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数列通项求解的基本方法与练习题

常见数列通项的求解方法
几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一: an?1 ? an ? f (n) ( f ? n ? 可以求和)

解决方法 ???? 累加法 ?

例 1、 在数列 ?an ? 中, 已知 a1 =1, n ? 2 时,有 an ? an?1 ? 2n ?1 ? n ? 2 ? ,求数列的通项公式。 当 解析:? an ? an?1 ? 2n ?1(n ? 2)
? a2 ? a1 ? 1 ? a ?a ?3 3 2 ? ? ? ? a4 ? a3 ? 5 ? ? ? ? an ? an ?1 ? 2n ? 1 ?

上述 n ? 1 个等式相加可得:

an ? a1 ? n2 ?1

? an ? n2

评注:一般情况下,累加法里只有 n-1 个等式相加。 类型一专项练习题: 1、已知 a1 ? 1 , an ? an?1 ? n ( n ? 2 ) ,求 an 。 2、已知数列 ?an ? , a1 =2, an ?1 = an +3 n +2,求 an 。
n( n ? 1 ) 2 n(3n ? 1) an ? 2 an ?

3、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an ? n2 ? 1 4、已知 {an } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 2n ,求 an 。
n

an ? 2n ? 1
n ?1

5、已知 a1 ?

1 3 ?1? ?1? , an?1 ? an ? ? ? (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. an ? ? ? ? 2 2 ?2? ?2?

6、 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ? 3n?1 ? an?1 ? n ? 2? , 求通项公式 an ?( an ?

3n ? 1 ) 2

7、若数列的递推公式为 a1 ? 3, an?1 ? an ? 2 ? 3n?1 (n ? N * ) ,则求这个数列的通项公式

an ? 12 ? 3n?1
8、 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an ? 3n ? n ?1 9、已知数列 ?an ? 满足 a1 ?
1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n an ? 3 1 ? 2 n

2,? ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的 10、数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1, 3, )

等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

c=2

an ? n2 ? n ? 2

11、 设平面内有 n 条直线 (n ≥ 3) , 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三条直线不过同一点. 若 用 f (n) 表示这 n 条直线交点的个数,则 f (4) ?
n2 ? n ? 2 2

5



当 n ? 4 时, f (n) ?

(用 n 表示) .

类型二: an?1 ? f (n) ? an ( f (n) 可以求积)

解决方法 ???? 累积法 ?

例 1、在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1, 有 nan?1 ? ? n ?1? an ,( n ? 2 )求数列 ?an ? 的通项公式。 解析: an ?
?

an an ?1 an ?2 a3 a2 ? ? ? ? ? a1 an?1 an?2 an?3 a2 a1

n n ?1 n ? 2 3 2 2 ? ? ? ? ?1 ? n ?1 n n ?1 4 3 n ?1 2 又? a1 也满足上式;? an ? (n ? N * ) n ?1 评注:一般情况下,累积法里的第一步都是一样的。 类型二专项练习题: n ?1 an ?1 ( n ? 2 ),求 an 。 1、已知 a1 ? 1 , an ? n ?1 2 n a n ,求 an 。 2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , a n ?1 ? 3 n ?1

an ?

2 n ?n 2 an ? 3n
2

3、已知 {an } 中, an ?1 ? 4、已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

n 4 an ,且 a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式. an ? n?2 n ? ? n ? 1? an ? 6 3n ? 1

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

5、已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 6、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2 an ,求通项公式 an ?
n

an ? n
( an ? 2
n2 ? n 2


n?1

7、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5 ? a n,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。an ? 3? n!? 2
n

?5

n2 ? n 2

8、已知数列{an},满足 a1=1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1

?1 (n≥2),则{an}的通项 an ? ? n ! ? ?2 ?

n ?1 n?2

9、设{an}是首项为 1 的正项数列, 且(n + 1)a 2?1 - na 2 +an+1·an = 0 (n = 1, 2, 3, …),求 n n 它的通项公式.
an ? 1 n

