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高三数学第一轮总复习教案


直线的的方程、两条直线的位置关系

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高三数学第一轮总复习讲义 讲义 31 直线的的方程、两条直线的位置关系 一、基本知识体系: 1、 直线的倾斜角、斜率、方向向量: π y2-y1 ① 求直线斜率的方法: 、定义法:k= tan? (?≠ );②斜率公式:k= (1) (x1≠x2) ;当 x1=x2 时, 2 x2-x1 → b 斜率不存在。③直线的方向向量:直线 L 的方向向量为 m =(a,b),则该直线的斜率为 k= a 2、 直线方程的五种形式: 名称 方程的形式 点斜式 斜截式 两点式 y-y1=k(x-x1) y= kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1 (x1≠x2,y1≠y2 x y + =1 a b (a,b≠0) Ax+By+C=0 (A2+B2≠0) 常数的几何意义 (x1,y1)为直线上的一个定点, 且 k 存在 k 是斜率,b 是直线在 y 轴上 的截距 (x1,y1)、 (x2,y2)为直线上的 两个定点, a 是直线在 x 轴上的非零截 距, 是直线在 y 轴上的非零 b 截距 -A 斜率为 ,在 x 轴上的截距 B -C -C 为 ,在 y 轴上的截距为 A B 适用范围 不垂直于 x 轴的直线 不垂直于 x 轴的直线 不垂直于 x 轴和 y 轴的直 线 不垂直于 x 轴和 y 轴,且 不过原点的直线

截距式

一般式

任何位置的直线

3、 判断两条直线的位置关系的条件: 斜载式:y=k1x+b1 y=k2x+b2 相交 垂直 平行 重合 k1≠k2 k1?k2=-1 k1=k2 且 b1≠b2 k1=k2 且 b1=b2

一般式:A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0 A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C1≠0 A1B2-A2B1= A1C2-A2C1= B1C2-B2C1≠0=0

4、 直线 L1 到直线 L2 的角的公式:tan? = 直线 L1 与直线 L2 的夹角公式:tan? = |

k2-k1 (k k ≠-1) 1+k1k2 1 2 k2-k1 | (k1k2≠-1) 1+k1k2 | Ax0+By0+C| A2+B2 |C1-C2| A2+B2

5、点到直线的距离:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离为 d=

6、两条平行的直线之间的距离:两条平行线 Ax+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 之间的距离 d=

7、直线系方程:①、过定点 P(x0,y0)的直线系方程:y-y0=k(x-x0);②、平行的直线系方程:y=kx+b;③、过 两直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为:A1x+B1y+C1+?(A2x+B2y+C2)=0 8、对称问题:点关于点对称、点关于线对称、线关于线对称、线关于点对称: 二、典例剖析: π ★【例题 1】 、设函数?(x)=asinx-bcosx 图象的一条对称轴方程为 x= ,则直线 ax-by+c=0 的倾斜角为(B ) 4 A π 4 B 3π 4 C π 3 D 2π 3
1

直线的的方程、两条直线的位置关系

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★【例题 2】已知集合 A={(x,y)|x=cos?且 y=sin?,?∈[0,π ]},B={(x,y)|y=kx+k+1},若 A∩B 有两个元素,则 -1 k 的取值范围是_____▲解:画图可知,直线与半圆有两个交点,则[ ,0) 2 ★【例题 3】已知直线过点 P(-1,2),且与以点 A(-2,-3) 、B(3,0)为端点线段相交,则直线 L 的斜 率的取值范围是__ 三、巩固练习: ★【题 1】已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 (A)2 (B)1 (C)0 (D) ?1 -1 (k≥5,或 k≤ ) 2

▲解:两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a(a ? 2) ? ?1 ,∴a=-1,选 D. ★【题 2】已知过点 A? ?2,m? 和 B ? m, 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则的值为 ( 4? A 0 B ?8 ▲解: (m+2)?(-2)-1?(4-m)=0,m=-8, ★ 【题 3】 m ? “ C 2 选(B) D 10 )

1 ” “直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0与直线(m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 3 ? 0 相互垂直” ( B ) 是 的 2
D.既不充分也不必要条件

A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 ▲【详解】当 m ?

1 时两直线斜率乘积为 ?1 ,从而可得两直线垂直;当 m ? ?2 时两直线一条斜率为 0,一条 2 1 斜率不存在,但两直线仍然垂直;因此 m ? 是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件. 2
●注意:对于两条直线垂直的充要条件① k1 , k2 都存在时 k1.k2 ? ?1 ;② k1 , k2 中有一个不存在另一个为零; 对于②这种情况多数考生容易忽略. ★【题 4】 若三点 A(2,2) ,B(a,0) ,C(0,b) ,b)(ab ? 0)共线,则, (0

1 1 ? 的值等于 ________ 1/2 a b

★【题 5】已知两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 ,则 a ? ____. ▲解:已知两条直线 l1 : ax ? 3 y ? 3 ? 0, l2 : 4x ? 6 y ?1 ? 0. 若 l1 // l2 , ?
2

a 2 ? ? ,则 a ? 2. 3 3


★【题 6】已知圆 x -4 x -4+ y =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x - y -1=0 的距离是 ▲ 解:由已知得圆心为: P (2,0) ,由点到直线距离公式得: d ?

2

|2 ? 0 ?1| 2 ? ; 2 1?1

★【题 7】过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜 率 k= . 2 2

2 2 ★【题 8】直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是

A. (0, 2 ?1)
2

B. ( 2 ?1, 2 ? 1)
2

C. (? 2 ?1, 2 ?1)

D. (0, 2 ? 1)

▲解:由圆 x ? y ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,且 a ? 0 ,选 A。 ★【题 9】 若圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的 .
2 2

距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是: A. [

,] 12 4

? ?

B.[

, ] 12 12

? 5?

C.[ , ]

? ?

6 3

D.[0, ]

?

2

2

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▲解: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 整理为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 , 圆 ∴圆心坐标为(2, 半径为 3 2 , 2), 要求圆上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则圆心到直线的距离应小于等于 2 , ∴

| 2a ? 2b | a ?b
2 2

≤ 2 ,∴

a a ( ) 2 ? 4( ) ? 1 ≤ 0 , ∴ b b

a a ?2 ? 3 ≤ ( ) ≤ ?2 ? 3 , k ? ? ( ) , ∴ b b

2 ? 3 ≤k ≤ 2 ? 3 ,直线 l 的倾斜角的取值范围是 [

, ] ,选 B. 12 12

? 5?

★【题 10】7.圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

▲.解:圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 的圆心为(2,2),半径为 3

2 ,圆心到到直线 x ? y ? 14 ? 0 的距离为

| 2 ? 2 ? 14 | ? 2 5 >3 2 ,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ,选 C. 2
★【题 11】设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( ) A.± 2 B.± 2 B.± 2 2 D.± 4 ▲解;直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,设直线方程为 y ? x ? a ,圆心(0,0)道直线的距 离等于半径 2 ,∴

|a| ? 2 ,∴a 的值± 2,选 B. 2

★【题 12】如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上, 则△ABC 的边长是(D):(A) 2 3 (B)
4 6 3

(C)

3 17 4

(D)

2 21 3
y C D M -2 -1 O E -1 B 1 2 x A

→ → ★ 【题 13】 如图, 三定点 A(2, B(0, 1), -1), C(-2, 三动点 D, M 满足AD=tAB, 1); E, → → → → BE = t BC, DM=t DE, t∈ [0,1]. (Ⅰ 求动直线 DE 斜率的变化范围; (Ⅱ ) )求动点 M 的轨迹方程. → → → → .▲解: 如图, (Ⅰ D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由AD=tAB, BE = t BC, 知 )设 (xD-2,yD-1)=t(-2,-2). ∴ DE = k yE-yD xE-xD =
?xD=-2t+2 ?xE=-2t ? ∴ 同理 ? . ?yD=-2t+1 ?yE=2t-1

2t-1-(-2t+1) = 1-2t. ∴ [0,1] , ∴ DE∈ t∈ k [-1,1]. -2t-(-2t+2)

→ → (Ⅱ ∵ =t DE ∴ ) DM (x+2t-2,y+2t-1)=t(-2t+2t-2,2t-1+2t-1)=t(-2,4t-2)=(-2t,4t2-
?x=2(1-2t) ? 2t). ∴ 2 ?y=(1-2t)

, ∴ y=

x2 , 即 x2=4y. 4

∵ [0,1], x=2(1-2t)∈ t∈ [-2,2].

即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈ [-2,2] ※★【题 14】已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1,直线 l:y=kx,下面四个命题: (A) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B)对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C) 对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切; (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直
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线 l 与和圆 M 相切;其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)

|-k cos ?-sin ? |
▲解:圆心坐标为(-cos?,sin?)d=

1+k 2 =|sin ?+?)? 1 ( |



1+k 2 |sin ?+?) ( | 1+k 2
;故选(B) (D)

※★【题 15】在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为2,宽为1, AB 、 AD 边分别在 x 轴、 y 轴的 正半轴上,A 点与坐标原点重合 (如图5所示) 将矩形折叠, A 点落在线段 DC . 使 上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为 k ,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕 的长的最大值. ▲解: (Ⅰ)( i ) 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 y ?

y
D C

1 , 2
B x 图5

( ii ) 当 k ? 0 时,设 A 点落在线段 DC 上的点 A?( x0 ,1) , ( 0 ? x0 ? 2 ) ,则直线 O (A)

OA? 的 斜 率 k 0 A? ?

1 , ∵ 折痕所在直线垂直平分 A?, ∴ k OA? ? k ? ?1 , ∴ O x0

k 1 1 ? k ? ?1 ,∴ x0 ? ?k ;又∵折痕所在的直线与 OA? 的交点坐标(线段 OA? 的中点) M ( ? , ) , ;为 2 2 x0
∴折痕所在的直线方程 y ?

1 k k2 1 ? k ( x ? ) ,即 y ? kx ? ? ,由( i ) ( ii )得折痕所在的直线方程为: 2 2 2 2

y ? kx ?

k2 1 ? ( ? 2 ? k ? 0) 2 2

(Ⅱ)折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 E (0 ,

k2 ?1 k2 ?1 ) , F (? , 0) 2 2k

由(Ⅰ)知, k ? ? x0 ,∵ 0 ? x0 ? 2 ,∴ ? 2 ? k ? 0 ,设折痕长度为 d,所在直线的倾斜角为 ? , ( i ) 当 k ? 0 时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕的长为 2 ;( ii )当 ? 2 ? k ? 0 时, 设a ? ?

k2 ?1 k2 ?1 ,b ? , 0 ? a ? AB ? 2 时,l 与线段 AB 相交,此时 ? 2 ? k ? ?2 ? 3 , 2k 2

0 l 此时 l 此时 ? 1 ? k ? 0 , a ? AB ? 2 时,与线段 BC 相交, ? 2 ? 3 ? k ? 0 , ? b ? 1 时,与线段 AD 相交, b ? 1 时,l 与线段 DC 相交,此时 ? 2 ? k ? ?1 ,∴将 k 所在的分为3个子区间:
①当 ? 2 ? k ? ?1 时,折痕所在的直线 l 与线段 DC、AB 相交, 折痕的长

d?

1 ? | sin ? |

1 |k| 1? k2

?

5 1? k2 1 ? d ? 2 ,②当 ? 1 ? k ? ?2 ? 3 时,折痕所在的直 ? ? 1 ,∴ 2 2 |k| k

线 l 与线段 AD、AB 相交, 折痕的长 d ? (? 令 g ?( x) ? 0 ,即 k 3 ?

1? k2 2 1? k2 2 k 4 3k 2 1 3 ) ?( ) ? ? ? 2 ? 2k 2 4 4 4k 4

3k 1 1 ? 3 ? 0 ,即 2k 6 ? 3k 4 ? 1 ? 0 ,即 (k 2 ? 1) 2 (k 2 ? ) ? 0 , 2 2k 2
4

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∵ ? 1 ? k ? ?2 ? 3 ,∴解得 ?

2 ? k ? ?2 ? 3 ;令 g ?( x) ? 0 , 解得 2

?1 ? k ? ?

2 , 2

故当 ? 1 ? k ? ?

2 2 时, g (x) 是减函数,当 ? ? k ? ?2 ? 3 时, g (x) 是增函数, 2 2

∵ g (?1) ? 2 , g (?2 ? 3) ? 4(8 ? 4 3) , ∴ g (?1) ? g (?2 ? 3) , ∴ 当 k ? ?2 ? 3 时 ,

g (?2 ? 3) ? 4(8 ? 4 3) , d ? g (?2 ? 3 ) ? 2 8 ? 4 3 ? 2( 6 ? 2 ) , ∴ 当 ? 1 ? k ? ?2 ? 3 时 , d ? 2( 6 ? 2 ) , ③ 当 ? 2 ? 3 ? k ? 0 时 , 折 痕 所 在 的 直 线 l 与 线 段 AD 、 BC 相 交 , 折 痕 的 长
d? 2 ? | cos? | 2 1 1? k2
综上所述得,当 k ? ?2 ? 3 时,折痕的长有最大值,为 2( 6 ? 2 ) . 高三数学第一轮总复习讲义 讲义 32 简单的线性规划 一、 基本知识体系: 1、 二元一次不等式(组)Ax+By+C>0 所表示的平面区域: 2、 简单的线性规划问题的处理方法: 二、 典例剖析:

? 2 1? k2 , ∴

2 ? l ? 2 8 ? 4 3 ,即 2 ? l ? 2( 6 ? 2 ) ,

? x ? y ? 2 ? 0, ? ★【题 1】 、在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是( ?x ? 2 ?
(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2 ▲解析:由题知可行域为 ?ABC , S ?ABC ?

)

C ?0,2?

A?2,4?
B?2,0?

4?0 ?2 2

? 4 ,故选择 B。

x?2

★【题 2】 、已知平面区域 D 由以 A(1,3), B(5, 2), C(3,1) 为顶点的三角形内部以及边界组成。若在区域 D 上有 无穷多个点 ( x, y ) 可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m ? (C ) A.-2 B.-1 C.1 D.4

▲解:依题意,令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为-

1 ,结合可行域可知当直线 x+my=0 与直线 AC m

平行时,线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值,而直线 AC 的斜率为-1,所以 m=1, 选C

?x ? 0 ?y ? 0 ? ★【题 3】 、在约束条件 ? 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的 ?x ? y ? s ? y ? 2x ? 4 ?
最大值的变化范围是 A. [6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]

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●解:由 ?

?x ? y ? s ?x ? 4 ? s 交点为 A(0,2), B(4 ? s,2s ? 4), C (0, s), C ?(0,4) ,当 3 ? s ? 4 时可行域 ?? y ? 2 x ? 4 ? y ? 2s ? 4 ?

是四边形 OABC,此时, 7 ? z ? 8 ;当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? 此时, z max ? 8 ;故选 D. ★【题 4】 、设集合 A ? {( x,y) | y ≥| x ? 2 | ,x ≥ 0} , B ? {( x,y ) | y ≤ ? x ? b} , A ? B ? ? , (1) b 的取值范围是 ▲解: (1) [2, ?) (2) ? ; (2)若 ( x,y) ? A ? B ,且 x ? 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是 .

9 ; 2

★ 【题 5】 某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1 , b1 , 、 生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a2 , b2 千克, 乙产品每千克可获利润分别为 d1 , d 2 元, 甲、 月初一次性够进本月用原料 A, B 各 c1 , c2 千克, 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大;在这个问题中,设全月生产甲、乙两 种产品分别为 x 千克, y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中, 约束条件为

?a1 x ? a2 y ? c1 ? (A) ?b1 x ? b2 y ? c2 ? x?0 ? ? y?0 ?

? a1 x ? b1 y ? c1 ? (B) ?a2 x ? b2 y ? c2 ? x?0 ? ? y?0 ?

?a1 x ? a2 y ? c1 ? (C) ?b1 x ? b2 y ? c2 ? x?0 ? ? y?0 ?

?a1 x ? a2 y ? c1 ? (D) ?b1 x ? b2 y ? c2 ? x?0 ? ? y?0 ?

▲ 解: 某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 a1 , b1 , 生产乙产品每千克需用原料 A 和原料 B 分 别为 a2 , b2 千克,甲、乙产品每千克可获利润分别为 d1 , d 2 元,月初一次性够进本月用原料 A, B 各 c1 , c2 千克, 要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大;在这个问题中,设全月生产甲、乙两 种产品分别为 x 千克, y 千克,月利润总额为 z 元,那么,用于求使总利润 z ? d1 x ? d2 y 最大的数学模型中,

?a1 x ? a2 y ? c1 ? 约束条件为 ?b1 x ? b2 y ? c2 ,选 C. ? x?0 ? ? y?0 ?
★【题 6】 、设 z ? 2 y ? x ,式中变量 x、 y 满足下列条件则 z 的最大值为 _____________。
y 4 3 C 2 1 O -1 -2 1 D 2 3 A x 4 B

(答案:23)

?x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ★【题 7】 、已知实数 x, y 满足 ? ,则 y ? 2 x 的最大值是_________. ?x ? 0 ?y ? 0 ?

▲解:在坐标系中画出可行域,得三个交点为 A(3,0)、B(5,0)、C(1,2),则 y ? 2 x 的最大值是 0.
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★【题 8】 、已知变量 x, y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4, ?2 ? x ? y ? 2. 若目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅 在点 ? 3,1? 处取得最大值,则 a 的取值范围为 。

●解:已知变量 x, y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4, ?2 ? x ? y ? 2. 在坐标系中画出可行域,如图为四边形 ABCD,其中 A(3,1), k AD ? 1, k AB ? ?1,目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )中的 z 表示斜率为-a 的直线 系中的截距的大小,若仅在点 ? 3,1? 处取得最大值,则斜率应小于 k AB ? ?1,即 ?a ? ?1 ,所以 a 的取值范围 为(1,+∞)。

?x ? y ? 4 ? ★ 【题 9】 已知点 P 、 (x, 的坐标满足条件 ? y ? x, y) 点 O 为坐标原点, 那么|PO |的最小值 等于 ________ , ? x ? 1, ?
最大值等于____(答案: 2 、

10 )
则 x 2 ? y 2 的最小值是_____________.(答案:5)

?x ? 1 ? ★【题 10】 已知 ? x ? y ? 1 ? 0 、 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

★【题 11】 、某实验室需购某种化工原料 106 千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋 35 千克,价 格为 140 元;另一种是每袋 24 千克,价格为 120 元. 在满足需要的条件下,最少要花费 500 元.

