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数列小题专练作业含答案


小题专练· 作业(十九)
一、选择题 1.(2014· 江南十校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a6 =6+a7,则 S9 的值是( A.27 C.45 答案 D 9×?a1+a9? =9a5=54, 2 ) B.36 D.54

解析 由 2a6=6+a7, 得 a5=6, 所以 S9= 故选 D.

2.(2014· 北京海淀期中)已知数列{an}的通项公式为 an=2n(3n- 13),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值是( A.S3 C.S5 答案 解析 B 观察 an=2n(3n-13)可知,随 n 的增大,an=2n(3n-13) B.S4 D.S6 )

由负数增大为正数,其中,a1,a2,a3,a4 为负数,a5 开始以后各项 均为正数,所以数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值是 S4,故选 B. 3.(2014· 贵州遵义)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn(n=1,2,3,…), 若当首项 a1 和公差 d 变化时, a5+a8+a11 是一个定值, 则下列选项中 为定值的是( A.S17 C.S15 答案 C ) B.S18 D.S14

解析 由 a5+a8+a11=3a8 是定值,可知 a8 是定值,所以 S15=

15?a1+a15? =15a8 是定值. 2 4.(2014· 南昌调研)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm+3
2 -Sm+2=8(Sm-Sm-1)(m>1,m∈N),且 a6+4a1=S2 ,则 a1=(

)

1 A.6 C.4 答案 C

1 B.4 D.2

解析 由 8(Sm-Sm-1)=Sm+3-Sm+2, 得 8am=am+3.设等比数列{an} am+3 a1?1-2?2 2 5 的公比为 q,则 q = a =8,所以 q=2.又[ ] = a 2 +4a1, 1· 2 m
3

解得 a1=4. 5.(2014· 安徽重点中学 4 月联考)已知等差数列{an}的通项公式 为 an=51-3n,设 Tn=|an+an+1+…+an+14|(n∈N*),则当 Tn 取得最 小值时,n 的值是( A.10 C.15 答案 A ) B.12 D.17

15?an+an+14? 解析 由等差数列的性质,可知 Tn=| |=15|an+7|≥0. 2 因为 an=51-3n,所以 a17=0,故当 n+7=17,即 n=10 时,Tn 取 得最小值 0. 6.(2014· 上饶市质检Ⅱ)已知数列{an}是等差数列,Sn 为其前 n → =a OB → +a OC → ,则 S 项和,若平面上的三点 A,B,C 共线,且OA 4 97 100 =( ) A.100 C.50 B.101 D.51

答案

C

→ =a OB → +a OC →, 解析 因为平面上的三点 A,B,C 共线,且OA 4 97 100 100 所以 a4+a97=1.又数列{an}是等差数列, 所以 S100= 2 (a1+a100)= 2 (a4+a97)=50.故选 C. 7.(2014· 南昌质检Ⅱ)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a2 014=S2 014=2 014,则数列{an}的公差为( 1 A.-2 C.2 答案 C 1 B.2 D.-2 )

2 014?a1+a2 014? 解析 在等差数列{an}中,S2 014= =2 014,所以 2 a1+a2 014=2.又 a2 014=2 014, 所以 a1=2-a2 014=2-2 014=-2 012, a2 014-a1 2 014-?2 012? 所以公差 d= 2 013 = =2. 2 013 8.(2014· 安徽安庆二模)已知 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,若对 任意的 n∈N*满足 an+1=an+a2,且 a3=2,则 S2 014=( A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013 D.1 007×2 014 答案 C )

解析 在 an+1=an+a2 中,令 n=1,得 a2=a1+a2,a1=0;令 n =2,得 a3=2a2=2,a2=1,所以 an+1-an=1,所以数列{an}的首项 2 014×2 013 是 0, 公差是 1 的等差数列, 所以 S2 014= =1 007×2 013. 2 9.(2014· 辽宁铁岭一中期中)各项都是正数的等比数列{an}中, a4+a5 1 a2,2a3,a1 成等差数列,则 的值为( a3+a4 )

A.

5-1 2

B. D.

5+1 2 5-1 5+1 或 2 2

1- 5 C. 2 答案 B

解析 ∵a3=a2+a1,∴q2=q+1,∵q>0, ∴q= 1+ 5 a4+a5 1+ 5 ,∴ = q = 2 2 .故选 B. a3+a4

1 10.(2014· 山东菏泽 4 月)数列{an}的通项公式为 an= ,其 n?n+1? 9 前 n 项和为10,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0 在 y 轴上的截距为( A.-10 C.10 答案 B ) B.-9 D.9

1 1 1 解析 ∵an= =n- , n?n+1? n+1 1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=(1-2)+(2-3)+…+(n- )=1- = . n+1 n+1 n+1 由 n 9 =10,得 n=9. n+1

∴直线方程为 10x+y+9=0,其在 y 轴上的截距为-9. 11.(2014· 武汉调研)若 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等 比数列,则二项式(ax- A.-96 B.96 C.-48 D.48 答案 B b 3 ) 的展开式中的常数项为( x )