10、数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , S n = n 2 an (n ? N*) ,求数列 {a n } 的通项公式.
an ? 2 n ?n
2

? 类型三: an?1 ? Aan ? B(其中A,B为常数A ? 0,1)???? 待定常数法
解决方法
可将其转化为 an?1 ? t ? A(an ? t ) , 其中 t ? 然后求 an 即可。 例1 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an?1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
B , 则数列 ?an ? t? 为公比等于 A 的等比数列, A ?1

解析:设 an ? t ? 3? an?1 ? t ? ,则 an ? 3an?1 ? 2t
? t ? 1 ,于是 an ?1 ? 3? an?1 ?1?

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为公比的等比数列。
? an ? 2 ? 3n?1 ?1
类型三专项练习题: 1、 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 (an ? 3n ? 2) 2、若数列的递推公式为 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2(n ?? * ) ,则求这个数列的通项公式 an ? 2 ? 2n?1
1 a + 1 (n ? 2) 求通项 a n . an ? 2 ? 21?n 2 n?1 1 1 4、在数列 {an } (不是常数数列)中, an ?1 ? an ? 2 且 a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式. 2 3 11 an ? 4 ? ? 21? n 3

3、已知数列{a n }中,a 1 =1,a n =

5、在数列{an}中, a1 ? 1, an?1 ? 3 ? an ? 1, 求 an .

an ?

1 ? 3n ?1 2

6、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). 求数列 ?an ? 的通项公式. an ? 2n ?1 7、设二次方程 an x 2 - an+1. x+1=0(n∈N)有两根α 和β ,且满足 6α -2α β +6β =3. (1)试用 an 表示 a n?1 ;
an ?1 ? 1 1 an ? 2 3

2? ? (2)求证:数列 ? an ? ? 是等比数列; 3? ?

(3)当 a1 ?

7 时,求数列 ?an ? 的通项公式 6
3 2

2 ?1? an ? ? ? ? 3 ?2?

n

8、在数列 ?an ? 中, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? , a2 ? 2 ,并且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0(n ≥ 2) ,试判 断 ?an ? 1? (n ? N? ) 是不是等比数列? 是

类型四: Aan?1 ? Ban ? Can?1 ? 0; ?其中A,B,C为常数,且A ? B ? C ? 0?
可将其转化为 A? an?1 ? ? an ? ? ? ? an ? ? an?1 ?? n ? 2? -----(*)的形式,列出方程组

? A ?? ? ? ? B ? ,解出 ? , ? ; 还原到(*)式,则数列 ?an?1 ? ? an ? 是以 a2 ? ? a1 为首项, 为公比的 ? A ? ?? ?? ? C
等比数列,然后再结合其它方法,就可以求出 an 。 例1 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a2 ? 4 ,且 an?1 ? 3an ? 2an?1 ? n ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式。 解析:令 an?1 ? ? an ? ? (an ? ? an?1 ),(n ? 2)

? ? ?? ? 3 得方程组 ? ?? ? ? ? ?2

解得 ? ? ?1, ? ? 2;

?an?1 ? an ? 2 ? an ? an?1 ?? n ? 2?
则数列 ?an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 为首项,以 2 为公比的等比数列

?an?1 ? an ? 2 ? 2n?1 ? 2n
? a2 ? a1 ? 2 ? a ? a ? 22 ? 3 2 ? ? ? a4 ? a3 ? 23 ? ? ? ?an ? an ?1 ? 2n ?1 ?

? an ? a1 ?

2 ( 1 n21 ) n ? ? ? 2 ?2 1? 2

? an ? 2n ? n ? N * ?