?x ? y ? 5 ?3 x ? 2 y ? 12 ? y ★ 【题 12】15 设 x 、 满足约束条件 ? 、 , 则使得目标函数 z ? 6 x ? 5 y ?0 ? x ? 3 ?0 ? y ? 4 ?
的值最大的点 ( x, y ) 是 . [答案]

5 y 4 3 2 1 x 0 1 2 3 4 5

? 2,3?

★【题 13】 、制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出 现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪, 可能的最大亏损率分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大? 解:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.

? x ? y ? 10, ?0.3x ? 0.1y ? 1.8, ? 由题意知 ? ? x ? 0, ? y ? 0. ?

目标函数 z=x+0.5y.

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0 : x ? 0.5 y ? 0 ,并作平行于直线 l 0 的一组直线 x ? 0.5 y ? z, z ? R, 与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且 与直线 x ? 0.5 y ? 0 的距离最大,这里 M 点是直线 x ? y ? 10 和 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的交点.

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解方程组 ?

? x ? y ? 10, 得 x=4,y=6;此时 z ? 1 ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元). 0.3x ? 0.1y ? 1.8, ?

?7 ? 0

? 当 x=4,y=6 时 z 取得最大值.

答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下,使可能 的盈利最大. 三、巩固练习:

? x ? y ? 3 ≥ 0, ? ★【题 1】 、设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则目标函数 2x ? y 的最小值为 ??2 ≤ x ≤ 3, ?

. (答案:-3/2)

★【题 2】 、若集合 M ? ?01 2? , N ? ( x,y ) x ? 2 y ? 1≥ 0且x ? 2 y ? 1 ≤ 0,x,y ? M ,则 N 中元素的 , , 个数为( C ) A. 9 B. 6

?

?

C. 4

D. 2

?2 x ? y ? 2 ≥ 0 ? ★【题 3】 、如果点 P 在平面区域 ? x ? 2 y ? 1 ≤ 0 上,点 Q 在曲线 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1上,那么 PQ 的最小值为 ?x ? y ? 2 ≤ 0 ?
( A )A. 5 ? 1 B.

4 ?1 5

C. 2 2 ?1

D. 2 ? 1

? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? ★【题 4】 、已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是( A ) ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
A. ? ,? 6

?9 ?5

? ?

B. ? ??, ? ? ? 6, ? ? ?

? ?

9? 5?

C. ? ??, ? ?6, ?? 3? ?

6] D. [3,

★【题 5】 、某公司有 60 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
2 倍,且对每个项目的投资不能低于 5 万元,对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,对项目乙每投资 3

1 万元可获得 0.6 万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为(B) (A)36 万元 (B)31.2 万元 (C)30.4 万元 (D)24 万元

? x ? 2 y ≤ 10, ?2 x ? y ≥ 3, ? ★【题 6】 、设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P( x,y ) 到直线 x ? y ? 10 距离的 ?0 ≤ x ≤ 4, ? y ≥1 ?
最大值是 .4 2

? x ? y ≥ 2, ? 7] ★【题 7】 、已知实数 x, y 满足 ? x ? y ≤ 2,则 z ? 2 x ? y 的取值范围是________. (答案: [?5, ) ?0 ≤ y ≤ 3, ?

8

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----9

? ? x ? 2 y ? 5 ≥ 0? ? ? ? 2 2 ★ 【 题 8 】 设 m 为 实 数 , 若 ?( x,y ) ?3 ? x ≥ 0 、 ? ? ( x,y ) x ? y ≤ 25 , 则 m 的 取 值 范 围 ? ? ? ?mx ? y ≥ 0 ? ? 4 是 . (解: 0 ≤ m ≤ ) 3

?

?

★【题 9】 、在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A ? ( x,y ) x ? y ≤ 1,且x ≥ 0,y ≥ 0 ,则平面区 域 B ? ( x ? y,x ? y ) ( x,y ) ? A 的面积为( B ) A. 2 B. 1 C.

?

?

?

?

1 2

D.

1 4

高三数学第一轮总复习讲义 讲义 38 曲线与方程 一、 基本知识体系: 1、 曲线的方程和方程的曲线:在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的 点与一个二元方程?(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系:①曲线上的点的坐标都是这个方程的解;②以这 个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。 2、 求曲线的方程的一般步骤:建系,设点?转化条件,列出方程?化方程?(x,y)=0 为最简形式?证明以化简 后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 3、 两条曲线的交点:两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解,求曲线的交点的问 题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解的问题。 4、 求轨迹方程的常用方法: ① 直接法:直接写出题目中的等量关系,从而化出所求的轨迹方程;这是最常用的一种求法。 ② 定义法:运用解析几何中一些常用的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等) ,可从曲线定义出发直 接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。 ③ 相关点法:动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点 P(x,y)却随另一动点 Q(x′,y′)的运 动而有规律地运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容易求出,则可先将 x′,y′表示为 x,y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然后整理得 P 的轨迹方程,这种利用相关动点和所求动点的关系求出轨迹方程的方法叫 做相关点法,也叫做代入法。 ④ 参数法:有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数) ,使 x,y 之间建立起联系,然后从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。 ⑤ 交轨法:求两动曲线的交点的轨迹方程时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此 方法。 也可以引入参数来建立这些曲线的联系, 然后消去参数得到轨迹方程, 故交轨法也属于参数法。 二、 典例剖析: ★【题 1】 、如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、 N 分别为切点) ,使得 PM ?

2PN . 试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程.

●[解析]:以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在直线为 x 轴,建立如图所示平面直角坐标系, 则 O1(-2,0) 2(2,0) ,O ,由已知:PM= 2 PN ,即 PM =2PN , 因为两圆的半径都为 1,所以有: PO1 ? 1 ? 2( PO2 ? 1) ,设 P(x,y)
2 2
2 2

则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即 ( x ? 6) ? y ? 33
2 2

综上所述,所求轨迹方程为: ( x ? 6) ? y ? 33 (或
2 2

x 2 ? y 2 ? 12x ? 3 ? 0 )
9

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----10

★【题 2】 、已知两点 M(-2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 | MN | ? | MP | ?MN ? NP 则动点 P(x,y)的轨迹方程为( ) (A) y 2 ? 8 x (B) y 2 ? ?8x (C) y 2 ? 4 x (D) y 2 ? ?4 x

???? ?

????

???? ??? ? ?

=0,

●解:设 P( x, y) , x ? 0, y ? 0 , M (?2,0), N (2,0) , MN ? 4 ;则 MP ? ( x ? 2, y), NP ? ( x ? 2, y)
2 2 由 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则 4 ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 2) ? 0 ,化简整理得 y 2 ? ?8x 所以选 B

???? ?

????

??? ?

★【题 3】 、如图,直线 l1: y ? kx(k ? 0) 与直线 l2: y ? ?kx 之间的阴影区域(不含边 界)记为 W,其左半部分记为 W1,右半部分记为 W2. W1 和 W2; (Ⅱ)若区域 W 中的动点 P(x,y)到 l1,l2 的距离之积等于 d2,求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)设不过原点 O 的直线 l 与(Ⅱ)中的曲线 C 相交于 M1,M2 两点,且与 l1,l2 分别交于 M3,M4 两 点. 求证△OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心重合. ●解: (I) (Ⅰ)分别用不等式组表示

W1 ? {( x, y) | kx ? y ? ?kx, x ? 0}, W2 ? {( x, y) | ?kx ? y ? kx, x ? 0}.

(II)直线 l1 : kx ? y ? 0, 直线 l2 : kx ? y ? 0 ,由题意得:

| k 2 x2 ? y 2 | | kx ? y | | kx ? y | ? d 2 . 由 P( x, y ) ?W , 知 k 2 x2 ? y 2 ? 0, . ? d 2, 即 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1

所以

k 2 x2 ? y 2 ? d 2, 即 2 k ?1

k 2 x2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0. 所以动点 P 的轨迹方程为 k 2 x2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0.
( III ) ① 、 当 直 线 l 与 x 轴 垂 直 时 , 由 对 称 性 显 然 可 知 : M1 M 2, M 3 M 4的 中 点 坐 标 都 为 ( a, 0) , 所 以

?OM1 M2, ? OM M4的重心坐标都为 ( 3

2a , 0) ,即它们的重心重合. 3

②、当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? mx ? n(n ? 0). 由 ?

?k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0 ? y ? mx ? n

,得

(k 2 ? m2 ) x2 ? 2mnx ? n2 ? k 2d 2 ? 0. ∵由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点,可知 k 2 ? m2 ? 0 ,且 ? ? (2mn)2 ? 4(k 2 ? m2 ) ? (n2 ? k 2d 2 ? d 2 ) ? 0. 设 M1 , M 2 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ). 则
x1 ? x2 ? 2mn , y1 ? y2 ? m( x1 ? x2 ) ? 2n. 设 M3 , M 4 的坐标分别为 ( x3 , y3 ),( x4 , y4 ). 由 k ? m2
2

? y ? kx ? y ? ?kx 2mn n ?n ? x1 ? x2 . 所以 及? 得x3 ? , x4 ? , 从而 x3 ? x4 ? 2 ? k ? m2 y ? mx ? n ? y ? mx ? n k ?m k ?m ?
y3 ? y4 ? m( x3 ? x4 ) ? 2n ? m( x1 ? x2 ) ? 2n ? y1 ? y2 , 所以
0 ? x1 ? x2 0 ? x3 ? x4 0 ? y1 ? y2 0 ? y3 ? y4 ? , ? . 于是 ?OM1M 2 的重心与 ?OM 3M 4 的重心也重合. 3 3 3 3

10

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----11

★【题 4】 、已知点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件|PM |-|PN |= 2 2 ,记动点 P 的轨 迹为 W; (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. 解: (Ⅰ)由|PM|-|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支,实半轴长 a ? 又半焦距 c=2,故虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 ;所以 W 的方程为

??? ?

??? ?

2

x2 y 2 ? ?1, x ? 2 ; 2 2

( Ⅱ ) 设 A , B 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ; ① 、 当 AB ⊥ x 轴 时 , x1 ? x2 , 从 而 y1 ? ? y2 , 从 而

??? ??? ? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x12 ? y12 ? 2. ②、当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,与 W 的方
程 联 立 , 消 去 y 得 (1 ? k ) x ? 2kmx ? m ? 2 ? 0. 故 x1 ? x2 ?
2 2 2

2km , 1? k 2

m2 ? 2 x1 x2 ? 2 , 所 以 k ?1

??? ??? ? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2
?

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

2 ??? ??? ? ? 4 (1 ? k 2 )(m 2 ? 2) 2k m 2 2 2k 2 ? 2 2 ? 2? 2 ? ?m ? 2 .又因为 x1 x2 ? 0 ,所以 k ? 1 ? 0 ,从而 OA ? OB ? 2. k ?1 k 2 ?1 1? k 2 k ?1

综上,当 AB⊥ x 轴时, OA ? OB 取得最小值 2. 三、巩固练习: ★【题 1】 、直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹方程是__ 解答:设点 P 的坐标是(x,y),则由 OP ? OA ? 4 知 x ? 2 y ? 4 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ★【题 2】.以下几个关于圆锥曲线的命题中 、 ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为双曲线; ②设定圆 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ?
2

??? ??? ? ?

1 (OA ? OB ), 则动点 P 的轨迹为椭圆; 2

③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

④双曲线

x2 y2 x2 ? ? 1与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点. 25 9 35

其中真命题的序号为

【解答】 双曲线的第一定义是:平面上的动点 P 到两定点是 A,B 之间的距离的差的绝对值为常数 2a,且 2a ?| AB | , 那么 P 点的轨迹为双曲线,故①错,由 OP ?
2 设 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两根为 x1 , x2 则 x1 ? x2 ?

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OA ? OB) ,得 P 为弦 AB 的中点,故②错, 2

5 , x1 x2 ? 1 可知两根互与为倒数,且均为正,故③对, 2

x2 y 2 x2 ? ? 1 的焦点坐标( ? 34,0 ),而 ? y 2 ? 1 的焦点坐标( ? 34,0 ),故④正确. 25 9 35
11

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----12

★【题 3】设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点,若 BP ? 2PA, 且OQ ? AB 1,则点 P 的轨迹方程是(D) = A. 3 x ?
2

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B.

3x 2 ?

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

D.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

★【题 4】如图, 直线 L1 和 L2 相交于点 M,L1?L2, 点 N ?L1. 以 A, B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 L2 的 距离与到点 N 的距离相等. 若?AMN 为锐角三角形, |AM|= 线段 C 的方程. 17 , |AN| = 3, 且|BN|=6. 建立适当的坐标系,求曲

(供选择用)★【题 5】 、平面 的斜线 AB 交 ? 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 于点 C,则动 点 C 的轨迹是 ( A ) (A) 一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 ★【题】 、在平面直角坐标系 xOy 中,有一个以 F1 0, ? 3 和 F2 0, 3 为焦点、离心率为

?

?

?

?

?

?

3 的椭圆,设椭 2

圆在第一象限的部分为曲线 C,动点 P 在 C 上,C 在点 P 处的切线与 x、 y 轴的交点分别为 A、B,且向量

???? ??? ??? ? ? ? ???? ? (Ⅰ)点 M 的轨迹方程; (Ⅱ) OM 的最小值。 OM ? OA ? OB 。求:
y2 x2 解:椭圆方程可写为: 2 + 2 =1 a b

? ?a -b =3 y2 式中 a>b>0 , 且 ? 3 3 得 a2=4,b2=1,所以曲线 C 的方程为: x2+ 4 ? ?a =2
2x ; P(x0,y0),因 P 在 C 上,有 0<x0<1, y0=2 1-x02 , y '|x=x0= - 设 1-x2

2

2

=1 (x>0,y>0). y=2 1-x2 (0<x<1) y '=-

4x0 4x0 1 4 ,得切线 AB 的方程为: y=- (x-x0)+y0 . 设 A(x,0)和 B(0,y),由切线方程得 x= , y= . y0 y0 x0 y0 1 4 → → → 由OM=OA +OB得 M 的坐标为(x,y), 由 x0,y0 满足 C 的方程,得点 M 的轨迹方程为: 2 + 2 =1 (x>1,y>2) x y → (Ⅱ)| OM|2= x2+y2, y2= 4 1 1- 2 x =4+ 4 4 4 → , ∴| OM|2= x2-1+ 2 +5≥4+5=9.且当 x2-1= 2 ,即 x= 3>1 x2-1 x -1 x -1

→ 时,上式取等号.故|OM|的最小值为 3. 一、 高三数学第一轮总复习讲义 讲义 33 圆的的方程、直线与圆的位置关系 基本知识体系:

1、 圆的定义、标准方程、 (x-a)2+(y-b)2= r2;参数方程: ?

? x ? r cos ? ? a ? y ? r sin ? ? b

-D -E 1 2、 圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0?配方则有圆心( , ) ,半径为 D2+E2-4F ;反映了其代数特征: 2 2 2 ①x2+y2 系数相同且均为 1,②不含 x?y 项 3、 点与圆的位置关系: 4、 直线与圆的位置关系: ①过圆 x2+y2= r2 上的一点 P 0,y0)的切线方程为: 0x+y0y=r2; (x-a)2+(y-b)2= (x x 过圆 2 2 r ;上的一点 P(x0,y0)的切线方程为: (x-a)? 0-a)+(y-b)?(y0-b)= r ;②弦长公式: (x
12

直线的的方程、两条直线的位置关系
2 2

54----13

|AB|= (1 ? k ) [( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ?注意:直线与圆的问题中,有关相交弦长划相切的计算中,一般不 用弦长公式,多采用几何法,即|AB|=2 r2-d2 5、 圆与圆的位置关系: 二、 典例剖析: ★【题 1】 、如果直线 L 将圆:x2+y2-2x-4y=0 平分且不通过第四象限,则直线 L 的斜率的取值范围是( A ) A [0,2] B [0,1] 1 C [0, ] 2 D [0, 1 ) 2

★【题 2】 、若直线 x+y=k 与曲线 y= 1-x2 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是____-1≤k<1 或 k= 2 → → ★【题 3】 、已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于点 P、Q,且OP?OQ=0 (O 为坐标原点),求出该 1 5 圆的方程。 ((x+ )2+(y-3)2= ( )2 2 2 ★【题 7】 、若圆 x2+(y-1)2= 1 上的任一点 P(x,y),有不等式 x+y+c≥0 恒成立,则 c 的取值范围是_____ 解:(c≥ 2 -1) ★【题 9】 、已知点 A(3cos?,3sin?),B(2cos?,2sin?),则|AB|的最大值是___(5) ★【题 10】 、已知一个圆 C:x2+y2+4x-12y+39=0;直线 L:3x-4y+5=0,则圆 C 关于直线 L 的对称的圆的方程 为_____((x-4)2+(y+2)2= 1) 三、巩固练习:

5 ? 0 相切的直线方程为( ) 2 1 1 (A) y ? ?3 x或y ? x (B) y ? 3 x或y ? ? x 3 3 1 1 (C) y ? ?3 x或y ? ? x (D) y ? 3 x或y ? x 3 3 5 2 2 解:过坐标原点的直线为 y ? kx ,与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ? ? 0 相切,则圆心(2,-1)到直线方程的距离等 2
★【题 1】 、过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

于半径

1 1 10 | 2k ? 1| 10 ,则 ,解得 k ? 或 k ? ?3 ,∴ 切线方程为 y ? ?3 x或y ? x ,选 A. ? 3 3 2 2 1? k 2

★【题 2】 、以点(2,-1)为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切的圆的方程为( C ) (A) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 3
2 2

(B) ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2

(C) ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

(D) ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 3
2 2

解:r=

|3 ? 2-4 ? 1)+5| (- 32+42

=3,故选 C

★【题 3】 、已知两定点 A? ?2,0? , B ?1,0? ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的图形的面 积等于( C ) A

9?
2

(B) 8?
2 2

(C) 4?
2 2

(D) ?
2

解:设 P 点的坐标为(x,y) ( x ? 2) ? y ? 4[( x ?1) ? y ] ,即 ( x ? 2) ? y ? 4 ,所以点 P 的轨迹所包围的 图形的面积等于 4π,选 C.
2 2 ★【题 4】 、直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0(a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是

A. (0, 2 ?1)

B. ( 2 ?1, 2 ? 1)

C. (? 2 ?1, 2 ?1)

D. (0, 2 ? 1)
13

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----14

解:由圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0(a ? 0) 的圆心 (0, a ) 到直线 x ? y ? 1 大于 a ,且 a ? 0 ,选 A。 ★【题 5】圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是 A.36 B. 18 C. 6 2 D. 5 2

解 : 圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 的 圆 心 为 (2 , 2) , 半 径 为 3

2 , 圆 心 到 到 直 线 x ? y ? 14 ? 0 的 距 离 为

| 2 ? 2 ? 14 | ? 2 5 >3 2 ,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 2R =6 2 ,选 C. 2
★【题 6】 、设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x2+y2=2 相切,则 a 的值为( ) A.± 2 B.±2 B.±2 2 D.±4 2 2 解:设直线过点(0,a),其斜率为 1, 且与圆 x +y =2 相切,设直线方程为 y ? x ? a ,圆心(0,0)道直线的距 离等于半径 2 ,∴

|a| ? 2 ,∴ a 的值± 2,选 B. 2
2 2

★【题 7】 、过点(1, 2)的直线 l 将圆(x-2)2+y2=4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的 斜率 k=

★【题 8】 、圆 O1 是以 R 为半径的球 O 的小圆,若圆 O1 的面积 S1 和球 O 的表面积 S 的比为 S1 : S ? 2 : 9 ,则 圆心 O1 到球心 O 的距离与球半径的比 OO1 : R ? 1 ? 3。 解:设圆 O1 的半径为 r,则 S1 = ? r 2 , S = 4? R 2 ,由 S1 : S ? 2 : 9 得 r ? R= 2 2 ? 3 又 r ? OO1 ? R ,可得 OO1 : R ? 1 ? 3
2 2 2

★【题 9】 、过点 (1, 2) 的直线 l 将圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线 l 的斜 率 k ? ____ . 解:(数形结合)由图形可知点 A (1, 2) 在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 的内部, 圆心为 O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角 最小,只能是直线 l ? OA ,所以 kl ? ?

