????12 分 20. (本小题满分 12 分) (I)因为椭圆 C 的右焦点 F ? c,0? ,| PF |? 6,?c ? 2 .

^

? 2, 3 在椭圆 C 上,?
2 2

?

?

4 2 ? 2 ?1. 2 a b

x2 y 2 ? ? 1. 由 a ? b ? 4 得 a ? 8, b ? 4, 所以椭圆 C 的方程为 8 4
2 2

(II)由题意可得 l1 的斜率不为零,当 l1 垂直 x 轴时, ?MAB 的面积为 当 l1 不垂直 x 轴时,设直线 l1 的方程为: y ? kx ? 2 , 则直线 l2 的方程为: y ? ?

1 ? 4? 2 ? 4 , 2

1 x ? 2, A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? . k




? x2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8 ? y ? kx ? 2 ?



y



?1 ? 2k ? x
2

2

? 4 2kx ? 4 ? 0







x1 ? x2 ?

?4 2k ?4 , , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2

则 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |?

4 ?1 ? k 2 ?? 4k 2 ? 1?

2k 2 ? 1 2 又圆心 Q 2, 2 到 l2 的距离 d1 ? ? 2 得 k2 ?1, 2 1? k 又 MP ? AB, QM ? CD ,所以 M 点到 AB 的距离 Q 点到 AB 的距离.



?

?

设为 d2 ,即 d 2 ?

2k ? 2 ? 2 1? k 2

?

2k 1? k 2



k 2 ? 4k 2 ? 1? 4 k 4k 2 ? 1 1 ?4 所以 ?MAB 面积 S ? AB?d 2 ? , 2 2 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 1?
令 t ? 2k ?1? ?3, ??? ,
2
2 2t 2 ? 3t ? 1 1 ?1 3 ? 1 ? 4 5 ? 1 ? 1? ? 4 ? ? ? ? ?? , 4? 则 ? ? 0, ? , S ? 4 ?, 2t 2 2?t 2? 8 ? t ? 3? ? 3 ?

综上, ?MAB 的面积的取值范围为 ?

?4 5 ? ? 3 , 4? . ? ?

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21. (本小题满分 12 分) (I)由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f′(x1),点 B 处的切线斜率为 f′(x2), 故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时,有 f′(x1)f′(x2)=-1. 当 x<0 时,对函数 f(x)求导,得 f′(x)=2x+2. 因为 x1<x2<0, 所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1. 所以 2x1+2<0,2x2+2>0. ????????2 分 ??????1 分

1 [-(2x1+2)+2x2+2]≥ [ ?? 2 x1 ? 2 ?]? 2 x2 ? 2 ? =1, 2 3 1 当且仅当-(2x1+2) =2x2+2=1,即 x1 ? ? 且 x2 ? ? 时等号成立. 2 2
因此 x2-x1=

????4 分 ?5 分

所以,函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时,x2-x1 的最小值为 1. (II)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时,f′(x1)≠f′(x2),故 x1<0<x2.

当 x1<0 时,函数 f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为 y-(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x- x1), 即 y=(2x1+2)x-x12+a. ?????6 分

当 x2>0 时,函数 f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 y-ln x2= 即 y=

1 (x-x2), x2

1 · x+ln x2-1. x2

????????7 分

两切线重合的充要条件是

?1 ? 2 ? 2 x1 ? 2, ① ?x 2 ? ?lnx2 ? 1 ? ? x1 ? a.②

????????8 分

由①及 x1<0<x2 知,-1<x1<0. 由①②得,a=x12+ ln

1 -1=x12-ln(2x1+2)-1. 2 x1 ? 2

????????9 分

设 h(x1)=x12-ln(2x1+2)-1(-1<x1<0),则 h′(x1)=2x1-

1 <0. x1 ? 1

????10 分

所以,h(x1)(-1<x1<0)是减函数.则 h(x1)>h(0)=-ln 2-1, 所以 a>-ln 2-1.
试卷第 9 页,共 4 页

?????11 分

又当 x1∈(-1,0)且趋近于-1 时,h(x1)无限增大, 所以 a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞). 故 当 函数 f(x) 的图 象在点 A , B 处的 切线 重合时 , a 的 取值 范围 是 ( - ln 2 - 1 , + ∞). ?????12 分

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