评注: Aan?1 ? Ban ? Can?1 ? 0; 在 ?其中A,B,C为常数,且A ? B ? C ? 0? 中,若 A+B+C=0,则一定可 以构造 ?an?1 ? an ? 为等比数列。 例2 已知 a1 ? 2 、 a2 ? 3 , an?1 ? 6an?1 ? an (n ? 2) ,求 an

解析:令 an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? an?1 ?? n ? 2? ,整理得 an?1 ? ? ? ? ? ? an ? ?? an?1

? ? ? ? ? ?1 ?? ? ?? ? 6

?? ? 3 ,? ? 2

an?1 ? 3an ? ? a2 ? 3a1 ? ? 2n?1 ? 9 ? 2n?1 ;
an ?1 3 an 9 ? ? , 2n ?1 2 2 n 4 a 3 9 令 n ? bn ,? bn ?1 ? bn ? n 2 2 4 3 3 5 令 bn ?1 ? t ? ? ? bn ? t ? ,得 bn ?1 ? bn ? ? t 2 2 2 5 9 9 ?? t ? , t?? 2 4 10

两边同除以 2 n?1 得,

? bn?1 ?

9 3? 9? ? ? ? bn ? ? , 10 2? 10 ?

9 a 9 1 3 9? ? 故 ?bn ? ? 是以 b1 ? ? 1 ? ? 为首项, ? 为公比的等比数列。 10 2 10 10 2 10 ? ?

9 1 ? 3? ? bn ? ? ? ? ? 10 10 ? 2 ?


n ?1

9 1 ? 3? , bn ? ? ? ? ? 10 10 ? 2 ?
,得 an ?

n ?1

an 2
n

?

9 1 ? 3? ? ?? ? 10 10 ? 2 ?

n ?1

9 n 1 n ?1 ? 2 ? ? ?3? 10 5
n ?1 2 1 3 ? ? 1? ? a n ?1 ? a n ,求 an 。 an ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 3 3 4 ? ? 3? ? ? ?

类型四专项练习题: 1、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

5 5 2 ?2? 2、 已知 a1=1,a2= , an?2 = an ?1 - an ,求数列{ an }的通项公式 an . an ? 3 ? 3 ? ? 3 3 3 ?3?

n

3、已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,

⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?
an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n

⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 an ? 2n?1 ? 3(n ?1) ? 2n?2 ; sn ? 3n ?1) ? 2n ? 2 ( 4、数列 ?an ? :3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 1, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。

?2? an ? 3b ? 2a ? 3(a ? b) ? ? ?3?

n ?1

类型五: an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 0 且 p ? 1 )
例1 一般需一次或多次待定系数法,构造新的等差数列或等比数列。 1 设在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? an ?1 ? 2n ? 1? n ? 2 ? 求数列 ?an ? 的通项公式。 2

解析:设 bn ? an ? An ? b
? an ? An ? B ? 1 ? an ?1 ? A ? n ? 1? ? B ? ? 2?

? A ? 2 ?2?0 ? A ? ?4 ? ?? 展开后比较得 ? ? A ? B ?1 ? 0 ? B ? 6 ?2 2 ?
1 这时 bn ? bn ?1 ? n ? 2 ? 且bn ? an ? 4n ? 6 2 1 ??bn ? 是以 3 为首项,以 为公比的等比数列 2

?1? ?bn ? 3 ? ? ? ?2? ?1? 即 3? ? ? ?2?
例2
n ?1

n ?1

?1? ? an ? 4n ? 6 ,? an ? 3 ? ? ? ?2?

n ?1

? 4n ? 6

在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n ? 2? 求数列 ?an ? 的通项公式。

解析:?an ? 2an?1 ? 2n?1 ? n ? 2?

? an ? 2an?1 ? 2n?1 ,两边同除以 2n 得
数列。

an an ?1 a ?a ? ? n ?1 ? 2 ? ? n ? 是以 1 =1 为首项,2 为公差的等差 n n 2 2 2 ?2 ?

?

an ? 1 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 2n

即 an ? 2n ? 2n ?1?

例3

在数列 ?an ? 中, a1 ? 5 , an ? 2an?1 ? 2n ? 1 n ? 2, n ? N 求数列 ?an ? 的通项公式。
*

?