1 1 2 ?? ? kOA 2 ? 2
3 x( x ? 0) 相切,则这个圆的方程为____。 3

★【题 10】 、若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y ?

解:若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 y ?

3 x( x ? 0) 相切,则圆心在直线 y= 3 x 上,且圆心的 3

横坐标为 1,所以纵坐标为 3 ,这个圆的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 。 ★【题 11】 、已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 的值为 -18 或 8 。
2 2

a

14

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----15

解:圆的方程可化为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,所以圆心坐标为(1,0) ,半径为 1,由已知可得

|5? a | ? 1 ?| 5 ? a |? 13 ,所以 a 的值为-18 或 8。 13
★【题 12】 、若直线 y=kx+2 与圆(x-2)2+(y-3)2=1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 解: (0, .

4 ) 3
高三数学第一轮总复习讲义 讲义 34 椭 圆

一、基本知识体系: 1、 椭圆的定义:①第一定义:|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2)?注意焦点三角形的应用; |PF1| ②第二定义: =e (椭圆的焦半径公式:|PF1|=a+ex0, d 2、 椭圆的的方程:①焦点在 x 轴上的方程: (a>b>0) ; |PF2|=a-ex0)

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a>b>0) ;②焦点在 y 轴上的方程: 2 ? 2 ? 1 a2 b a b

③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx2+ny2=1(m>0,n>0)

④、参数方程: ? 3、 椭圆的几何性质: 标准方程

? x ? a cos ? ? y ? b sin ?
x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1 (a>b>0) a 2 b2

简图

中心 顶点 焦点 离心率 对称轴 范围 准线方程 焦半径

O(0,0) (±a,0) (0,±b) (±c,0) c e= (0<e<1) a x=0,y=0 -a≤x≤a,-b≤y≤b a x=± c
2

O(0,0) (0,±a) (±b,0) (0,±c) c e= (0<e<1) a x=0,y=0 -a≤y≤a,-b≤x≤b y=± a c
2

a±ex0 b2 ①焦准距: ; c 2b2 ②通径: ; a

a±ey0

4、 几个概念:

③点与椭圆的位置关系:



x2 y 2 ? ? 1 焦点 a 2 b2
2

? 三角形的面积:b2tan (其中∠F1PF2=?); 2 ⑥椭圆在点 P(x0,y0)处的切线方程:

⑤弦长公式:|AB|= (1 ? k ) [( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ;
2

x0 x y0 y ? 2 ? 1; a2 b
15

5、 直线与椭圆的位置关系:凡涉及直线与椭圆的问题,通常设出直线与椭圆的方程,将二者联立,消去 x

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----16

或 y,得到关于 y 或 x 的一元二次方程,再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决,需要有较 强的综合应用知识解题的能力。 6、 椭圆中的定点、定值及参数的取值范围问题: ①定点、定值问题:通常有两种处理方法:第一种方法?是从特殊入手,先求出定点(或定值) ,再证 明这个点(值)与变量无关;第二种方法?是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定 点(定值) 。 ②关于最值问题:常见解法有两种:代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及 意义,则考虑利用图形的性质来解决,这就是几何法;若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关 系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要 不等式法、函数的单调性法等。 ③参数的取值范围问题:此类问题的讨论常用的方法有两种:第一种是不等式(组)求解法?根据题 意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过解不等式(组)再得出参数的变化范围;第二种? 是函数的值域求解法:把所讨论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 二、典例剖析: ★【题 1】 、若焦点在 x 轴上的椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m=( B ) 2 2 m
C.

A. 3

B.

3 2

8 3

D.

2 3

▲解: ∵ 焦点在x轴上,∴ a ?

2 ,∵ e ?

c 1 3 2 ? ,∴ c ? ,∴ m ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? ,故选 B. a 2 2 2

★【题 2】 、设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2 ,过 F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F PF2 为等腰直角 1 1

三角形,则椭圆的离心率为( D )A

2 2

B

2 ?1 2

C 2? 2

D

2 ?1

●解:由题意可得

c b2 ? 2c ,∵b2=a2-c2e= ,得 e2+2e-1=0,∵e>1,解得 e= 2 ? 1 ,选(D) a a

★【题 3】 、点 P(-3,1)在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方 a 2 b2

向为 a =(2,-5)的光线,经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离 心率为:( A )(A)



3 3

(B)

1 3

(C)

2 2

(D)

1 2
2


→ 5 5 [解析]:如图,过点 P(-3,1)的方向向量 a =(2,-5);所以 K PQ ? ? , 则l PQ ; y ? 1 ? ? ( x ? 3) ,

2

?5 x ? 2 y ? ?13 5 9 得Q(? ,?2) , 由光线反射的对称性知: K QF1 ? LPQ ;5x ? 2 y ? ?13 ;联立: ? 2 5 ? y ? ?2
所 以 LQF 1 ; y ? 2 ?

5 9 ( x ? ) , 即 LQF 1 : 5x ? 2 y ? 5 ? 0 ; 令 y=0, 得 F1 ( -1 , 0 ) ; 综 上 所 述 得 : c=1 , 2 5

a2 c 1 3 ? 3, 则a ? 3 ;所以椭圆的离心率 e ? ? ? . 故选 A。 c a 3 3
16

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----17

★ 【题 4】 、如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 为 l 上的动点,求∠F1PF2 最大值.

x2 y 2 解 : ( Ⅰ ) 设 椭 圆 的 方 程 为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), 半 焦 距 为 c, 则 a b
|MA1|=

a2 ? a ,|A1F1|=a-c c

? a2 ? c ? c ? 2(a ? c) ? x2 y 2 ? ? ? 1 (Ⅱ)设 P(-4,y0),y0≠0,∴只需求 tan 由题意,得 ? 2a ? 4 ∴a=2,b= 3 ,c=1.故椭圆的方程为 4 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? y y ? ∠F1PF2 的最大值即可.设直线 PF1 的斜率 k1= ? 0 ,直线 PF2 的斜率 k2= ? 0 ,∵0<∠F1PF2<∠PF1M< ,∴∠ 3 3 2
F1PF2 为锐角.∴tan∠F1PF2= |

2 | y0 | 2 | y0 | k2 ? k1 15 |? ? ? ;当且仅当 15 ? | y0 |,即|y0|= ? 15 2 1 ? k1k2 15 ? y0 2 15 ? | yq | 15

时,tan∠F1PF2 取到最大值此时∠F1PF2 最大,∴∠F1PF2 的最大值为 arctan 三、巩固练习: ★9. (2007 年湖南理科)设 F1,F2 分别是椭圆

15 . 15

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点, 若在其右准线上存在 P, a 2 b2

使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( D ) A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ?

B. ? 0, ? ?

? ?

3? 3 ?

C. ?

? 2 ? , 1? ? 2 ? ?

D. ?

? 3 ? , 1? 3 ? ? ?

x2 ★【题 1】 、已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦 3 点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( C ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 ★【题 2】 、椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), 相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? . 则这个椭 圆的方程是(D ) (A)

7 2

2( x ? 1)2 2 y 2 2( x ? 1)2 2 y 2 ( x ? 1) 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? y2 ? 1 21 3 21 3 5

(D)

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

解:椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3, 0), ∴

半焦距 c ? 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为

7 a2 5 ( x ? 1) 2 x?? . ∴ ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ? y 2 ? 1 ,选 D. 2 c 2 5
★【题 3】 、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心
17

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----18

率为( B ) (A) 2

(B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

x2 y 2 2b2 a2 2 ? 2且 ? c ? 1 ,据此求出 e= 解:不妨设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a?b?0) ,则有 ,选 B a c a b 2
★【题 4】已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的 标准方程是 ;

?b 2 ? 4 ? ?a ? 2b, c ? 2 3 ? 2 2 y2 ? ? ?a ?16 ? x ? ?1 为所求; 解:已知 ? ? 16 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?F (?2 3,0) ?
★【题 5】 、如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点 25 16

作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P , P , P , P , P , P , P 七个点, F 是椭圆的一个焦点,则 1 2 3 4 5 6 7

PF ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? P F ? _______ 35 _________; 1 2 3 4 5 6 7
★ 【 题 6 】、 椭 圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且 a 2 b2

4 14 PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? ,| PF2 |? . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交 3 3
椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 解:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF ? PF2 ? 6 ,a=3; 1 在 Rt△PF1F2 中 F1 F2 ? 为

PF2 ? PF1
2

2

? 2 5, 故椭圆的半焦距 c= 5 ,从而 b2=a2-c2=4,所以椭圆 C 的方程

x2 y2 ? =1;(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) 、 ;已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 9 4
y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得

的坐标为(-2,1) ;从而可设直线 l 的方程为 (4+9k ) +(36k +18k)x+36k +36k-27=0. x 解得 k ?
2 2 2 2

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 因为 A, 关于点 M 对称; 所以 B 2 4 ? 9k 2
8 ( x ? 2) ? 1, 9
即 8x-9y+25=0.显然,所求直线方程符合题意。

8 , 9

所以直线 l 的方程为 y ?

★【题 7】在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆 C 与直线 y ? x 相切于坐标原

点 O ,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1) 求圆 C 的方程; (2) 试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q , Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 使 的长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

18

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----19

解:(1) 设圆 C 的圆心为 (m,n) 则 ?

? ?

m ? ?n

? n? 2 ? 2 2 ?

解得 ?

?m ? ?2 ? n?2
2a ? 1 0 a ? 5 ; 椭圆的方程为 ;

所求的圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ;

(2) 由已知可得

x2 y 2 ? ? 1 ;右焦点为 F( 4,0) ; 假设存在 Q(x,y),则有 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 且(x-4)2+y2=16,解之 25 9
4 12 可得 y=3x,从而有点( , )存在。 5 5 ★【题 9】 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该椭圆的左焦点,若点 M 满足 25 16
.答案为:2

???? 1 ??? ??? ? ? ? ???? ? OM ? (OP ? OF ) ,则 | OM |? 2
★【题 10】设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是椭圆上的一点, AF2 ? F1F2 ,原 a 2 b2
1 OF1 . Ⅰ)证 明 a ? 2b ; Ⅱ)求 t ? (0,b ) 使得 下述命 题成立: 设圆 ( ( 3
y

点 O 到 直线 AF1 的距 离为

x2 ? y 2 ? t 2 上任意点 M ( x0,y0 ) 处的切线交椭圆于 Q1 , Q2 两点,则 OQ1 ? OQ2 .
解:(Ⅰ) :由题设 AF2 ? F F2 及 F1 (?c, , F2 (c, ,不妨设点 A(c,y ) ,其中 y ? 0 ,由于点 A 在椭圆上, 0) 0) 1

A



? b2 ? c2 y 2 a 2 ? b2 y 2 b2 ? 2 ? 1, ? 2 ? 1 ,解得 y ? ,从而得到 A ? c, ? , a2 b a2 b a ? a?
HO OF1

H

F1 O

F2

x

过 点 O 作 OH ? AF1 , 垂 足 为 H , 易 知 △F HO ∽△ F F2 A 故 , 1 1

?

F2 A F1 A

;由椭圆定义得

AF1 ? AF2 ? 2a ,又 HO ?

F2 A 1 1 FA OF1 ,所以 ? 2 ? , 3 3 F1 A 2a ? F2 A

解得 F2 A ?

a b2 b2 a F2 A ? , ? , a ? 2b . , 而 得 即 (Ⅱ) 解法一: x2 ? y 2 ? t 2 上的任意点 M ( x0,y0 ) 圆 2 a a 2
2 2 2

处的切线方程为 x0 x ? y0 y ? t 2 .当 t ? (0,b) 时,圆 x ? y ? t 上的任意点都在椭圆内,故此圆在点 A 处的 切线必交椭圆于两个不同的点 Q1 和 Q2 ,因此点 Q1 ( x1,y1 ) , Q2 ( x2,y2 ) 的坐标是方程组

? x0 x ? y0 y ? t 2 ? ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b ?
2 2 2 2

? t 2 ? x0 x ? t 2 ? x0 x 2 2 的解. y0 ? 0 时, 当 由①式得 y ? 代入②式, x ? 2 ? 得 ? ? 2b , y0 ② ? y0 ?



2

即 (2x0 ? y0 ) x ? 4t x0 x ? 2t ? 2b y0 ? 0 ,于是 x1 ? x2 ?
4 2 2

2 4t 2 x0 2t 4 ? 2b2 y0 , x1 x2 ? 2 2 2 2 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0

19

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----20

y1 y2 ? ?

4 2 2 t 2 ? x0 x1 t 2 ? x1 x2 1 4t 2 x 1 ? 2 2 2t ? 2b y0 ? ? 2 ?t 4 ? x0t 2 ( x1 ? x2 ) ? x0 x1 x2 ? ? 2 ? t 4 ? x0t 2 2 0 2 ? x0 ? 2 2 ? ? y y0 ? y0 y1 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0 ? 0 ?

2 2 2 2 2 t 4 ? 2b 2 x0 2t 4 ? 2b2 y0 t 4 ? 2b2 x0 3t 4 ? 2b2 ( x0 ? y0 ) .若 OQ1 ? OQ2 ,则 x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? ?0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0

2 2 所以,3t 4 ? 2b2 ( x0 ? y0 ) ? 0 . x0 ? y2 ? 2 , 3t ?2b t 由 2 t 得 0
4

22

?0 . 在区间 (0,b) 内此方程的解为 t ?

6 b. 3

当 y0 ? 0 时,必有 x0 ? 0 ,同理求得在区间 (0,b ) 内的解为 t ?

6 6 b .另一方面,当 t ? b 时,可推出 3 3

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,从而 OQ1 ? OQ2 .综上所述, t ?

6 b ? (0,b) 使得所述命题成立. 3

★【题 11】设 F1、F2 分别是曲线

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点.(Ⅰ)若 P 是第一象限内该曲线上的一点, 4

???? ???? ? 5 PF1 ? PF2 ? ? ,求点 P 的作标; (Ⅱ)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、B,且∠AOB 4 为锐角(其中 O 为作标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.
(Ⅰ)易知 a ? 2 , b ? 1 , c ? 3 .∴ F (? 3,0) , F2 ( 3,0) .设 P( x, y) ( x ? 0, y ? 0) .则 1

???? ???? ? 5 x2 PF1 ? PF2 ? (? 3 ? x, ? y )( 3 ? x, ? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? ,又 ? y 2 ? 1, 4 4

7 ? 2 2 ?x ? 1 ? x2 ? 1 ?x ? y ? 4 3 ? ? ? 联立 ? 2 ,解得 ? 3?? 3 , P(1, 2 ) . 2 ? x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? ? 4 ? 2 ?4 ?
(Ⅱ)显然 x ? 0 不满足题设条件.可设 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x2 12 16k ? ? y2 ? 1 x1 ? x2 ? ? 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2)2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ∴ x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? y ? kx ? 2 ?
2 2 2 2 2 由 ? ? (16k ) ? 4 ? (1 ? 4k ) ?12 ? 0 ; 16k ? 3(1 ? 4k ) ? 0 , 4k ? 3 ? 0 ,得 k ?
2

又 ?AOB 为锐角 ? cos ?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 ,∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

3 .① 4

? (1 ? k 2 ) ?

12 16k 12(1 ? k 2 ) 2k ?16k 4(4 ? k 2 ) ? 2k ? ( ? )?4 ? ? ?4 ? ?0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

20

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----21

∴?