解析 (2x-

? ? ?2b=a+?a+b?, ?a=2, ? 由已知,得 2 解得? 则二项式为 ?b =a×ab, ? ? ?b=4,

4 3 4 ) 其展开式中的常数项为 C2 (- )2=96,故选 B. 3(2x)· x x

12. (2014· 合肥四校联考)已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的焦点为 F, A,B 是抛物线上互异的两个动点,直线 AB 的斜率存在,线段 AB 的 垂直平分线交 x 轴于点 D(a,0)(a>0),n=|AF|+|BF|,则( A.p,a,n 成等差数列 B.p,n,a 成等差数列 C.p,a,n 成等比数列 D.p,n,a 成等比数列 答案 解析 A )

p 如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义可知 n=x1+2+ p x2+2=x1+x2+p,又线段 AB 的中垂线交 x 轴于 D(a,0),故(x1-a)2
2 2 2 + y1 = (x2-a)2+ y2 2 , (x1 + x2 - 2a)(x1 - x2)= y2 - y1 = 2p(x2 - x1).因为

x1≠x2,所以 x1+x2-2a=-2p,x1+x2=-2p+2a.故 n=-p+2a, n+p 即 a= 2 ,所以 a 是 p,n 的等差中项. 1 1 13.(2014· 赣州 4 月模拟)在等差数列{an}中,a14=a,a114=b,

1 a2 014=c,则 ab+19bc-20ac=( A.0 C.114 答案 A

) B.14 D.2 014

1 1 解析 设等差数列{an}的公差为 d,则 a114-a14=b-a=100d, a-b b-c a-c a-b b-c ∴ d =100ab,同理 d =1 900bc, d =2 000ac,∴ d + d a-c - d =100ab+1 900bc-2 000ac=0,即 ab+19bc-20ac=0,故选 A. 1 14. (2014· 龙岩调研)已知在数列{an}中, a1=2, an=2- (n≥2, an-1 n∈N*),设 Sn 是数列{bn}的前 n 项和,bn=lgan,则 S99 的值是( A.2 C.5 答案 A B.3 D.4 )

1 解析 ∵在数列{an}中,由 an=2- (n≥2,n∈N*),得 an-1 a n -1 an-1-1 an-1-1+1 1 1 1 1 = .∴ = =1+ ,即 - =1, an-1 an-1 an-1-1 an-1-1 an-1 an-1-1 1 1 1 1 ∴ = +(n-1)×1=n,an=1+n,从而 bn=lgan=lg(1+n) an-1 a1-1 = lg(1+n)-lgn, S99= b1+b2+ b3+ …+ b99= (lg2-lg1)+(lg3 -lg2) +…+(lg100-g99)=lg100=2,故选 A. 二、填空题 15.(2014· 江西)在等差数列{an}中,a1=7,公差为 d,前 n 项和 为 Sn, 当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值, 则 d 的取值范围为________.

7? ? 答案 ?-1,-8?
? ?

解析 先根据条件确定等差数列中特定项的符号, 再利用不等式 组求解.
?a8>0, 当且仅当 n=8 时,Sn 有最大值,说明? ?a9<0. ? ?7+7d>0, 7 ∴? 解得-1<d<-8. ? ?7+8d<0.

16.(2014· 洛阳调研)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2a3 5 =2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为4,则 S5=________. 答案 31
2 3 解析 设等比数列{an}的公比为 q,由 a2a3=2a1,得 a1 q =2a1.

因为 a1≠0,所以 a1q3=2.① 5 5 5 又 a4 与 2a7 的等差中项为4, 所以 a4+2a7=2, 即 a1q3+2a1q6=2. ② 1 16×?1-25? 1 由①②得 a1=16,q=2,所以 S5= =31. 1 1-2 17.(2014· 江苏苏锡常镇四市教学情况调查)设等差数列{an}的前 3 n 项和为 Sn.若 a1=-3,ak+1=2,Sk=-12,则正整数 k=________. 答案 13 解析 3 1 设等差数列{an}的公差为 d,则-3+kd=2,-3k+2k(k

-1)d=-12.消去 d,得 k=13.

5π 18.(2014· 太原调研)已知函数 f(x)=sinx-a(0≤x≤ 2 )的三个零 点成等比数列,则 log 2a=________. 答案 -1

5π 解析 显然函数 f(x)=sinx-a(0≤x≤ 2 )的三个零点依次为 x,π π 2 -x,2π+x, 故有 x(2π+x)=(π-x)2, 即 x=4, 所以 a= 2 , 从而 log 2 a=-1. 19.在△ABC 中,若 sinA,sinB,sinC 依次成等比数列,则 B 的取值范围是________. 答案 π (0,3]

解析 因为 sinA,sinB,sinC 依次成等比数列,所以 sinAsinC= a2+c2-b2 a2+c2-ac a2+c2 1 sin B,即 ac=b ,所以 cosB= 2ac = = 2ac -2, 2ac
2 2

a2+c2 1 2ac 1 1 π 所以 cosB= 2ac -2≥2ac-2=2,所以 0<B≤3,即 B 的取值范围 π 是(0,3]. 20.(2014· 赣州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2+a4=66, a3+a5=60,且满足 an+2-2an+1+an=0(n∈N*),若对任意的 n∈N*, 都有 Sn≤Sk,则 k=________. 答案 13 或 14 解析 由 an+2-2an+1+an=0(n∈N*)易知数列{an}是等差数列,

设其首项为 a1,公差为 d,由 a2+a4=66,a3+a5=60?a1=39,d= -3,故等差数列{an}的前 n 项和 Sn 有最大值,即为 Sk.由 an=-3n+ 42≥0,解得 n≤14.因为 a14=0,故 Sn 的最大值为 S13 或 S14,所以 k

=13 或 14. 探究 本题考查等差数列的性质及前 n 项和的最值. 但题目表述 形式有所变化,将最值迁移到恒成立的表述中,从而考查考生思维的 广度和深度, 高考命题中也不乏此类知识相同、 但背景变化的问题. 考 生要理解平时所学的知识,而不要盲目做题.


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