?

解析:在 an ? 2an?1 ? 2n ?1 中,先取掉 2n ,得 an ? 2an?1 ?1 令 an ? ? ? 2 ? an?1 ? ? ? ,得 ? ? ?1 ,即 an ?1 ? 2(an?1 ?1) ; 然后再加上 2n 得 ? an ?1? ? 2 ? an?1 ?1? ? 2n ;

? an ?1? ? 2 ? an?1 ?1? ? 2n
两边同除以 2n ,得
an ? 1 an ?1 ? 1 ? n ?1 ? 1; 2n 2

a ?1 ? a ? 1? ? 2 为首项,1 为公差的等差数列。 ? ? n n ? 是以 1 2 ? 2 ? ? an ? 1 ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1, 2n

?an ? 2n ? n ? 1? ? 1

评注:若 f (n) 中含有常数,则先待定常数。然后加上 n 的其它式子,再构造或待定。 例4 已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。

解析:在 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4 中取掉 5 ? 2n 待定 令 an?1 ? t ? 3? an ? t ? ,则 an?1 ? 3an ? 2t
? 2t ? 4 , t ? 2 ;?an?1 ? 2 ? 3? an ? 2? , 再加上 5 ? 2n 得,

?an?1 ? 2 ? 3? an ? 2? ? 5 ? 2n ,整理得:


an ? 2 3 5 ? bn ,则 bn ?1 ? bn ? n 2 2 2 3 3 t 令 bn ?1 ? t ? ? bn ? t ? , bn ?1 ? bn ? ; 2 2 2 t 5 ? ? , t ? 5; 2 2 a ?2 3 13 3 ? 5 ? 为首项, 为公比的等比数列。 即 bn ?1 ? 5 ? ? bn ? 5 ? ;? 数列 ?bn ? 5? 是以 b1 ? 5 ? 1 2 2 2 2

an ?1 ? 2 3 an ? 2 5 ? ? , 2n ?1 2 2n 2

13 ? 3 ? ? bn ? 5 ? ? ? 2 ?2?

n ?1

,即

an ? 2 13 ? 3 ? ?5 ? ? ? n 2 2 ?2?

n ?1

;整理得 an ? 13 ? 3n?1 ? 5 ? 2n ? 2

类型 5 专项练习题:

1、设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?

4 1 2 an ? 2n ?1 ? ? n ? 1, n ? N * ? ,求数列 ?an ? 的通项公式。 3 3 3

?a

n

? 4n ? 2n ?

2、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 , 点 ? n, 2an?1 ? an ? 在直线 y ? x 上,其中 n ? 1, 2,3??. 2

(1) 令 bn ? an?1 ? an ?1, 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2) 求数列 ?an ? 的通项 ; 3、已知 a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 2n?1 ,求 an 。
3 ? ? ? an ? n ? n ? 2 ? 2 ? ?

an ? 4n ? 2n

4、设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an . an ? 4 ? 3n?1 ? n ?1 5、已知数列 {a n } 满足 a1 ? 2, an?1 ? 2an ? (2n ?1) ,求通项 an an ? 5 ? 2n?1 ? 2n ?1 6、在数列 {a n } 中, a1 ?
3 9 , 2a n ? a n ?1 ? 6n ? 3 ,求通项公式 an 。 an ? n 2 2

7、已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 ?2? , a n ?1 ? a n ? ( ) n ?1 ,求 an 。 an ? ?2 ? ? 6 3 2 ?3?

n

8、已知数列{a n } a 1 =1, n∈N ? ,a n?1 = 2a n +3 n ,求通项公式 a n . an ? 3n ? 2n ,
5 1 9、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1,a1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an ? (2n ? ) ? 3n ? 6 2

10、若数列的递推公式为 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2 ? 3n?1 (n ?? ) ,则求这个数列的通项公式
7 an ? 3n ( ? 2n) 3

11、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 3an ? 2n?1 ,求 an . 12、

an ? 5 ? 3n?1 ? 2n?1

已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an ? (3n ?1) ? 2n?1

13、已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 an ? 5n ? 2n?1 14、 已知 a1 ? 1 , an ? ?an?1 ? 2
n?1

,求 an 。

2n ? 1 an ? 3

15、

已知 {an } 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 2n (n …2) ,求 an .