1 3 3 3 ? k 2 ? 4 .②综①②可知 ? k 2 ? 4 ,∴ k 的取值范围是 (?2, ? ) ? ( , 2) . 4 4 2 2

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 B,D ★ 【题 8】 (2007 年全国)已知椭圆 3 2
两点,过 F2 的直线交椭圆于 A,C 两点,且 AC ? BD ,垂足为 P. (Ⅰ)设 P 点的 坐标为 ( x0,y0 ) ,证明:

x0 2 y0 2 ? ? 1; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积的最小值. 3 2

解: (Ⅰ)椭圆的半焦距 c ? 3 ? 2 ? 1 ,由 AC ⊥ BD ;知点 P 在以线段 F1F2 为直径的

x0 2 y0 2 ? ? 1; 圆 x ? y ? 1上,由于 r=1<b= 2 ,则此圆必在此椭圆之内,从而有 3 2
2 0 2 0

(Ⅱ) (ⅰ)当 BD 的斜率 k 存在且 k ? 0 时, BD 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1 ,并化简 3 2

得 (3k 2 ? 2) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 6 ? 0 . B( x1,y1 ) ,D( x2,y2 ) , x1 ? x2 ? ? 设 则

6k 2 3k 2 ? 6 ,x1 x2 ? ,由 3k 2 ? 2 3k 2 ? 2

于弦 BD 为焦点弦,则有 BD ? 2a ? e( x2 ? x2 ) ?

4 3(k 2 ? 1) ; 3k 2 ? 2

? 1 ? 4 3 ? 2 ? 1? 2 1 ?k ? ? 4 3(k ? 1) . 因为 AC 与 BC 相交于点 p ,且 AC 的斜率为 ? .所以, AC ? 1 k 2k 2 ? 3 3? 2 ? 2 k
四边形 ABCD 的面积 S ?

1 24(k 2 ? 1) 2 ?BD ? AC ? = 2 (3k 2 ? 2)(2k 2 ? 3) 6 +

24 1 1 ? ( 2 )2 k ?1 k ?1
2



96 . 25

2 当 k ? 1 时,上式取等号. (ⅱ)当 BD 的斜率 k ? 0 或斜率不存在时,四边形 ABCD 的面积 S ? 4 .

综上,四边形 ABCD 的面积的最小值为

96 . 25

湖南省省级示范性高中??洞口三中高三数学第一轮总复习讲义 讲义 35 双曲线 一、基本知识体系: 7、 双曲线的定义: |PF1| ①第一定义:||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2)?注意焦点三角形的应用; ②第二定义: =e(e>1) d 2、 双曲线的方程: ①焦点在 x 轴上的方程: (a>0,b>0) ;

x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) ②焦点在 y 轴上的方程: 2 ? 2 ? 1 ; a2 b a b

③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx2-ny2=1(m?n<0)
21

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----22

④、双曲线的渐近线:改 1 为 0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 8、 双曲线的几何性质: 标准方程

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 (a>0,b>0) a 2 b2

简图

中心 顶点 焦点 离心率 范围 准线方程

O(0,0) (±a,0) (±c,0) c e= (e>1) a x≥a 或 x≤-a a x=± c
2

O(0,0) (0,±a) (0,±c) c e= (e>1) a y≥a 或 y≤-a y=± a c
2

b a y=± x y=± x a b P(x0,y0)在右支上时: P(x0,y0)在上支上时: |PF1|=ex0+a,|PF2|=ex0-a; |PF1|=ey0+a,|PF2|=ey0-a; P(x0,y0) 焦半径 P(x0,y0)在左支上时:|PF1|= 在下支上时: |PF1|= -ey0-a,|PF2|= -ex0-a,|PF2|= -ex0+a; -ey0+a; b2 2b2 9、 几个概念:①焦准距: ; ②通径: ; ③等轴双曲线 x2-y2=? (?∈R,?≠0):渐近线是 y=±x,离心率 c a 为: 2 ;④

渐近线

x2 y 2 ? ? 2 ? 1 焦 点 三 角 形 的 面 积 : b2cot 2 ( 其 中 ∠ F1PF2=?) ; ⑤ 弦 长 公 式 : 2 a b
2

2 2 2 2 2 2 |AB|= (1 ? k ) [( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ;⑥注意;椭圆中:c =a -b ,而在双曲线中:c =a +b ,

2

10、 直线与双曲线的位置关系: 讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法:①代数法:通常设出直线与双曲线的方程,将二 者联立, 消去 x 或 y, 得到关于 y 或 x 的一元二次方程, 再利用根与系数的关系及根的判别式等知识来解决, : ②、数形结合法。注意直线与双曲线有两个交点时,两交点可能在双曲线的一支上,也可能在两支上。 11、 双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题: ①定点、定值问题:通常有两种处理方法:第一种方法?是从特殊入手,先求出定点(或定值) ,再证 明这个点(值)与变量无关;第二种方法?是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定 点(定值) 。 ②关于最值问题:常见解法有两种:代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及 意义,则考虑利用图形的性质来解决,这就是几何法;若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关 系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要 不等式法、函数的单调性法等。 ③参数的取值范围问题:此类问题的讨论常用的方法有两种:第一种是不等式(组)求解法?根据题 意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过解不等式(组)再得出参数的变化范围;第二种? 是函数的值域求解法:把所讨论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 二、典例剖析:

22

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----23

★【题 1】双曲线 (A) y ? ?

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是( C 4 9
(B) y ? ?

)

2 x 3

4 x 9

(C) y ? ?

3 x 2

(D) y ? ?

9 x 4

★【题 2】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴,则 F1 到直线 F2 M 的 6 3

距离为

( C ) (A)

3 6 5

( B)

5 6 6

(C)

6 5

(D)

5 6

???? ???? ? ? y2 ? 1的焦点为 F1、F2 ,点 M 在双曲线上且 MF1 ? MF2 ? 0 ,则点 M 到 x 轴的距 ★【题 3】已知双曲线 x ? 2
2

离为( C )A

4 3

B

5 3

C

2 3 3

D

3

解 : 由 MF ? MF2 ? 0 , 得 MF1 ⊥ MF2, 不 妨 设 M(x,y) 上 在 双 曲 线 右 支 上 , 且 在 x 轴 上 方 , 则 有 1 (ex-a)2+(ex+a)2=4c2,即(ex)2+a2=2c2,∵a=1,b= 2 ,c= 3 ,e= 3 ,得 x2=

???? ???? ? ?

5 2 2 ,y = ,由此可知 M 点到 x 轴的距离是 3 3

2 3 ,选(C) 3
★【题 4】已知 F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若 a2 b2
) D. 3 ? 1

边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C.

3 ?1 2

解:设 E 是正三角形 MF1F2 的边 MF1 与双曲线的交点,则点 E 的坐标为( ? 代入,整理得 e4-8e2+4=0,由 e>!,解得 e= 3 ? 1 ,选(D) ★【题 5】若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是

c 3 ),代入双曲线方程,并将 c=ae , 2 2

? 10,0? ,则双曲线的方程是__________。

x2 ?

y2 ?1 9

x2 y 2 Q ★ 【题 6】 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , 右准线 l 与两条渐近线交于 P、 两点, 如果 ?PQF a b
是直角三角形,则双曲线的离心率 e ? ___________ . e ?

2

23

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----24

解: 双曲线

x2 y 2 a 2 ab a 2 ab ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c, 0), , )、 ( , ? ) 右准线 l 与两条渐近线交于 P( Q a2 b c c c c

ab ab ? a2 两点,∵ FP⊥FQ,∴ 2 c ? 2 c ? ? 2 ? ?1 ,∴ a=b, 即双曲线的离心率 e= 2 . a a b ?c ?c c c
★【题 7】双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ( A A. ? )

1 4

B. ?4

C. 4

D.

1 4

★【题 8】若双曲线 (A)

1 2

1 x2 ? y 2 ? 1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的 ,则 m=( C) 3 m 3 1 9 (B) (C) (D) 2 8 8

★【题 9】已知双曲线 3x 2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于

( C

)

A.

2

B.

2 3 3

C. 2

D.4

★【题 10】过双曲线 M : x ?
2

y2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l , 若 l 与双曲线 M 的两条渐近线分别相 b2

交于点 B, C , 且 | AB |?| BC | , 则双曲线 M 的离心率是( A )

A.

10

B. 5

C.

10 3

D.

5 2

π x2 y2 ★【题 11】已知双曲线 2 - =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( ) a 2 3 A.2 B. 3 2 6 C. 3 2 3 D. 3

解:已知双曲线

x2 y 2 2 ? 3 π ? ? 1 (a> 2)的两条渐近线的夹角为3 ,则 ? tan ? ,∴ a2=6,双曲线的离心 2 a 2 a 6 3

2 3 率为 ,选 D. 3 ★【题 12】已知双曲线

4 x2 y 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( A ) 2 3 a b
(B)

(A)

5 3

4 3

(C)

5 4

(D)

3 2

解:双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点, M , N 分别是圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上 ★【题 13】 P 为双曲线 16 9
24

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----25

的点,则 PM ? PN 的最大值为( B )A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

解:设双曲线的两个焦点分别是 F1(-5,0)与 F2(5,0) ,则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点 P 与 M、 F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=8-1=7 ★ 【题 14】已知三点 P(5,2) F1 (-6,0) F2 (6,0) 、 、 ; (Ⅰ)求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y=x 的对称点分别为

P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双曲线的标准方程。
解: (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0),其半焦距 c=6; a 2 b2

2a ? PF1 ? PF2 ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ∴ a ? 3 5 ,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ?1 45 9
(2)点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P (2,5)、F1 (0,-6)、F2 (0,6).
, , ,

x2 y 2 设所求双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 由题意知,半焦距 c1=6 a1 b1
2a1 ? P?F1? ? P?F2? ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 4 5

a1 ? 2 5 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 ? ?1 20 16

★【题 15】已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与双曲线的 a 2 b2
(C) [2, ??) (D) (2, ??)

右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) (A) (1, 2] (B) (1, 2)

x2 y 2 o 解: 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右支有且 a b
只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

b ,∴ a

b ≥ 3 ,离心率 a

e2=

c2 a 2 ? b2 ? ≥ 4 ,∴ e≥2,选 C a2 a2
y A P

★【题 17】设动点 P 到点 F1 (?1 0) 和 F2 (1 0) 的距离分别为 d1 和 d2 , , , (1)证 ∠F1PF2 ? 2? ,且存在常数 ? (0 ? ? ? 1) ,使得 d1d2 sin2 ? ? ? .

F1
明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)如图,过点 F2 的

O
B

F2 x

25

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----26

直线与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点. 是否存在 ? , △FB 问: 使 A 1 若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

是以点 B 为直角顶点的等腰直角三角形?

2 解: (1)在 △PF1F2 中, F F2 ? 2 ; 4 ? d12 ? d2 ? 2d1d2 cos 2? ? (d1 ? d2 )2 ? 4d1d2 sin 2 ? 1

;故动点 P 的轨迹 C 是以 F , F2 为焦点,实轴长 (d1 ? d2 )2 ? 4 ? 4? ; d1 ? d2 ? 2 1 ? ? (小于 2 的常数) 1

2a ? 2 1 ? ? 的双曲线.方程为

x2 y2 ? ? 1. 1? ? ?

(2) 、在 △AF B 中,设 AF ? d1 , AF2 ? d2 , BF ? d3 , BF2 ? d4 .假设 △AF B 为等腰直角三角形, 1 1 1 1

? ?d1 ? d 2 ? 2a ? ① ? ? d 3 ? d 4 ? 2a ? ② ? 则 ?d3 ? d 4 ? d 2 ? ③ ; 由 ② 与 ③ 得 d2 ? 2a , 则 ? ?d1 ? 2d3 ? ④ ? 2 π ? ? ?⑤ ?d3d 4 sin ? 4

?d1 ? 4a ? 由 ⑤ 得 d3d4 ? 2? , ? d 3 ? 2 2a ? ?d 4 ? d3 ? 2a ? 2( 2 ? 1)a

4 2( 2 ?1)a2 ? 2? ; (8 ? 4 2)(1 ? ?) ? 2? , ? ?

12 ? 2 2 12 ? 2 2 满足题设条件. ? (0, ;故存在 ? ? 1) 17 17
抛 物 线

高三数学第一轮总复习讲义 讲义 36 一、基本知识体系: 1、抛物线的定义:

|PF| =e (其中 e=1,注意:定点 F 不能在定直线 L 上) d y2= -2px (p>0) x2=2py (p>0) x2= -2py (p>0)

2、抛物线的的标准方程和几何性质: 2 标准方程 y =2px (p>0) 图象

顶点 对称轴 焦点 准线

(0,0) x轴 p F( ,0) 2 p x=2 p +x0 2 e=1

(0,0) x轴 p F(- ,0) 2 p x= 2 p -x 2 0 e=1

(0,0) y轴 p F(0, ) 2 p y= 2 p +y0 2 e=1

(0,0) y轴 p F(0,- ) 2 p y= 2 p -y 2 0 e=1

焦半径 离心率 3、几个概念: ① p 的几何意义:焦参数 p 是焦点到准线的距离,故 p 为正数; ② 焦点的非零坐标是一次 1 项系数的 ; ③方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同,一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。④ 4
26

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----27

通径:2p 二、典例剖析: ★【题 1】 、抛物线 y=4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B ) (A)

17 16
2

(B)

15 16

(C)

7 8

(D)0

★【题 2】.抛物线 y = 2px(p>0)上有 A(x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)三点,F 是它的焦点,若|AF|、 、 , ,

|BF|、|CF|成等差数列,则(A ) C.x1、x3、x2 成等差数列

A.x1、x2、x3 成等差数列 D.y1、y3、y2 成等差数列

B.y1、y2、y3 成等差数列

→ → ★【题 3】 、在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 y ? x 2 上异于坐标原点 O 的两不同动点A、B满足AO?BO=0

y (如图4所示)(Ⅰ)求 ?AOB 得重心 G (即三角形三条中线的交点) ; 的轨迹方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. A
解: (Ⅰ)∵直线 AB 的斜率显然存在,∴设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,依题意得:

? y ? kx ? b 由? , 消去y, 得 x 2 ? kx ? b ? 0 ,① y ? x2 ?

B O x

∴ x1 ? x2 ? k ,②

x1 x2 ? ?b

2 图4 2 ③;又 ∵ OA ? OB ,∴ x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x1 x2 ? x1 x2 ? 0 ,④

由③④得, ? b ? b 2 ? 0 ,∴ b ? 1或b ? 0(舍去) ;∴则有直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ∴从而①可化为 x 2 ? kx ? 1 ? 0 ,∴ x1 x2 ? ?1 ⑤,不妨设 ?AOB 的重心 G 为 ( x, y) ,则有

x?

x1 ? x 2 ? 0 k ? 3 3 y?

⑥ , y?

y1 ? y 2 ? 0 k ( x1 ? x 2 ) ? 2 k 2 ? 2 ? ? 3 3 3

⑦,

由⑥、⑦得:

(3 x ) 2 ? 2 2 ,即 y ? 3 x 2 ? ,这就是 ?AOB 得重心 G 的轨迹方程. 3 3
把②⑤代入上式, | AB |? k 2 ? 1 ? k 2 ? 4 , 得 k 2 ? 1 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ;

(Ⅱ) 由弦长公式得 | AB |?

设点 O 到直线 AB 的距离为 d ,则 d ?

1 k 2 ?1

,∴ S ?AOB ?

1 ? | AB | ?d ? 2

k2 ? 4 ,∴ 当 k ? 0 , S ?AOB 2

有最小值,∴ ?AOB 的面积存在最小值,最小值是 1 .
2 ★【题 4】 、设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点, A,B,C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则

??? ??? ??? ? ? ?

??? ? ??? ? ???? FA ? FB ? FC ?( B )A.9
2

B.6

C.4

D.3

★【题 5】 、抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是( ) A.

4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3
27

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----28

| 4m ? 3m 2 ? 8 | 2 解:设抛物线 y ? ? x 上一点为(m,-m ),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为 ,当 m= 3 5
2
2

时,取得最小值为

4 ,选 A. 3

2 2 ★【题 6】 、已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 ? y2 的最小值



32

.

2 2 解:显然 x1 , x2 ?0,又 y1 ? y2 =4( x1 ? x2 )?8 x1 x2 ,当且仅当 x1 ? x2 ? 4 时取等号,所以所求的值为 32。

(注意联系均值不等式! ) 2 ★【题 8】 、①过抛物线 y =4x 的焦点做直线 L 交抛物线于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 3,则 |AB|=____(答案:8) y1y2 2 ②抛物线 y =2px(p>0)焦点弦 AB 的两个端点的坐标是 A(x1,y1),B(X2,y2),则 之值是( B ) x1x2
2 2

A

4

B

-4 C p D –p 2 ③抛物线 x =4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|最小值是(B ) A 6 B 9 C 12 D 16 ④ 在③题中,若将条件改为 A(3,1),其它不变,则是____(答案:3) 2 2 ⑤直线 y=2x+m 与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点,以 x 轴正半轴为始边,OA 为终边(O 为坐标原点)的角为?,OB 为 -4 终边的角为?,则 sin(?+?)=____(答案: ) 5 π 2 ★ 【题 9】 过直角坐标平面 xoy 中的抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于 A, 、 4 B 两点。 (1)用 P 表示 A,B 之间的距离; (2)证明:∠AOB 的大小是与 P 无关的定值,并求出这个值。 π p ●解: (1)焦点 F(1,0) ,过抛物线的焦点且倾斜角为 的直线方程是 y = x - ; 4 2

? y 2 ? 2 px ? ? p p2 2 y ? x? ? x ? 3 px ? ?0 ? 2 4 设点 A( xA , yA ), B( xB , yB ) 则有: ?

? x A ? xB ? 3 p ? 则有 ? p2 x A xB ? ? ? 4

?由抛物线定义可知 AB ? x A ? xB ? p ? 4 p
(2)由于 cos∠AOB = → → OA?OB → → |OA|?|OB|

=

?x

x A xB ? y A y B
2 A

? yA

2

?? x

2 B

? yB

2

?

?

p p2 ? x A ? xB ? ? 3 41 2 4 ?? 2 41 x A xB ? x A xB ? 2 p ? x A ? x B ? ? 4 p ? ? ? 2 x A xB ?
3 41 41

∴ ?AOB 的大小是与 p 关的定值,即 ?AOB =π -arccos ★【题 10】 、已知抛物线 y =2(x+
2

1 )的焦点为 F,准线为 l,试判断:是否存在同时满足以下两个条件的双曲线 2

C: (1)双曲线 C 的一个焦点是 F,相应 F 的准线为 l; (2)直线 m 垂直于 x-y=0,双曲线 C 截直线 m 所得的

28

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----29

线段的长为 2 2 ,并且截得线段的中点恰好在直线 x-y=0 上;若存在,求出这条双曲线的方程;若不存在, 说明理由. ●解:∵y =2(x+
2

1 );∴焦点为 F(0,0) ,准线 l:x=-1;设双曲线 C 存在,其离心率为 e,点(x,y)为双 2

x2 ? y2 2 2 2 2 2 曲线 C 上任意一点,由条件 =e,得: -e )x +y -2e x-e =0;又设与 x-y=0 垂直的直线 m 为 y= (1 x ?1
-x+b,则双曲线 C 应与 m 有两个交点,设为 A(x1,y1) (x2,y2),且|AB|=2 2 . 、B
由?

