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2015年高中数学三角函数的最值问题复习讲义苏教版必修1

三角函数的最值问题专题 类型一、 可化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 、 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 型: 。 2 例 1、函数 y ? 1 cos2 x ? 3 sin x ? cos x ? 1?x ? R ? ,当 y 取得最大值时 x 的集合 2 点拨:此类问题为 y ? a sin 2 x ? b sin x ? cos x ? c cos2 x 类型的三角函数求最值问题,它可通过降次化 简整理为 y ? m sin 2 x ? n cos 2 x 型,再用辅助角公式化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 求解。 解: y ? 2 ? ? 5 1 1 ? cos 2 x 3 sin 2 x 1 3 5 1?1 3 ? ? ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ?? 4 2 2 2 4 4 4 2? 2 2 ? ? 1 ?? 5 ? ? ? 7 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ,? 2 x ? ? ? 2k? ,? x ? ? k? ?k ? z ?, y max ? . 2 6? 4 6 2 6 4 ? 例 2、已知函数 f ?x ? ? 2 sin x(sin x ? cos x) ,求函数 f(x)的最小正周期和最大值。 ?? 解: f ?x ? ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2sn? ? 2x ? ? ? 4? ? f(x)的最小正周期为 ? ,最大值为1 ? 类型二、换元后化为普通函数: 例 3、函数 y ? ? sin 2 x ? 3 cos x ? 3 的最小值为 2。 . [分析] y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 , 因含有 cosx 的二次式, 可换元, 令 cosx=t, 则 ? 1 ? t ? 1, y ? t 2 ? 3t ? 2, 配 3? 方,得 y ? ? ?t ? ? ? 2? 2 ? 1 4 , ? ?1 ? t ? 1,?当 t=1 时,即 cosx=1 时, y min ? 0 . . 例 4、函数 y=5sinx+cos2x 的值域为 点拨:观察三角函数名和角,其中一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和倍角,所以先化简, 使三角函数的名和角达到统一。 5? 33 ? y ? 5 sin x ? 1 ? 2 sin 2 x ? ?2 sin 2 x ? 5 sin x ? 1 ? ?2? sin x ? ? ? 4 8 ? ? ? 81 33 ? ?1 ? sin x ? 1,? sin x ? ?1, x ? 2k? ? , k ? z , y min ? ?2 ? ? ? ?6 2 16 8 ? 1 33 sin x ? 1? x ? 2k? ? , k ? z , y max ? ?2 ? ? ?4 2 16 8 ? ? 2 例 5、函数 y ? 2 cos x ? 1 的值域为 2 cos x ? 1 . 解:原函数变形为 y ? 1 ? 2 ,? cos x ? 1 ,可直接得到: y ? 3 或 y ? 1 . 2 cos x ? 1 3 2 sin x 例 6、已知 x ? ?0, ? ? ,则函数 y ? sin x ? 的最小值为 . 1 [分析]设 sin x ? t , ?0 ? t ? 1?, y ? t ? 1 ,在(0,1)上为减函数,当 t=1 时, y min ? 3 。 t 例 7、函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值为 点拨: 2 ?s i n x?c o x s? . 对 于 表 达 式 中 同 时 含 有 sinx+cosx 与 sinxcosx 的 函 数 , 运 用 关 系 式 ? 1? 2s i n xc o x s, 一般都可采用换元法转化为 t 的函数去求最值,但必须要注意 换元后新变量的取值范围。 2 2 解:令 sinx+cosx=t,则 sin x cos x ? t ? 1 t ? ? 2, 2 ,? y ? t ? 1 ? t ,其中 t ? ?? 2, 2 ? 2 ? ? ?? 2 ?? 1 当 t ? 2 , sin? ? x ? ? ? 1,? y max ? ? 2. ? 4? 2 例 8、函数 y= sin x cos x 的值域为 1 ? sin x ? cos x . ? ? ? ? ? ? 2, ? 2? ? 但t ? ?1 2 ?1 2 分析:设 sin x ? cos x ? t , 则t ? ? sin x cos x ? t 2 ?1 , ? 2 y? ? ? 2 sin ? x ? 4 ? t ?1 ? ymax ? 2 2 ?1 , ymin ? ? 2 类型三、直接求导型: 例 9、函数 y ? ? sin x ?0 ? x ? ? ? 的最小值为 2 ? cos x 点拨:该题可利用导数来求解或者利用其几何意义求解。 例 10、函数 [分析] 令 ,得 或 ,又 ,故 . , ? ? (0, ? ) 的最小值为 . . . 故当 练习: 时, ,此时实数 取最大值 . 1、函数 f(x)=cos x+sinx 在区间 ? ? ? , ? ? 上的最小值是 ? ? 4 4? ? 2 . 2 分析:化为f ? x ? ? ? sin 2 x ? sin x ? 1, ? 2 2? ? ? ? ? ? x ? ?? , , ? 设t=sinx ? ? , ? 2 2 ? 4 4? ? ? ? f ? x ? ? ?t 2 1? 5 ? ? t ?1 ? ? ? t ? ? ? 2? 4 ? 2 t ?? 2 时, ? ?f 2

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