1? ? an ? 2n ? n ? ? 2? ?

16、已知数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; ⑵设数列 c n ?
an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n

⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 an ? 2n?1 ? 3(n ?1) ? 2n?2 ; sn ? 3n ?1) ? 2n ? 2 (

类型六: an?1 ?
例1

c ? an (c? p?d ? 0) pan ? d 2 ? an ,求 an 。 2an ? 1

解决方法 ???? 倒数法 ?

已知 a1 ? 4 , an ?1 ?

解析:两边取倒数得:

1 1 1 1 ? ? 1 ,设 ? bn , 则 bn ?1 ? bn ? 1 ; 2 an ?1 2an an

1 b ?2 1 令 bn ?1 ? t ? (bn ? t ) ;展开后得, t ? ?2 ;? n ?1 ? ; 2 bn ? 2 2

??bn ? 2? 是以 b1 ? 2 ?
? 7 ?? 1 ? ?bn ? 2 ? ? ? ?? ? ? 4 ?? 2 ?
n ?1

1 1 7 ? 2 ? ? 为首项, 为公比的等比数列。 2 a1 4
n ?1

1 ? 7 ?? 1 ? ;即 ? 2 ? ? ? ?? ? an ? 4 ?? 2 ?

,得 an ?

2n ?1 ; 2n ? 2 ? 7

评注:去倒数后,一般需构造新的等差(比)数列。 类型六专项练习题: 1、若数列的递推公式为 a1 ? 3,
3 1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,则求这个数列的通项公式。 an ? 7 ? 6n an ?1 an 1 2n ? 1

2、已知数列{ a n }满足 a1 ? 1, n ? 2 时, an?1 ? an ? 2an?1 an ,求通项公式 a n 。 an ? 3、已知数列{an}满足: an ?

an?1 1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 an ? 3n ? 2 3 ? an?1 ? 1
2 an , 求 a n . an ? n ?1 2 ? 3 ?1 an ? 3

4、设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ?

5、已知数列{ a n }满足 a1=1, a n?1 ?

3a n 1 ,求 a n an ? n 2 ?1 3a n ? 6

6、

在数列 {an } 中, a1 ? 2, an?1 ?

6 3an ,求数列 {an } 的通项公式. an ? 2n ? 1 an ? 3
2a n an ? 2

7、若数列{a n }中,a 1 =1,a n?1 =

n∈N ? ,求通项 a n . an ?

2 n ?1

类型七: Sn ? f (an )
例1

解决方法 ???? a ?
1 2
n?2

n

(n ? 1) ?s ?? 1 ? sn ? sn ?1 (n ? 2)

已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

. (2)求通项公式 an .

?1? 求 an?1 与 an 的关系;

解析: ?1? 1? n ? 1时, a1 ? s1 ? 4 ? a1 ? 2 ,得 a1 ? 1 ;

2? n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1 ? 4 ? an ?
得 an ?1 ?
1 1 an ? n 。 2 2

1 2
n?2

? 4 ? an ?1 ?

1 2 n ?3



(2)在上式中两边同乘以 2 n?1 得 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2 ;
?数列 2 n an 是以 21 a1 ? 2 为首项,2 为公差的等差数列;

?

?