?( 1 ? e 2 )x 2 ? y 2 ? 2e 2 x ? e 2 ? 0, ? y ? ? x ? b.
2 2 2 2 2

得(2-e )x -2(e +b)x+b -e =0.
2 ? 2(e 2 ? b) b2 ? e2 ?2 ? e ? 0 , 则? (*) 成立,且 x1+x2= ,x1x2= ;又|AB|=2 2 ,所以 2 ? e2 2 ? e2 ?? ? 8be2 ? 4b 2 ? 8e 2 ? 4b 2 e 2 ? 0. ?

2 [(

2e 2 ? 2b 2 b2 ? e2 e 2 ? b b ? be2 ? e 2 2be2 ? 2e 2 ? b 2 e 2 ? b 2 , ) -4( )] 所以 =8; =1.①; AB 的中点 M 又 ( ) 2 ? e2 2 ? e2 2 ? e2 2 ? e2 (2 ? e 2 ) 2

在直线 x-y=0 上,∴

?b ? ?2, e 2 ? b b ? be2 ? e 2 ? .②;由①、②解得 ? 2 2 2?e 2?e ?e ? 2.
2 2

此时(*)成立,所以满足条件的双曲线 C 存在,其方程为 3x -y +8x+4=0. 2 ★【题 11】已知 AB 是抛物线 x =2py(p>0)的任一弦,F 为抛物线的焦点,L 为准 → 线.m 为过 A 点且以 v =(0,-1)为方向向量的直线.①若过 A 点的抛物线的切线 → → 2 与 y 轴相交于 C 点,求证:|AF|=|CF|;②若OA?OB+p =0(A,B 异于原点) , 直线 OB 与 m 相交于点 P,试求 P 点的轨迹方程;③若 AB 为焦点弦,分别过 A,B 点的抛线物的两条切线 相交于点 T,求证:AT⊥BT,且 T 点在 L 上. ●解: (1)如图,设 A(x1,y1),则直线 m 为:x=x1, 又∵ y′=

x x x x , ∴kAC= 1 ,于是 AC 的方程为:y-y1= 1 (x-x1),即 y= 1 x-y1.令 x=0,得 y=-y1,即 C(0,-y1).由 p p p p
→ → 2 2 2 ,又|CF|= -(-y1)=y1+ , 故|AF|=|CF|.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y); OA?OB p p p
2

定义,|AF|=y1+

2 2 ?xx ? x1 x2 2 2 +p =0?x1x2+y1y2+p =0?x1x2+ 2 +p =0 ? ? 1 2 ? p ? ? 0. ; ∴x1x2=-2p . 直线 OB 的方程: 4p 2p ? ? 2 2

y=

x y2 x ? 2 x, x2 2p

①;又直线 m 的方程:x=x1



①?②:xy=

x1 x2 x ? xy ? px ? 0, ∵x≠0,∴y=-p.故 P 点的轨迹方程为 y=-p. 2p

29

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----30

(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),T(x0,y0). 则 kAT=

p x1 x , kBT ? 2 . 由于 AB 是焦点弦,可设 AB 的方程为:y=kx+ , 代 2 p p

入 x =2py,得:x -2pkx-p =0;∴x1x2=-p ,于是 kAT?kBT=

2

2

2

2

x1 x2 ? ?1, 故 AT⊥BT. p2

由(1)知,AT 的方程:y=

x1 x x ? y1 , ∴y0= 1 x0 ? y1 ,即 x0x1-py1=py0,同理: p p
p p2 ? py0 , 即 y0=- ,故 T 点在准线 l 上.t 2 2

x0x2-py2=py0.∴AB 的方程为:x0x-py=py0,又∵AB 过焦点,∴-

★【题 12】 、如图,过抛物线 x2=2y 的准线上任一点 P,做抛物线的两条切线,切点分别为 A、B,抛物线的 → → →2 焦点为 F,试推断是否存在常数?,使得FA· FB=?|FP| 成立,若存在,求出?的值,若不存在,请说明理由。 x12 x22 x12 x12 ●解; 设点 A 1, ),B(x2, (x ),∵y′=x,∴切线 PA 方程为; y= x1(x- x1),即 y= x1x; 2 2 2 2 x22 x1+x2 x1x2 同理有切线 PB 方程为 y= x2x- ;联立两方程解得点 P( , ) ,由于点 P 在准 2 2 2 → → -1 1 x12-1 x22-1 线 y= 上,则有 x1x2=-1;又焦点 F(0, ) ,∴FA=(x1, ) FB=(x2 , , ) ,点 P 2 2 2 2 ( → → → x1+ x1 -1 1 1 x1+ x2 , ) FA?FB= x1x2+ (x12-1) 22-1)= -1- (x1+ x2)2,又FP=( ,∴ (x , 2 2 4 4 2

→ 1 → → → -1) ,∴|FP|2= (x1+ x2)2+1,从而有FA?FB=-|FP|2,故存在?=-1 满足题设条件。 4 高三数学第一轮总复习讲义 讲义 37 直线与圆锥曲线的位置关系 一、基本知识体系: 12、 直线与圆锥曲线的位置关系: ① 要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常把直线方程与圆锥曲线方程联立,消去 y(或消去 x)得 到关于 x(或关于 y)的一元二次方程,再考查其△,从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数: (1)若 △<0,则直线与圆锥曲线没有公共点;②若△=0,则直线与圆锥曲线有唯一的公共点;③若△>0,则直 线与圆锥曲线有两个不同的公共点; ② 从几何角度来看:直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交(有两个交点) 、相切(有一个公共点) 、相离 (没有公共点)三种情况;这里特别要注意的是:当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的 对称轴平行时,属于相交的情况,但只有一个公共点。 13、 直线被圆锥曲线截得的弦长问题: ①直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,一般将直线方程 L:y=kx+m 代入曲线方程整理后得 1 2 2 到关于 x 的一元二次方程?则应用弦长公式:|AB|= (1 ? k ) [( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ;或将直线方程 L:x= y +t k 代入曲线方程整理后得到关于 y 的一元二次方程?则应用弦长公式:|AB|= (1 ? ②过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷; 2b ③ 垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双曲线的通径长都为 ,而抛物 a 线的通径长为 2p; 2p 2 ④ 对于抛物线 y =2px (p>0)而言, 还有如下的焦点弦长公式, 有时用起来很方便: |AB|=x1+x2+p; |AB|= 2 sin ?
30
2

1 ) [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ; k2

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----31

(其中?为过焦点的直线 AB 的倾斜角) 14、 直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种: ①设直线方程为 y=kx+m,代入到圆锥曲线方程之中,消元后得到一元二次方程,再利用根与系数的 关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定,因而通常计算量较大) ; ②利用点差法:例如在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内有一定点 P(x0,y0),求以 P 为中点的弦的直线方程时,可设弦的两 a 2 b2

? x12 y12 ? a 2 ? b2 ? 1 (x1+x2) (x1-x2) ? 端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,则 A、B 满足椭圆方程,即有 ? 两式相减再整理可得: 2 2 a2 ? x2 ? y2 ? 1 ? a 2 b2 ?
x0 -b (y1+y2) (y1-y2) y1-y2 (x1+x2) -b =;从而可化出 k= = ? = ? 2; b2 x1-x2 (y1+y2) a2 y0 a 对于双曲线也可求得:k= y1-y2 (x1+x2) b x0 b = ? = ? ;抛物线也可用此法去求解,值得注意的是,求出直线 x1-x2 (y1+y2) a2 y0 a2
2 2 2 2

方程之后,要根据图形加以检验。 15、 解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是: ①解决焦点弦(过圆锥曲线的焦点的弦)的长的有关问题,注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式; ②已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时,通常利用待定系数法; ③圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题, 解决此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称 直线垂直,则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上,再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。 5、圆锥曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题: ①定点、定值问题:通常有两种处理方法:第一种方法?是从特殊入手,先求出定点(或定值) ,再证 明这个点(值)与变量无关;第二种方法?是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定 点(定值) 。 ②关于最值问题:常见解法有两种:代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及 意义,则考虑利用图形的性质来解决,这就是几何法;若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关 系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要 不等式法、函数的单调性法等。 ③参数的取值范围问题:此类问题的讨论常用的方法有两种:第一种是不等式(组)求解法?根据题 意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过解不等式(组)再得出参数的变化范围;第二种? 是函数的值域求解法:把所讨论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 二、典例剖析: ★【题 1】 、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5,
2

则这样的直线( )A.有且仅有一条
2

B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

解答: y ? 4 x 的焦点是(1,0),设直线方程为 y ? k ( x ? 1) k ? 0 (1);将(1)代入抛物线方程可得

k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , x 显 然 有 两 个 实 根 , 且 都 大 于 0 , 它 们 的 横 坐 标 之 和 是
2k 2 ? 4 2 3 ? 5 ? 3k 2 ? 4 ? k ? ? ,选 B 2 k 3
★【题 2】 、已知双曲线

x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右准线与一条渐近线交于点 A,△OAF a2 b

31

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----32

的面积为

a2 (O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为 ( D )A.30? B.45? C.60? 2

D.90?

x2 y2 a2 b ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的焦点F (c,0), 右准线方程x ? , 渐近线y ? x 则 [解析]:双曲线: 2 c a a b A( a 2 ab , ) c c
,所以 S ?OAF ?

1 ab a 2 ?c? ? 求得 a=b,所以双曲线为等轴双曲线,则两条渐进线夹角为 900, 2 c 2
2

★【题 3】 、设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? ,若 l ? 与椭圆 x ? 为椭圆上的动点,则使 ?PAB 的面积为

y2 ? 1的交点为 A、B、 P ,点 4
(C)3 (D)4

1 的点 P 的个数为( 2

) (A)1 (B)2

解:直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 关于原点对称的直线为 l ? :2x+y-2=0,该直线与椭圆相交于 A(1, 0)和 B(0, 2),

P 为椭圆上的点,且 ?PAB 的面积为

1 5 ,则点 P 到直线 l’的距离为 ,在直线的下方,原点到直线的距离 2 5



2 5 ,所以在它们之间一定有两个点满足条件,而在直线的上方,与 2x+y-2=0 平行且与椭圆相切的直线, 5 2 , 2

切点为 Q(

2 ),该点到直线的距离小于

5 ,所以在直线上方不存在满足条件的 P 点. 5

★【题 4】 、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、N 两点,以 a 2 b2

MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于_________. 解:由题意可得

b2 ? a ? c ,即 c2-a2=a2+ac,化成关于 e 的方程 e2-e-2=0,解得 e=2 a

x2 y 2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是 ★【题 5】 、如图,点 A 、 B 分别是椭圆 36 20
椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF . (1) 求点 P 的坐 标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 MB ,

求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值. .[解](1)由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y),则AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. 由于 ? 36 20 2 ?( x ? 6)(x ? 4) ? y 2 ? 0 ?

32

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----33

y ? 0, 只能 x ?

3 5 3 5 , 于是 y ? 3,? 点P的坐标是 ( , 3 ). 2 2 2 2 |m?6| , 2

(2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0. 设点 M 的坐标是(m,0) ,则 M 到直线 AP 的距离是

|m?6| ?| m ? 6 |,又 ? 6 ? m ? 6, 解得 m ? 2, 椭圆上的点 ( x, y ) 到点 M 的距离 d 有 2 5 4 9 d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ? x 2 ? ( x ? ) 2 ? 15, 由于 9 9 2 9 ? 6 ? x ? 6,?当x ? 时, d取得最小值 15 . 2
于是

l ★ 【题 6】 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两点在抛物线 y ? 2x 2 上, 是 AB 的垂直平分线, (Ⅰ) 、 当且仅当 x1 ? x2
取何值时,直线 l 经过抛物线的焦点 F?证明你的结论; 解: (Ⅰ)∵抛物线 y ? 2x 2 ,即 x ?
2

(Ⅱ)当 x1 ? 1, x2 ? ?3 时,求直线 l 的方程. (1 分) ;

y 1 1 ,? p ? ,∴焦点为 F (0, ) 2 4 8

(1)直线 l 的斜率不存在时,显然有 x1 ? x2 ? 0 (3 分) (2)直线 l 的斜率存在时,设为 k,截距为 b;即直线 l :y=kx+b
?y ? y ? 2 ? 1 ? k ? x1 x 2 ? b ?????5 分 2 ? 2 ? ?y y1 2 ? ? 1 ? ? x1 ? x 2 k ?
2 2 ? ? ? ? 2 x1 2 x 2 ? k ? x 1 x 2 ? b 2 2 ? ?? 2 2 ? 2x 2 1 ? 2 x1 ?? ? ? x2 k x1 ?

由已知得:

? 2 2 x1 ? x 2 ? b ? x1 ? x 2 ? k ? ? ?????7 分 2 ?? 1 ? x1 ? x 2 ? ? 2k ? ?

1 1 ?1 矛盾;即 l 的斜率存在时,不可能经 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 4 8 4

过焦点 F (0, ) (8 分) ;所以当且仅当

1 8

x ?x
1

2

=0 时,直线 l 经过抛物线的焦点 F( 9 分) ;

1 (Ⅱ)则 A(1,2), 、 B (-3, , AB 之中点坐标为 18)则 (-1, ,AB= -4,则 kL= ,所以直线 l 的方程为 x ? 4 y ? 41 ? 0 10)k 4
2 ★【题 7】 、直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为

P, Q ,则梯形 APQB 的面积为( ) (A) 48

(B) 56

(C) 64

(D) 72

2 解:直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P, Q ,

? y2 ? 4x ? x ?1 ?x ? 9 2 联立方程组得 ? , 消元得 x ? 10 x ? 9 ? 0 , 解得 ? , ? 和 , |AP|=10, ∴ |BQ|=2, |PQ|=8, ?y ? x ?3 ? y ? ?2 ?y ? 6
梯形 APQB 的面积为 48,选 A. ★【题 8】 、直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x
2 2 2 2

(k ? R ,且k ? 0 ) 的公共点的个数为( )
2 2 2 2 2 2 2 2

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4【解析】将 y ? 2k 代入 9k x ? y ? 18k x 得: 9k x ? 4k ? 18k x

33

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----34

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,故选择答案 D。
★【题 9】若曲线 y ? 2x ? 1与直线 y ? b 没有公共点,则 b 的取值范围是_________. 解、曲线 y ? 2x ? 1得|y|>1,∴ y>1 或 y<-1,曲线与直线 y ? b 没有公共点,则 b 的取值范围是[-1,1]. ★【题 10】 、已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax2 相切,则 a ? ______ .已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线

1 y ? ax2 相切,将 y=x-1 代入抛物线方程得 ax 2 ? x ? 1 ? 0 ,∴ ? ? 1 ? 4a ? 0 ,a= 。 4

★【题 11】 、如图,椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)与过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且 a2 b

只有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e=

3 .(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)设 F 1 、F 2 分别为椭 2

圆的左、右焦点,M 为线段 AF 1 的中点,求证:∠ATM=∠AF 1 T. 解: (I) 过点 A 、B 的直线方程为

x ? y ? 1. 联立两方程可得 2
( ab ? 0 ) 故 ,

(b 2 ?

1 2 2 2 a ) x ? a 2 x 2? a 2? a 2 b?有惟一 0 4

解, 所以 ? ? a b (a ? 4b ? 4) ? 0
2 2 2 2

a 2 ? 4b2 ? 4 ? 0. 又因为 e ?

3 ,即 2

a 2 ? b2 3 ? , a2 4

所以

a ? 4b . 从而得
2 2

1 a ? 2, b ? , 故所求的椭圆方程为 2
2 2

x2 ? 2 y 2 ? 1(II) (I) . 由 得 2

c?

6 ,故 2

F1 (?

1 x2 6 6 6 , 0), F2 ( , 0), 从而 M (1 ? , 0). ? 2 y 2 ? 1, 由 y ? ? x ? 1 2 2 2 2 4
1 1 2 6 T (1, ). 因 为 t a n A F T? , 得 ? 1 ? 1 , tan ?TAM ? , tan ?TMF2 ? 又 2 2 2 6

解 得 x1 ? x2 ? 1, 所 以

2 1 ? 6 2 ? 6 ? 1, 因此 ?ATM ? ?AFT . tan ?ATM ? 1 1 2 1? 6

★【题 12】 、设 A, B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为 a 2 b2

它的右准线。 (Ⅰ) 、求椭圆的方程; (Ⅱ) 、设 P 为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线 AP, BP 分 别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M 、N ,证明点 B 在以 MN 为直径的圆内。

2

M

1

-4

A -2

2

B

4

-1

N
-2

34

-3

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----35

解: (Ⅰ)依题意得 a=2c,

a2 x2 y2 =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 .故椭圆的方程为 ? ? 1 .(Ⅱ) c 4 3
3 (4-x02). ○;又 1 4

解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x0,y0).∵M 点在椭圆上,∴y0= 点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得 P(4,
2

6 y0 ).从而 BM =(x0-2,y0) , x0 ? 2

6 y0 6 y0 2 (2, ) BM ? =2x0-4+ .∴ = (x02-4+3y02) ; ○代入○, 2 2 化简得 BM ? BP = BP BP ○ 将1 x0 ? 2 x0 ? 2 x 0 ? 2


5 (2-x0).∵2-x0>0,∴ BM ? BP >0,则∠MBP 为锐角,从而∠MBN 为钝角,故点 B 在以 MN 为直 2

径的圆内。解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0).设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则-2<x1<2,-2<x2<2, 又 MN 的中点 Q 的坐标为 (

x1 ? x 2 y1 ? y 2 1 2 , )依题意, , 计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差 BQ - MN 4 2 2

2

=(

x1 ? x 2 y ? y2 2 1 -2)2+( 1 ) - [(x1-x2)2+(y1-y2)2]=(x1-2) (x2-2)+y1y1 ○;又直线 AP 的方程 3 4 2 2

为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) ,而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上, x1 ? 2 x2 ? 2
4 ○;又点 M 在椭圆上,则
2



6 y1 6 y2 (x2 ? 2) y1 3 ,即 y2= ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2

x1 y 3 2 2 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3

2

2

5 4 5 3 ○;于是将○、○代入○,化简后可得 BQ - 的圆内。

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 .从而,点 B 在以 MN 为直径 4 4

★【题 13】 、已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点。 (I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准 2
y

线 l 相切的圆的方程; (II)设过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,并且线段 AB 的中点在直线 x ? y ? 0 上,求 直线 AB 的方程。 解: (I)? a ? 2, b ? 1,?c ? 1, F (?1,0), l : x ? ?2. ? 圆过点 O、F,
2 2
l F A B N O x

1 1 1 3 1 3 设 ? 圆心 M 在直线 x ? ? 上。 M ( ? , t ), 则圆半径 r ? (? ) ? (?2) ? . 由 OM ? r, 得 (? )2 ? t 2 ? , 2 2 2 2 2 2
解得 t ? ? 2. ? 所求圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? 2) ?
2 2

1 2

9 . (II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0), 4

代入

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0.? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F, 方程有两个不等实 ? 2

根,记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 则
35

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----36

x1 ? x2 ? ?

4k 2 1 2k 2 k , x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? 2 , y0 ? k ( x0 ? 1) ? 2 , ? 线段 AB 的中点 N 在直线 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
1 2k 2 k ? 2 ? 0, ? k ? 0 ,或 k ? . 当直线 AB 与 x 轴垂直时,线段 AB 的 2 2 2k ? 1 2k ? 1

x ? y ? 0 上,? x0 ? y0 ? ?

中点 F 不在直线 x ? y ? 0 上。? 直线 AB 的方程是 y ? 0, 或 x ? 2 y ? 1 ? 0. ★ 【题 14】 已知点 A( x1,y1 ),B( x2,y2 )( x1x2 ? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动点,O 是坐标原点, 、 向量 OA OB 满足 | OA+ OB |?| OA- OB | ,设圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 . (1)证明线 , 段 AB 是圆 C 的直径; (2)当圆 C 的圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离的最小值为 解:? OA ? OB ? OA ? OB , ? OA ? OB

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

2 5 时,求 p 的值. 5

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

?

??? ??? ? ?

? ? ?OA ? OB ?
2

??? ??? ? ?

2

,即

??? ??? ? ? ??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? 2 ??? ??? ??? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB , 整理得 OA ? OB ? 0. ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0. ..(12 分)
设点 M x,y) ( 是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点, MA ? MB ? 0. 即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0. 则 展开上式并将①代入得 x2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0. 故线段 AB 是圆 C 的直径。 证法二:? OA ? OB |?| OA ? OB | ,( ? OB ? OA )=(OA ? OB , )即 |
2 2

???? ????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ??? ??? ???? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OA2 ? 2OA? OB ? OB2 ? OA2 ? 2OA ? OB ? OB2 ,整理得 OA ? OB ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ①??3 分
若点 ? x, y ? 在以线段 AB 为直径的圆上,则

y ? y1 y ? y2 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) ;去分母得 x-x1 x ? x2

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ;点 ? x1, y1 ? , ? x1, y2 ? , ? x2 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 满足上方程,展开并将①代入得

x2 ? y2 ? ? x1 ? x2 ? x ? ? y1 ? y2 ? y ? 0 ;所以线段 AB 是圆 C 的直径.
2 ( )=(OA ? OB 2, )即 证法三:? OA ? OB ? OA ? OB ? OA ? OB

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

???? ? ??? ??? ???? ???? ??? ??? ???? ? ? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ? OA2 ? 2OA ? OB ? OB2 ? OA2 ? 2OA ? OB ? OB2 ,整理得 OA ? OB ? 0 ;? x1x2 ? y1 y2 ? 0
以 AB 为直径的圆的方程是 ( x ?

x1 ? x2 2 y ? y2 2 1 ) ? (y ? 1 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 展开,并将①代入得 2 2 4

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 所以线段 AB 是圆 C 的直径.
x1 ? x2 ? ?x ? 2 , y2 y2 ? 2 (Ⅱ)解法一:设圆 C 的圆心为 C ? x, y ? ,则 ? ? y12 ? 2 px1, y2 ? 2 px2 ( p ? 0) ,? x1 x2 ? 1 22 4p ? y ? y1 ? y2 , ? ? 2
36

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----37

2 y12 y2 又? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ? x1 x2 ? ? y1 y2 , ?? y1 y2 ? ;? x1 x2 ? 0, y1 y2 ? 0, ? y1 y2 ? ?4 p 2 ; 2 4p

?x ?

x1 ? x2 yy 1 2 1 2 1 2 2 ? ( y1 ? y2 ) ; ? ( y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 ; ? ( y 2 ? 2 p 2 ) ;所以圆心的轨迹方程为: 2 4p 4p 2p p

y 2 ? px ? 2 p2 ;设圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ,则
1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | 9 | ( y ? p) 2 ? p 2 | p ? ;当 y ? p 时, d 有最小值 ,由题设得 d? ? 5 5 5 5p |
?

9 2 5 ? ? p ? 2 ??14 分;解法二:设圆 C 的圆心为 C ? x, y ? ,则 5 5

x1 ? x2 ? ?x ? 2 y 2 y2 2 ? ?? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0) ? x1 x2 ? 1 2 , 又? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ? x1 x2 ? ? y1 y2 , ? ? 4p ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

? x1x2 ? 0,? y1 y2 ? ?4 p2 . ????9 分;? x ?
?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 2p

1 2 ( y ? 2 p 2 ) 所以圆心得轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p2 ????11 分??设直线 x ? 2 y ? m ? 0 与 x ? 2u ? 0 的距 p

离为

2 5 2 2 2 2 ,则 m ? ?2 ;因为 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 y ? px ? 2 p 无公共点.所以当 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 y ? px ? 2 p 5
? x ? 2 y ? 2 ? 0, 2 5 ;? ? 2 2 5 ? y ? px ? 2 p .

仅有一个公共点时,该点到 x ? 2 y ? 0 的距离最小,最小值为
2 2

将②代入③ y ? 2 py ? 2 p ? 2 p ? 0 ,有 p ? 2 ????14 分;解法三:设圆 C 的圆心为 C ? x, y ? ,则

x1 ? x2 x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ?x ? 2 , ? 2 若圆心 C 到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 d ,那么 d ? ; ? 5 ? y ? y1 ? y2 . ? ? 2

y12 y2 2 ,又 ? y ? 2 px1, y2 ? 2 px2 ? p ? 0? , ? x1 x2 ? 4 p2
2 1 2

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, ? x1 x2 ? ? y1 y2 , ? x1 x2 ? 0, ? y1 y2 ? ?4 p2 ;
1 ? y12 ? y22 ? ? ? y1 ? y2 ? 4p 5
y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p ? y1 ? y2 ? ? 8 p 2 4 5p
37

?d ?

?

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----38

? y ? y2 ? 2 p ? ? 1
4 5p

2

? 4 p2

当 y1 ? y2 ? 2 p 时, d 有最小值时

p p 2 5 ,由题设得 ? p ? 2. ? 5 5 5

高三数学第一轮总复习讲义 讲义 39 圆锥曲线的综合应用及其求解策略 有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有:①定点与定值问题;②最值问题;③求参数的取值范围问题; ④对称问题;⑤实际应用问题。 解答圆锥曲线的综合问题,应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的相关知识,将曲线的几何特征 转化为数量关系(如方程、不等式、函数等) ,再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与 不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用。 一、定点、定值问题: 这类问题通常有两种处理方法:①第一种方法:是从特殊入手,先求出定点(或定值) ,再证明这个点 (值)与变量无关;②第二种方法:是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值) 。 ★【例题 1】 (2007 年高考?湖南文科?19 题?13 分)已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的右焦点为 F ,过点 F 的动直 线与双曲线相交于 A、B 两点,又已知点 C 的坐标是 (1 0) . (II)若动点 M 满足 , (I)证明 CA ? CB 为常数;

??? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ,求点 M 的轨迹方程. CM ? CA ? CB ? CO (其中 O 为坐标原点)
0) ?解:由条件知 F (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .
(I)当 AB 与 x 轴垂直时,可求得点 A、B 的坐标分别为 (2,2) , (2, 2) ,此时则有 ?

??? ??? ? ? CA? ? (1 2) ? (1 ? 2) ? ?1. CB , ,
2 2 当 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 , 设 直 线 AB 的 方 程 是 y ? k( x? 2 ) (k ? ? 1 ) 代 入 x ? y ? 2 , 则 有 .

( 1? k 2 )x2 ? 4 2 x? ( 4 2 ? 2 ?.则 x1,x2 是上述方程的两个实根, k k ) 0
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 , x1 x2 ? 2 ,于是 k 2 ?1 k ?1

??? ??? ? ? CA? ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) CB
? (k ?1) x1x2 ? (2k ? 1)( x1 ? x2 ) ? 4k ?1 ?
2 2 2

(k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? 1) ? ? 4k 2 ? 1 2 2 k ?1 k ?1

? (?4k 2 ? 2) ? 4k 2 ? 1 ? ?1.
CB ∴ 综上所述, CA? 为常数 ?1 .
( II ) 设 M ( x,y) , 则 C M ? ( x 1 y) , CA ? ( x1 ?1 y1 ) , CB ? ( x2 ?1 y2 ) , CO ? (?1 0) , 由 ?, , , ,

??? ??? ? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? x ? 1 ? x1 ? x2 ? 3, ? x1 ? x2 ? x ? 2, ? x?2 y? C M ? C A C B C得: ? ? ? O 即? 于是 AB 的中点坐标为 ? ,?. ? 2 2? ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y

38

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----39

y y y ? y2 y 2 ( x1 ? x2 ) . 当 AB 不与 x 轴垂直时, 1 ,即 y1 ? y2 ? ? ? x?2 x1 ? x2 x ? 2 ? 2 x ? 2 2
2 2 2 2 又因为 A、B 两点在双曲线上,所以 x1 ? y1 ? 2 , x2 ? y2 ? 2 ,两式相减得

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ,即 ( x1 ? x2 )( x ? 2) ? ( y1 ? y2 ) y .
将 y1 ? y2 ?

y ( x1 ? x2 ) 代入上式,化简得 x2 ? y 2 ? 4 . x?2

当 AB 与 x 轴垂直时, x1 ? x2 ? 2 ,求得 M (2, ,也满足上述方程.所以点 M 的轨迹方程是 x2 ? y 2 ? 4 . 0) ▲ 点拨: 本题中 CA ? 为常数” “ 的证明, 采用特殊位置 “当 AB 与 x 轴垂直时” 可轻易得出 CA ? = CB CB -1;接下来再从一般情况“当 AB 不与 x 轴垂直时”去加以论证,有了明确的目标,推理计算就要容易得多了! ★【例题 2】已知 A,B 为椭圆

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)和双曲线 2 ? 2 ? 1 的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上 a2 b a b

→ → → → 不同于 A,B 的动点,且有AP+BP=?(AQ+BQ)(?∈R,|?|>1),设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求 证:k1+k2+k3+k4 为一个定值. → → → → ?解、点 A(-a,0);B(a,0);∵由AP+BP=?(AQ+BQ),依据向量加法的平行四边 x1 y1 形法则,则有 O、Q、P 三点共线;设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 2 - 2 =1, a b 则 x1 -a = 同样有 k3+k4=
2 2 2 2

a y1 y1 2x1y1 2b x1 2 + = 2 2 = 2? ; 2?y1 ;∴ k1+k2 = b x1+a x1-a x1 -a a y1 -2b x2 x1 x2 = ,∴ 所求的定值为 0。 2 ? ;由于 a y2 y1 y2
2

2

2

▲ 点拨:本题中的特殊位置难以确定,因而采用直接推理、计算;并逐渐化简,从而得到其定值为 0。 二、最值问题: 常见解法有两种:几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现某种几何特征及意义,或反 映出了某种圆锥曲线的定义,则直接利用图形的性质或圆锥曲线的定义来求解,这就是几何法;②将圆锥 曲线中的最值问题通过建立目标函数,转化为二次函数或三角函数的最值问题,再充分 利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。 ★【例题 3】 、?抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1,8),P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF| 最小 值是( ) A 6 B 9 C 12 D 16 ? 若将上题中点 A 的条件改为 A(3,1),其它不变,则应为____ ? 解析:?、由抛物线定义,可知当 A、P、H(如图 1)三点共 线时,|PA|+|PF|最小,其最小值为 9。 ?、如图可知,当 A、P、F 三点共线时(如图 2) ,|PA|+|PF|最小,其最小值为 3。 ▲ 点拨:本题的求解,主要是扣住了抛物线的定义,充分挖掘图形的特征,从而解决所求之问题。运用 几何法求解,解答过程简单、明了,但对综合运用图形的几何性质(或把握曲线定义的灵活运用)的能力要求 较高。

39

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----40

★【例题 4】 (2007 年安徽高考题)设 F 是抛物线 G : x2 ? 4 y 的焦点.设 A、B 为抛物线 G 上异于原点的两 点,且满足 FA?FB ? 0 ,延长 AF , BF 分别交抛物线 G 于点 C、D,求四边形 ABCD 面积的最小值. ?解:设 A( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) ;由题意知,直线 AC 的斜率 k 存在,由对称性,不妨设 k ? 0 . 因直线 AC 过焦点 F (0, ,所以直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 .点 A、C 的坐标满足方程组 ? 1)

??? ??? ? ?

? y ? kx ? 1,
2 ? x ? 4 y,

得 x ? 4kx ? 4 ? 0 ,由根与系数的关系知 ?
2

? x1 ? x2 ? 4k, 则有: ? x1 x2 ? ?4.

AC ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4(1 ? k 2 ) .
因 为 A C? B D 所 以 BD 的 斜 率 为 ? ,

1 1 , 从 而 BD 的 方 程 为 y ? ? x ? 1 . 同 理 可 求 得 k k

? ? 1 ?2 ? 4(1 ? k 2 ) 1 8(1 ? k 2 )2 1 BD ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 8(k 2 ? 2 ? 2 ) ≥ 32 .当 k ? 1 时, .∴ S ABCD ? AC BD ? 2 2 ? ? k? ? k 2 k k ? ?
等号成立.所以,四边形 ABCD 面积的最小值为 32 . ▲ 点拨:本题首先通过计算,建立好四边形 ABCD 面积的函数表达式,然后根据其函数特征,转化出 均值不等式的形式,再利用均值不等式求出其最小值。 ★【例题 5】(2007 年全国高考题?12 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. 、 (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使 PA , , 成等比数列,求 PO PB

??? ??? ? ? PA?PB 的取值范围.
?解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离,即 r ?

4 ? 2 ;得圆 O 的方程 1? 3

0) 0) 为 x2 ? y 2 ? 4 . (2)不妨设 A( x1,,B( x2,,x1 ? x2 .由 x ? 4 即得 A(?2,,B(2, . 0) 0)
2
2 2 2 2 2 2 设 P( x,y ) ,由 PA , , 成等比数列,得 ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? x ? y , PO PB

即 x ? y ? 2 . PA? ? (?2 ? x, y)? ? x, y) ? x ? 4 ? y ? 2( y ?1). 由于点 P 在圆 O 内,故 PB ? (2 ?
2 2 2 2 2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 0) 由此得 y ? 1 .所以 PA?PB 的取值范围为 [?2, . ? 2 2 ? x ? y ? 2. ?
▲ 点拨:本题同样是先通过计算,建立好“ PA?PB ”的函数表达式,然后依据“点 P 在圆 O 内” ,得 出相应的约束条件“ y ? 1 ” ,从而得出所求。
2

??? ??? ? ?

三、求参数的取值范围范围问题: 求参数的取值范围问题,常用的解决方法有两种:①、第一种是不等式(组)求解法?根据题意结合图 形列出所讨论的参数适合的不等式(组) ,通过解不等式(组)再得出参数的变化范围;②、第二种?是函数 的值域求解法:把所讨论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。
40

直线的的方程、两条直线的位置关系
2 2

54----41

★【例题 6】 、若圆 x +(y-1) = 1 上的任一点 P(x,y),有不等式 x+y+c≥0 恒成立,则 c 的取值范围是_____

? x ? cos ? ? ?解:可设 ? y ? sin ? ? 1 ;则有 cos?+sin?+1+c≥0 恒成立,即有 c≥ -(cos?+sin?+1)恒成立,
∴ c≥ 2 -1 为所求。 ▲ 点拔:本题通过圆的参数方程进行三角代换,将所求问题转化成求三角函数的最值的问题,从而简捷易解。 ★【例题 7】 (2007 年福建高考题?14 分)如图,已知 F (1 0) ,直线 l : x ? ?1 , , l y

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? P 为平面上的动点,过点 P 作 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 QP? ? FP?FQ . QF
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点, 交直线 l 于点 M . (1)已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求 ?1 ? ?2 的值; (2)求 MA ?MB 的最小值. ?解析: (Ⅰ)由 QP? QF ? FP?FQ 得: FQ? PQ ? PF ) ? 0 , (

F

????

??? ?

????

??? ?

?1 O

1

x

???? ????

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

??? ? ??? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? ?( PQ ? PF )? PQ ? PF ) ? 0 ,? PQ ? PF ? 0 ,? PQ ? PF . (
所以点 P 的轨迹 C 是抛物线,由题意,轨迹 C 的方程为: y 2 ? 4 x .

???? MA ?1 ???? ??? ???? ? ??? ? (Ⅱ)(1) 、 :由已知 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,得 ?1 ? 2 ? 0 .则: ???? ? ? ? MB ?2 ???? ???? MA AA1 过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A , B1 ,则有: ???? ? ???? ? 1 MB BB1 ??? ? ??? ? AF ? AF 由①、②得: ? 1 ??? ? ??? ,即 ?1 ? ?2 ? 0 . ? ? ?2 BF BF
Q (Ⅱ)(2) 、 :设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1(m ? 0) .