?2n an ? 2 ? 2n ? 2 ? 2n ;得 an ?
类型七专项练习题:

n 。 2n ?1

1、数列{an}的前 N 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn (n ? N * ) .求数列{an}的通项 an。 an ? 3n?1
1 2、已知在正整数数列 {an } 中,前 n 项和 Sn 满足 S n ? (an ? 2) 2 ,求数列 {an } 的通项公式. 8

an ? 4n ? 2

(n ? 1) ?1 3、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn = 3n – 2, 求数列{an}的通项公式. an ? ? n?1 ?2 ? 3 (n ? 2)
4、设正整数{an}的前 n 项和 Sn = (a n ? 1) 2 ,求数列{an}的通项公式. an ? 3n?1 5、如果数列{an}的前 n 项的和 Sn = a n ? 3 , 那么这个数列的通项公式是 an = 2·3n 6、已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项公式?
3 2

1 4

an ? 2?n

类型八:周期型

例 1、若数列 ?an ? 满足 a n?1

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

解析:根据数列 ?an ? 的递推关系得它的前几项依次为:
6 5 3 6 5 3 6 , , , , , , ?? ;我们看出这个数列是一个周期数列,三项为一个周期; 7 7 7 7 7 7 7 5 ? a20 ? a2 ? . 7 评注:有些题目,表面看起来无从下手,但你归纳出它的前几项后,就会发现规律,出现周期 性,问题就迎刃而解。 类型八专项练习题:

1、已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 = ( B
3 2



A.0

B. ? 3

C. 3

D.

2、在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 5, an?2 ? an?1 ? an , 求a1998.

-4

类型九、利用数学归纳法求通项公式
例1 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ?
8(n ? 1) 8 ,a 1 ? ,求数列 {a n } 的通项公式。 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

an ?

(2n ? 1)2 ? 1 (2n ? 1)2
8 24 48 得, a2 ? , a3 ? ,?? 9 25 49

解析:根据递推关系和 a1 ?

所以猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,下面用数学归纳法证明它; (2n ? 1)2

1? n ? 1 时成立(已证明) 2? 假设 n ? k (k ? 2) 时,命题成立,即 ak ?
(2k ? 1)2 ? 1 , (2k ? 1)2

8 ? k ? 1? (2k ? 1) 2 ? 1 8(k ? 1) ? 则 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ? = 2 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 1)2 (2k ? 3)2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 3? 16k 4 ? 64k 3 ? 84k 2 ? 44k ? 8

=

? 2k ? 1? ? 2k ? 3?
2

2

? 2k ? 1? ?? 2k ? 3? ? 1? ?? 2k ? 3? ? 1? ? ??? ?。 ? 2 2 2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 3? ? 2k ? 3?
2 2 2

? n ? k ? 1 时命题成立;
由 1? 2? 可知命题对所有的 n ? N * 均成立。 评注:归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。 类型九专项练习题: 1. 设数列 ?an ? 满足: an?1 ? an ? nan ? 1,且 a1 ? 2 ,则 an 的一个通项公式为
2

an ? n ? 1 ,

2、已知 ?an ? 是由非负整数组成的数列,满足 a1 ? 0 ,a2 ? 3 ,an?1 ? an ? (an?1 ? 2)(an?2 ? 2) (n=3, 4,5…) 。 (1)求 a3 ; 2 (2)证明 an ? an?2 ? 2 (n=3,4,5…) ;(数学归纳法证明)

?n ? 1 (3) ?an ? 的通项公式及前 n 项的和。 n ? ? 求 a ?n ? 1
3 an 3、已知数列 ?an ? 中 a1 = , an ?1 ? 。 5 2an ? 1

? n2 ? n ? 2 ? (n为奇数) ? ;n ? ? 2 2 s (n为偶数) ?n ? n ? 2 ?

(n为奇数) (n为偶数)

(1) (2)

计算 a2 , a3 , a4 。

3 3 3 ; ; 11 17 23 3 6n ? 1

猜想通项公式 an ,并且数学归纳法证明。 an ?

递推数列的通项公式的求法,虽无固定模式,但也有规律可循;主要靠观察分析、累加、 累积、待定系数法,或是转化为等差或等比数列的方法解决;再或是归纳、猜想、用数学归纳 法证明的方法来解决,同学们应归纳、总结它们的规律,通过练习,巩固掌握它。


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