??? ? AF ??? .????① ? BF ??? ? AF ??? .????②; ? BF
y P B

? y 2 ? 4 x, 2? ? 设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,又 M ? ?1 ? ? ,联立方程组 ? , , m? ? ? x ? my ? 1,
消去 x 得: y ? 4my ? 4 ? 0 , ? ? (?4m) ? 12 ? 0 , ?
2 2

O A M

F

x

? y1 ? y2 ? 4m, ? y1 y2 ? ?4.

∴ MA ?MB ?

???? ????

?

1 ? m2

?

2

2 y1 ? yM y2 ? yM ? (1 ? m 2 ) y1 y2 ? yM ( y1 ? y2 ) ? yM

? 1 1 ? 4 ? 2 4 ? ? 4m ? 2 ? (1 ? m2 ) ? 4 ? 2 ? ? 4(2 ? m 2 ? 2 ) ≥ 4 ? 2 ? 2 m 2 ? 2 ? ? 16 . ? m m ? m ? m m ? ? ? ???? ???? 1 2 当且仅当 m ? 2 ,即 m ? ?1 时等号成立,所以 MA ?MB 最小值为 16 . m

? (1 ? m2 ) ?4 ?

▲ 点拨:本题中“求 ?1 ? ?2 的值” ,首先是建立好条件不等式组,再化简计算得出所求。
41

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----42

四、对称问题: 包括两种情形:①、中心对称问题:常利用中点坐标公式求解;②、轴对称问题:主要抓住以下两 个条件去处理-----?垂直,即已知点与对称点的连线与对称轴垂直;?中点,即连结已知点和对称点的线段 的中点在对称轴上。 ★【例题 7】 、(2004 年上海高考?文科 20 题?14 分)如图, 直线 y=

1 1 x 与抛物线 y= x2-4 交于 A、B 两点, 线 2 8

段 AB 的垂直平分线与直线 y=-5 交于 Q 点. (1) 求点 Q 的坐标;(2) 当 P 为抛物线上位于线段 AB 下方(含点 A、B) 的动点时, 求△OPQ 面积的最大值.

?解析:(1) 解方程组

? ? y= ? ? ? y= ? ?

1 x 2 1 2 x -4 8

得 ?

? x1 ? ?4 ? x2 ? 8 或者 ? ; ? y1 ? ?2 ? y2 ? 4

即 A(-4,-2),B(8,4), 从而 AB 的

中点为 M(2,1).

由 kAB==

1 1 ,直线 AB 的垂直平分线方程 y-1= (x-2). 2 2 1 2 x -4). 8
∵点 P 到直线 OQ 的距离;

令 y=-5, 得 x=5, ∴Q(5,-5) (2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x,

1 x ? x2 ? 4 1 8 x 2 ? 8 x ? 32 , ∴ d= = 8 2 2

OQ ? 5 2 ,∴SΔ OPQ=

1 5 OQ d = x 2 ? 8 x ? 32 . 2 16

∵P 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, ∴-4≤x<4 3 -4 或 4 3 -4<x≤8. ∵函数 y=x +8x-32 在区间[-4,8] 上单调递增, 32|=96; ∴当 x=8 时, Δ OPQ 的面积取到最大值
2

且当 x=-4 时,|x +8x-32|=48 当 x=8 时,|x +8x-

2

2

5 ? 96 ? 30 . 16

▲ 点拨:本题中“直线 AB 的垂直平分线方程”的求解,主要是抓住两个条件?垂直;?中点;从而完 y 成所求。 ★【例题 8】(2007 年湖北高考题?14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,过定点 、 B

C (0,p) 作直线与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 )相交于 A,B 两点.
2

C A O N x

(I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ ANB 面积的最小值; (II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定 值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

? ?解析: (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0, p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,
? x 2 ? 2 py, 2 2 AB 的方程为 y ? kx ? p ,与 x2 ? 2 py 联立得 ? 直线 消去 y 得 x ? 2 pkx ? 2 p ? 0 .由韦达定理 ? y ? kx ? p.
y 得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p2 .于是

1 S△ ABN ? S△ BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 ? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 2
? p 4 p 2 k 2 ? 8 p 2 ? 2 p 2 k 2 ? 2 ,∴ 当 k ? 0 时, (S△ABN )min ? 2 2 p2 . l
A

B

O?

C

O N
42

x

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----43

(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a , AC 的中点为 O? ,

?x y ? p? l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ? 1 , 1 ?. 2 ? ?2
∵ O?P ? 1 1 2 1 y ?p 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p ) 2 ? y12 ? p 2 , O?H ? a ? 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2 2 2 2
2 2

∴ PH ? O?P ? O?H ?
2

1 2 1 p? ? ( y1 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p) 2 ? ? a ? ? y1 ? a( p ? a) , 4 4 2? ?

p p ?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a( p ? a) ? .令 a ? ? 0 ,得 a ? ,此时 PQ ? p 为定值, 2 2 2? ?? ? p ,即抛物线的通径所在的直线. 2 ▲ 点拨:本题中“点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点” ,利用中点坐标公式,很快就得出点 N 的坐标了。
故满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? 五、实际应用问题: 此类问题要建立好平面直角坐标系,建立好数学模型,实现应用问题向数学问题的转化。 ★ 【例题 9】如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的 北偏东 30°方向 2 km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点 到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km。现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座 码头,向 B、C 两地转运货物。经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公路的费用 分别是 a 万元/km、2a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(2 7 -2)a 万元 C.(2 7 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 3 +3) a 万元

?解析:这是福建省 2004 年的一道高考题。 ① 、首先,建立如图所示的直角坐标系,则点 A(-2,0) ,B(2,0) , C(3, 3 ) ; ②、 PQ 曲线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支,其轨迹方程为:

y2 1 x ? ? 1 (x ? 0,其离心率为 e=2,准线方程为 x= ) 2 3
2

③、 考查修建这两条公路的总费用 y =|MB|?a+|MC|?2a=(|MB|+2?|MC|)?a,由于点 B 为曲线的焦点,则有 |MB| = e = 2,则|MB|=2?|MH|,从而有 y |MH| =(2?|MH|+2?|MC|)?a=(|MH|+|MC|)?2a,由图显然可知,当 H、M、C 三 1 点共线时,y 费用最少,最少费用为(3- )?2a = 5a 万元;所以本题选 2 (B) 。 ▲ 点拨:本题首先要建立好平面直角坐标系,再依据双曲线的第二定义去转化所求,从而得出答案。 总之,圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下: 16、 直线与圆锥曲线的位置关系: ⑤ 要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,通常把直线方程与圆锥曲线方程联立,消去 y(或消去 x)得 到关于 x(或关于 y)的一元二次方程,再考查其△,从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数: (1)若
43

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----44

△<0,则直线与圆锥曲线没有公共点;②若△=0,则直线与圆锥曲线有唯一的公共点;③若△>0,则直 线与圆锥曲线有两个不同的公共点; ⑥ 从几何角度来看:直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交(有两个交点) 、相切(有一个公共点) 、相离 (没有公共点)三种情况;这里特别要注意的是:当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的 对称轴平行时,属于相交的情况,但只有一个公共点。 17、 直线被圆锥曲线截得的弦长问题: ①直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,一般将直线方程 L:y=kx+m 代入曲线方程整理后得 1 2 2 到关于 x 的一元二次方程?则应用弦长公式:|AB|= (1 ? k ) [( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ] ;或将直线方程 L:x= y +t k 代入曲线方程整理后得到关于 y 的一元二次方程?则应用弦长公式:|AB|= (1 ? ②过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷; 2b ⑦ 垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双曲线的通径长都为 ,而抛物 a 线的通径长为 2p; 2p 2 ⑧ 对于抛物线 y =2px (p>0)而言, 还有如下的焦点弦长公式, 有时用起来很方便: |AB|=x1+x2+p; |AB|= 2 sin ? (其中?为过焦点的直线 AB 的倾斜角) 18、 直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种: ①设直线方程为 y=kx+m,代入到圆锥曲线方程之中,消元后得到一元二次方程,再利用根与系数的 关系去处理(由于直线方程与圆锥曲线方程均未定,因而通常计算量较大) ;
2

1 ) [( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ] ; k2

x2 y 2 ②利用点差法:例如在椭圆 2 ? 2 ? 1 内有一定点 P(x0,y0),求以 P 为中点的弦的直线方程时,可设弦的两 a b

? x12 y12 ? a 2 ? b2 ? 1 (x1+x2) (x1-x2) ? 端点为 A(x1,y1)、B(x2,y2) ,则 A、B 满足椭圆方程,即有 ? 两式相减再整理可得: 2 2 a2 ? x2 ? y2 ? 1 ? a 2 b2 ?
=x0 -b (y1+y2) (y1-y2) y1-y2 (x1+x2) -b ;从而可化出 k= = ? = ? 2; b2 x1-x2 (y1+y2) a2 y0 a
2 2 2 2

y1-y2 (x1+x2) b x0 b 对于双曲线也可求得:k= = ? = ? ;抛物线也可用此法去求解,值得注意的是,求出直线 x1-x2 (y1+y2) a2 y0 a2 方程之后,要根据图形加以检验。 19、 解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是: ①解决焦点弦(过圆锥曲线的焦点的弦)的长的有关问题,注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式; ②已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时,通常利用待定系数法; ③圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题, 解决此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称 直线垂直,则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上,再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。 ★【2002 年春季高考 22 题】已知某椭圆的焦点是 F1(–4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭 圆的一个交点为 B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1)、C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等 差数列. (Ⅰ) 求该椭圆方程; (Ⅱ) 求弦 AC 中点的横坐标; (Ⅲ) 设弦 AC 的垂直平分线的方程为 y=kx+m, x2 y2 16 求 m 的取值范围. (解析: (Ⅰ) + =1; (Ⅱ)x0=4; (Ⅲ)–16<m< ; ) 25 9 5 ★ 【2004 年福建文科 12 题】如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2km, 现要在曲线 PQ 上任意选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运货物,经测算,从 M 到 B、C 两地修建公路的费
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直线的的方程、两条直线的位置关系

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用都是 a 万元/km、那么修建这两条公路的总费用最低是( B ) A.( 7 +1)a 万元 B.(2 7 -2) a 万元 C.2 7 a 万元 D.( 7 -1) a 万元

2 解:∵ PQ 曲线是以 A、B 为焦点的双曲线的右支,其轨迹方程为: x ?

y2 ? 1( x ? 0) ,其离心率为 e=2,准 3

1 线方程为 x= ; 考查修建这两条公路的总费用 y =|MB|? a+|MC|?a=(|MB|+|MC|)?a, 依据双曲线的第一定义, 2 则有 y =(|MA|-2 +|MC|)?a,由图显然可知,当 A、M、C 三点共线时,y 费用最少,最少费用为(2 7 -2) a 万元;所以本题选(B) 。 ★【2007 年陕西文科 22 题】已知椭圆 C:

x2 y2 6 ,短轴一个端点到右焦点的距离 ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 2 3 a b

为 3 .(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的距离为 AOB 面积的最大值

3 ,求△ 2

?c 6 , x2 ? ? 2 .解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为 ? y ? 1. 3 ? a ? 3, ?
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .由已知

m 1? k 2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) .把 y ? kx ? m 代入椭圆方程, 4 2 ?6km , 3k 2 ? 1

整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,? x1 ? x2 ?

? 36k 2 m2 12(m2 ? 1) ? 3(m 2 ? 1) 2 ? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 ) ? 2 x1 x2 ? . ? 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
? 12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2?3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
2

? 3?

当且仅当 9k ?

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

综上所述 AB max ? 2 .? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ?

1 3 3 ? AB max ? ? 2 2 2

高三数学第一轮总复习讲义讲义 40 平面向量在解析几何中的应用与求解策略 (一) 、利用向量,可以很方便地解决有关平行、垂直、距离等相关问题,其基本理论是:

45

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----46

→ b ①、直线的方向向量:直线 L 的方向向量为 m =(a,b),则该直线的斜率为 k= a → → → → ②、利用向量处理平行问题:对非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2), a ∥ b 的充要条件是:有且仅有一个实数?, → → ? ? ? 使得 a = ? b ;亦即 a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是?x1y2-x2y1=0; → → → → → → ③、利用向量求角:设 a =(x1,y1), b =(x2,y2), 则两向量 a 、 b 的夹角:cos? = cos< a , b > = x1x2+y1y2 x +y1 ? x2 +y2
2 1 2 2 2

→ → a?b = → → | a || b

→ → ? 其特殊情况即为垂直问题:对非零向量 a =(x1,y1), b

→ → → → =(x2,y2), a ⊥ b 的充要条件是 a ? b =0?x1x2- y1y2=0; → → ④、利用向量求距离:设 a =(x,y),则有| a |= →2 2 2 a = x +y ;若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则

→ 2 2 |AB|= ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) (二) 、典例分析: ★ 【题 1】点 P -3,1) 、 ( 在椭圆

→ x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左准线上.过点 P 且方向为 a =(2,-5) 2 a b

的光线,经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为:( ) (A)

3 3

(B)

1 3

(C)

2 2

(D)

1 2
2 2

→ 5 5 ●[解析]:如图,过点 P(-3,1)的方向向量 a =(2,-5);所以 K PQ ? ? , 则l PQ ; y ? 1 ? ? ( x ? 3) ;即

?5 x ? 2 y ? ?13 5 9 得Q(? ,?2) , 由光线反射的对称性知: K QF1 ? LPQ ;5x ? 2 y ? ?13 ;联立: ? 2 5 ? y ? ?2
所 以 LQF 1 ; y ? 2 ?

5 9 ( x ? ) , 即 LQF 1 : 5x ? 2 y ? 5 ? 0 ; 令 y=0, 得 F1 ( -1 , 0 ) ; 综 上 所 述 得 : c=1 , 2 5

a2 c 1 3 ? 3, 则a ? 3 ;所以椭圆的离心率 e ? ? ? . 故选 A。 c a 3 3
▲ 点 拨 : 本 题 中 光 线 所 处 直 线 的 方 向 向 量 是 a =(2,-5) , 则 立 即 有 直 线 的 斜 率 为



5 5 K PQ ? ? , 从而有lPQ 方程为 : y ? 1 ? ? ( x ? 3) 。 2 2

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左准线的距离为 10, F 是该椭圆的 25 16 ???? 1 ??? ??? ? ? ? ???? ? 左焦点,若点 M 满足 OM ? (OP ? OF ) ,则 | OM |? . 2
★【题 2】设椭圆 ●解:依据椭圆的第二定义则有:|PF|=6,再由第一定义则|PF′ |=4;由于

???? 1 ??? ??? ? ? ? OM ? (OP ? OF ) ,由向量加法的平行四边形法则,则点 M 处于 PF 的中点处,故由中位线定理可知 2
46

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----47

???? ? | OM |? 2。
▲点拨:本题中的向量条件 OM ? PF 的中点位置。 ★【例题 3】已知 A,B 为椭圆

???? ?

? ? 1 ??? ??? (OP ? OF ) ,抓住向量加法的平行四边形法则,从而转化得出点 M 处于 2

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)和双曲线 2 ? 2 ? 1 的公共顶点,P,Q 分别为双曲线和椭圆上 a2 b a b

→ → → → 不同于 A,B 的动点,且有AP+BP=?(AQ+BQ)(?∈R,|?|>1),设 AP,BP,AQ,BQ 斜率分别为 k1,k2,k3,k4,求 证:k1+k2+k3+k4 为一个定值. → → → → ●解、点 A(-a,0);B(a,0);∵由AP+BP=?(AQ+BQ),依据向量加法的平行四边 x1 y1 形法则,则有 O、Q、P 三点共线;设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 2 - 2 =1, a b 则 x1 -a = 同样有 k3+k4=
2 2 2 2

a y1 y1 2x1y1 2b x1 2 + = 2 2 = 2? ; 2?y1 ;∴ k1+k2 = b x1+a x1-a x1 -a a y1 -2b x2 x1 x2 = ,∴ 所求的定值为 0。 2 ? ;由于 a y2 y1 y2
2

2

2

→ → → → ▲ 点拨:本题中的向量条件:AP+BP=?(AQ+BQ),通过向量加法的平行四边形法则,从而转化得出了 O、Q、P 三 点共线;然后再继续进行推理、求解,从而得出结论。 ★【例题 4】(2007 年全国高考?理科Ⅱ?12 题).设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A,B,C 为该抛物线上三 点,若 FA ? FB ? FC ? 0 ,则 FA ? FB ? FC ? ( A.9 B.6 C.4

??? ??? ??? ? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

) D.3

●解:抛物线的焦点 F(1,0)设 A、B、C 三点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、( x2 , y2 ) 、

( x3 , y3 ) ;则有FA= ( x1 ?1, y1 ) ,FB= ( x2 ? 1, y2 ) ,FC= ( x3 ? 1, y3 ) , ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ∵ FA ? FB ? FC ? 0 ;∴ x1 ? 1 + x2 ? 1 + x3 ? 1 =0;∴x1+x2+x3=3,又由抛物线的定义可知 FA ? FB ? FC ?
x1+1+x2+1+x3+1=6,从而选(B)。 ▲点拨:本题中,向量条件 FA ? FB ? FC ? 0 ;利用向量的坐标运算规律进行转化后可得 x1+x2+x3=3,再由于 所求均为焦半径,从而利用抛物线的定义马上可得到所求之答案为(B) 。 ★【例题 5】(2004 年全国高考)给定抛物线 C: y ? 4 x, F 是 C 的焦点,过点 F 、
2







??? ??? ??? ? ? ?

的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点.(Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求 OA与OB 夹角的大小; (Ⅱ)设 FB ? ? AF, 若? ?[4,9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围. ●解: (Ⅰ)C 的焦点为 F(1,0) ,直线 L 的斜率为 1,所以 L 的方程为 y ? x ? 1.
2 将 y ? x ? 1 代入方程 y ? 4x ,并整理得 x ? 6 x ? 1 ? 0. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则有 x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1.
2

47

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----48

OA? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ?3.
| OA || OB |?
2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y 2 ?

x1 x 2 [ x1 x 2 ? 4( x1 ? x 2 ) ? 16] ? 41.

cos(OA, OB) ?

3 14 OA ? OB 3 14 . ?? . 所以 OA与OB 夹角的大小为 ? ? arccos 41 | OA || OB | 41
? x 2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ), ??① ? y 2 ? ??y1.

(Ⅱ)由题设 FB ? ? AF 得 ( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ), 即 ?

又由于点 F 为抛物线的焦点,则有 | FB | ? ? | AF | 依据抛物线的定义有:x2+1=?(x1+1)??②;联立方程①和 1 1 2 ? ;则点 A( ,± )[或求得点 B(?, ?2 ? ? ? ,则可得直线 L 的方程为: ? ), ];又 F(1,0)

????? ?

???? ?

②可求得 x1=

(? ? 1) y ? 2 ? ( x ? 1)或(? ? 1) y ? ?2 ? ( x ? 1), ∴当 ? ? [4,9] 时,l 在方程 y 轴上的截距为
2 ? 2 ? 或? , ? ?1 ? ?1


2 ? 2 ? 2 ? ? , ? ?1 ? ?1 ? ?1

可知

3 2 ? 4 4 2 ? 3 2 ? 在[4,9]上是递减的,∴ ? ? ,? ? ? ? ? , 直线 L 4 ? ?1 3 3 ? ?1 4 ? ?1

在 y 轴上截距的变化范围为 [?

4 3 3 4 ,? ] ? [ , ]. 3 4 4 3

▲点拔:本题主要是将向量相等的条件 FB ? ? AF ,转化为向量坐标关系等式:( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ), 即?

? x 2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ), 然后可以此去求出交点 A 的坐标数值,再往下进行转化推理,从而使问题得以解决。 ? y 2 ? ??y1.

★【例题 6】 (2007 年湖南高考理科 20 题)已知双曲线 x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点分别为 F , F2 ,过点 F2 的 1 动直线与双曲线相交于 A,B 两点. (I)若动点 M 满足 F M ? F A ? F B ? FO (其中 O 为坐标原点) ,求点 1 1 1 1

?????

???? ???? ????

??? ??? ? ? M 的轨迹方程; (II)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CA ?CB 为常数?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,
请说明理由. ●解:由条件知 F1 (?2, , F2 (2, ,设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . 0) 0) ( I ) 设 M ( x,y) , 则 F M ? ( x 2 y , F A ? ( x1 ? 2,y1 ) , F B ? ( x2 ? 2,y2 ), ? (2, , 由 ? , ) FO 0) 1 1 1 1

?????

????

????

????

? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? x?? 2 ? x1 ? x2 ? 6, ? x1 ? x2 ? x ? 4, ? ?? 得? 即? 当 AB 不与 x 轴垂直时,设直线 AB 的方 F1 M ? F A F B 1F O 1 ? 1 ? y ? y1 ? y2 ? y1 ? y2 ? y ?
2 2 2 2 2 2 程是 y ? k ( x ? 2)(k ? ?1) .代入 x ? y ? 2 有 (1 ? k ) x ? 4k x ? (4k ? 2) ? 0 .则 x1,x2 是上述方程的两

48

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----49

个 实 根 , 所 以 x1 ? x2 ?

? 4k 2 ? 4k 2 4k . y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? k ? . ? 4? ? 2 2 k ?1 k ?1 ? k ?1 ?

由①②③得

x?4 ?

4k 4k 2 x?4 .?④; y ? 2 .?⑤;当 k ? 0 时, y ? 0 ,由④⑤得, ? k ,将其代入⑤有 2 k ?1 k ?1 y

x?4 4 y ( x ? 4) y y? ? .整理得 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 .当 k ? 0 时,点 M 的坐标为 (4, ,满足上述方 0) 2 2 2 ( x ? 4) ( x ? 4) ? y ?1 y2 4?
程 . 当 AB 与 x 轴 垂 直 时 , x1 ? x2 ? 2 , 求 得 M ( 8 0 ), 也 满 足 上 述 方 程 . 故 点 M 的 轨 迹 方 程 是 ,

( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 .
0) 使 AC (II) 假设在 x 轴上存在定点点 C (m, , C B ?

?? ?? ?

为常数, AB 不与 x 轴垂直时, (I) x1 ? x2 ? 当 由 有

4k 2 ? 1, k2

x1 x2 ?

4k 2 ? 2 .于是 k 2 ?1

??? ??? ? ? CA? ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? (k 2 ?1) x1x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? m2 CB
? (k 2 ? 1)(4k 2 ? 2) 4k 2 (2k 2 ? m) 2(1 ? 2m)k 2 ? 2 4 ? 4m ? ? 4k 2 ? m 2 ? ? m2 ? 2(1 ? 2m) ? 2 ? m2 . 2 2 2 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

因为 CA? 是与 k 无关的常数,所以 4 ? 4m ? 0 ,即 m ? 1 ,此时 CA? = ?1 . CB CB 当 AB 与 x 轴垂直时,点 A,B 的坐标可分别设为 (2,2) ,(2, 2) , 此时 CA? ? (1 2)? , 2) ? ?1. CB , (1 ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

, 故在 x 轴上存在定点 C (1 0) ,使 CA? 为常数. CB
▲点拨:本题中的向量条件的转化,关键是利用向量坐标的运算规律去加以运用与转化! ★【例题 7】设过点 P( x, y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A, B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴 对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA 且 OQ?AB ? 1 ,则点 P 的轨迹方程是 ( ) A. 3 x ?
2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ?
2

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

B. 3 x ? D.

3 2 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

C.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

3 2 x ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2

● 解 : 设 P ( x , y ) 则 Q ( - x , y ) 又 设 A ( a , 0 ) B ( 0 , b ) 则 a?0 , b?0 , 于 是 , , , ,

??? ??? ? ? ??? ? ???? ???? 3 BP =( , - ), P A - ,- ) y BP=2PA 可得 a= x,b=3y,所以 x?0,y?0 又 AB =(-a, x y b =( a x ,由 2 ???? ??? ? 3 3 2 2 b)=(- x,3y) ,由 OQ ? AB =1 可得 x ? 3 y ? 1( x ? 0, y ? 0) 故选 D 2 2
▲点拨:本题中的向量条件的转化,关键也是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化!

49

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----50

★【例题 8】已知两点 M(-2,0) 、N(2,0) ,点 P 为坐标平面内的动点,满足 | MN | ? | MP | ?MN ? NP 0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为( (A) y 2 ? 8 x (B) y 2 ? ?8x ) (C) y 2 ? 4 x (D) y 2 ? ?4 x

???? ?

????

???? ??? ? ?



●解答、设 P( x, y) , x ? 0, y ? 0 , M (?2,0), N (2,0) , MN ? 4 ;则 MP ? ( x ? 2, y), NP ? ( x ? 2, y)
2 2 由 MN ? MP ? MN ? NP ? 0 ,则 4 ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 2) ? 0 ,化简整理得 y 2 ? ?8x 所以选 B

???? ?

????

??? ?

▲点拨:本题中的向量条件的转化,关键还是利用向量坐标运算规律去加以运用与转化! ★【例题 9】已知点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 满足条件|PM |-|PN |= 2 2 ,记动点 P 的轨 迹为 W. (Ⅰ)求 W 的方程; (Ⅱ)若 A,B 是 W 上的不同两点,O 是坐标原点,求 OA ? OB 的最小值. ●解: (Ⅰ)由|PM|-|PN|= 2 2 知动点 P 的轨迹是以 M , N 为焦点的双曲线的右支,实 半轴长 a ?

??? ?

??? ?

2 ;又半焦距 c=2,故虚半轴长 b ? c2 ? a2 ? 2 ;所以 W 的方程为

x2 y 2 ? ?1, x ? 2 2 2

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ;当 AB⊥x 轴时, x1 ? x2 , 从而 y1 ? ? y2 , 从而

??? ??? ? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x12 ? y12 ? 2. 当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,与 W 的
方程联立,消去 y 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ? 2 ? 0. 故 x1 ? x2 ?

2km , 1? k 2

x1 x2 ?

m2 ? 2 , 所以 k 2 ?1

? ? ?? ? ? ?? O A? O B 1 x2 x? ?
?

1

) m y ?yx1 x2 ?( k x ? m( k2x? ) 1 2
?

? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

(1 ? k 2 )(m2 ? 2) 2k 2 m2 ? ? m2 k 2 ?1 1? k 2

4 2k 2 ? 2 ? 2? 2 .又因为 x1 x2 ? 0 ,所以 2 k ?1 k ?1

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? k 2 ? 1 ? 0 ,从而 OA ? OB ? 2. 综上,当 AB⊥ x 轴时, OA ? OB 取得最小值 2.
▲点拨:向量条件 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 在综合题中的转化是经常要用到的,它实质是向量坐标运算规律 的应用与转化。 ★【例题 10】(2006 年辽宁卷)已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上的两个动 .
2

??? ??? ? ?

? 点 , O 是 坐 标 原 点 , 向 量 OA , OB 满 足 O A

??? ?

??? ?

? ? ??

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O ? B O A . 设 B C 的 方 程 为 ? O 圆

x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0
(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;(II)当圆 C 的圆心到直线 x-2y=0 的距离的最小值为时,求 P 的值。 ●【解析】(I) ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB) ? (OA ? OB) ;整理得:
2 2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ???? ???? OA ? OB ? 0 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ;设 M(x,y)是以线段 AB 为直径的圆上的任意一点,则 MA ? MB ? 0
50

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----51

即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ;整理得: x2 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直径

x1 ? x2 ? ?x ? 2 y 2 y2 2 ? (II)解:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则 ? ;? y12 ? 2 px1, y22 ? 2 px2 ( p ? 0) ? x1 x2 ? 1 2 4p ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ?

y12 y2 2 ;? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0 ? y1 ? y2 ? ?4 p2 4 p2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 ? ( y 2 ? 2 p 2 ) ; 所 以 圆 心 的 轨 迹 方 程 为 2 4p 4p 4p p

y 2 ? px ? 2 p2 ;设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | | ( y ? p)2 ? p 2 | p d? ? ? ? 5 5 5p 5p |
当 y=p 时,d 有最小值

p p 2 5 ,由题设得 ?p ? 2. ? 5 5 5

▲点拨:本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程、点到直线的距离公式等基础知识,以及 综合运用解析几何知识解决问题的能力。 ★【例题 11】(2006 年天津卷)如图,以椭圆 .

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的中心 O 为 a2 b2

圆心, 分别以 a 和 b 为半径作大圆和小圆。 过椭圆右焦点 F ?c,0??c ? b? 作垂直于 x 轴 的直线交大圆于第一象限内的点 A .连结 OA 交小圆于点 B .设直线 BF 是小圆的
2 切线. (1)证明 c ? ab ,并求直线 BF 与 y 轴的交点 M 的坐标;

1 2 b . 2 OF OB c b 2 ? ● 证明: (Ⅰ) 由题设条件知,Rt ? OFA ∽ Rt ? OBF 故 , 即 ? ; 因此,c ? ab ; Rt ? 在 OFA , OA OF a c
(2)设直线 BF 交椭圆于 P 、 Q 两点,证明 OP ? OQ ?

??? ???? ?

FA ? OA2 ? OF 2 ? a2 ? c2 ? b. 因此, c2 ? ab. 在 Rt ? OFA 中 , FA OA2 ? OF 2 ? a2 ? c2 ? b . =
于是,直线 OA 的斜率 k oa ?

b 1 c .设直线 BF 的斜率为 k ,则 k ? ? ? ? .这时,直线 BF 与 y 轴的交点为 c koa b

M (0, a) ;
(Ⅱ)由(Ⅰ) ,得直线 BF 得方程为 y ? kx ? a, 且 k ?
2

c 2 ab a ? ? b2 b2 b



51

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----52

由已知,设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) ,则它们的坐标建立方程组

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ③;由方程组③消去 y ,并整理得 (b2 ? a2 k 2 ) x2 ? 2a3kx ? a4 ? a2b2 ? 0 ?a b ? y ? kx ? a ?
由 式 ① 、 ② 和 ④ ; x1 x2 ?

a 4 ? a 2b 2 a 2 ( a 2 ? b 2 ) a 3b 2 ? ? 3 3 ;由方程组③消去 x ,并整理得 a b2 ? a 2k 2 a ?b b2 ? a 2 ? b

(b2 ? a2k 2 ) y 2 ? 2ab2 y ? a2b2 ? a2b2k 2 ? 0 ⑤
a a 2b2 (1 ? ) 2 2 a 2b2 (1 ? k 2 ) b ? a b (b ? a) 由式②和⑤, y1 y2 ? 2 ? a b ? a2k 2 b3 ? a 3 b2 ? a 2 ? b
综上,得到 OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ?

??? ???? ?

a3b2 a 2b2 (b ? a) a 2b3 ? ? 3 3 a 3 ? b3 a 3 ? b3 a ?b

2 2 2 2 2 2 注意到 a ? ab ? b ? a ? c ? b ? 2b ,得

??? ???? ? a 2 b3 a 2 b3 a 2b ac2 a (a 2 ? b 2 ) 1 2 1 1 OP ? OQ ? 3 3 ? ? ? ? ? (a ? ab) ? (a 2 ? c 2 ) ? b 2 2 2 2 a ?b (a ? b) ? 2b 2(a ? b) 2(a ? b) 2(a ? b) 2
▲点拨:本小题主要考查椭圆的标准方程的几何性质、直线方程。平面向量、曲线和方程的关系等解析几 何的基础知识和基本思想方法,考查推理及运算能力. ★【例题 12】 (2005 年湖南理 19 题?14 分)已知椭圆 C:

x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的左.右焦点为 F1、F2, a2 b

离心率为 e. 直线 l:y=ex+a 与 x 轴.y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是 点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM =λ AB . (Ⅰ)证明:λ =1-e2; (Ⅱ)确定λ 的值,使得△

PF1F2 是等腰三角形. ●解:①、因为 A、B 分别是直线 l: y ? ex ? a 与 x 轴、 y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分别是

? y ? ex ? a, ? x ? ?c, a ? 2 ? 2 2 2 (? ,0), (0, a). ? x 由 得? y b 2 这里c ? a ? b . e ? 2 ? 2 ? 1, ? y ? . c b ? ?a
a ?a ?e ? c ? ? e a b a ? AM ? ? AB得(?c ? , ) ? ? ( , a).即 ? 2 e a e ? b ? ?a ?a ?
2

所以点 M 的坐标是 ? c, (

b2 ) . a



解得? ? 1 ? e 2

(Ⅱ) :因为 PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1 为钝角,要使△PF1F2 为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|, 即

1 | PF1 |? c. 2

设点 F1 到 l 的距离为 d,由

1 | e(?c) ? 0 ? a | | a ? ec | | PF1 |? d ? ? ? c, 2 1 ? e2 1 ? e2

52

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----53



1 ? e2 1 ? e2

? e.

2 所以 e ?

1 2 , 于是 ? ? 1 ? e 2 ? . 3 3

即当 ? ?

2 时, △PF1F2 为等腰三角形. 3

???? ? ??? ? a b2 a 得(?c ? , ) ? ? ( , a) ,从而便于下面的计算 ▲ 点拨:由向量条件: AM ? ? AB. 利用坐标运算性质可 e a e
与推理。 总之,平面向量在解析几何中的应用非常广泛,通常涉及长度、角度、平行、垂直、共线、共点等问题的处 理,其目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算。 ★【例题 13】(2006 年安徽卷)如图,F 为双曲线 C: .

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点。P 为双曲线 C 右 a 2 b2

支上一点,且位于 x 轴上方,M 为左准线上一点, O 为坐标原点。已知四边形 OFPM 为平行四边形,

PF ? ? OF 。
(Ⅰ)写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式; (Ⅱ)当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且品行于 OP 的直线交双曲线于 A、B 点,若 AB ? 12 ,求此时的双曲线方程。

H ●解: ∵四边形 OFPM 是 ? , | O || ? | c ? , ∴ F P 作双曲线的右准线交 PM 于 H, | P || ? | 2 ? 则 M P M

a2 , c

| PF | ? | OF | ?c ?c 2 ?e2 2 又e ? , e ? ?e ? 2 ? 0 。 ? ? ? 2 ? 2 2 2 2 a a | PH | c ? 2a e ?2 c?2 c?2 c c x2 y2 2 2 (Ⅱ)当 ? ? 1 时, e ? 2 , c ? 2a , b ? 3a ,双曲线为 2 ? 2 ? 1 四边形 OFPM 是菱形,所以直 4a 3a 2 2 线 OP 的斜率为 3 ,则直线 AB 的方程为 y ? 3( x ? 2a) ,代入到双曲线方程得: 9 x ? 48ax ? 60a ? 0 ,
又 AB ? 12 ,由 AB ? 1 ? k
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 得:12 ? 2 (

9 48a 2 60a 2 2 ,解得 a ? ,则 ) ?4 4 9 9

b2 ?

x2 y 2 27 ? ? 1 为所求。 ,所以 4 9 27 4

π 2 ★【题 14】 、过直角坐标平面 xoy 中的抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与 4 抛物线相交于 A,B 两点。 (1)用 P 表示 A,B 之间的距离; (2)证明:∠AOB 的大小是与 P 无关 的定值,并求出这个值。 π p ●解: (1)焦点 F(1,0) ,过抛物线的焦点且倾斜角为 的直线方程是 y = x - ; 4 2

? y 2 ? 2 px ? ? p p2 y ? x? ? x 2 ? 3 px ? ?0 ? 2 4 设点 A( xA , yA ), B( xB , yB ) 则有: ?

? x A ? xB ? 3 p ? 则有 ? p2 x A xB ? ? ? 4

?由抛物线定义可知 AB ? x A ? xB ? p ? 4 p
(2)由于 cos∠AOB = → → OA?OB → → |OA|?|OB|
53

直线的的方程、两条直线的位置关系

54----54

=

? xA2 ? y A2 ?? xB 2 ? yB 2 ?

x A xB ? y A y B

?

p p2 ? x A ? xB ? ? 3 41 2 4 ?? 41 x A xB ? x A xB ? 2 p ? x A ? x B ? ? 4 p 2 ? ? ? 2 x A xB ?
3 41 41

∴ ?AOB 的大小是与 p 关的定值,即 ?AOB =π -arccos

●说明:本题中,将∠AOB 的大小为定值问题,通过证明 cos∠AOB 为定值去完成,而要证明 cos∠AOB 为定值,则 又由向量的相关理论去完成,从而使计算简便.

54


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