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2015年高中数学三角函数的最值问题复习讲义苏教版必修1


三角函数的最值问题专题 类型一、 可化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 、 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 型: 。 2 例 1、函数 y ? 1 cos2 x ? 3 sin x ? cos x ? 1?x ? R ? ,当 y 取得最大值时 x 的集合 2 点拨:此类问题为 y ? a sin 2 x ? b sin x ? cos x ? c cos2 x 类型的三角函数求最值问题,它可通过降次化 简整理为 y ? m sin 2 x ? n cos 2 x 型,再用辅助角公式化为 y ? A sin(?x ? ? ) ? k 求解。 解: y ? 2 ? ? 5 1 1 ? cos 2 x 3 sin 2 x 1 3 5 1?1 3 ? ? ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? ?? 4 2 2 2 4 4 4 2? 2 2 ? ? 1 ?? 5 ? ? ? 7 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ,? 2 x ? ? ? 2k? ,? x ? ? k? ?k ? z ?, y max ? . 2 6? 4 6 2 6 4 ? 例 2、已知函数 f ?x ? ? 2 sin x(sin x ? cos x) ,求函数 f(x)的最小正周期和最大值。 ?? 解: f ?x ? ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 1 ? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2sn? ? 2x ? ? ? 4? ? f(x)的最小正周期为 ? ,最大值为1 ? 类型二、换元后化为普通函数: 例 3、函数 y ? ? sin 2 x ? 3 cos x ? 3 的最小值为 2。 . [分析] y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 , 因含有 cosx 的二次式, 可换元, 令 cosx=t, 则 ? 1 ? t ? 1, y ? t 2 ? 3t ? 2, 配 3? 方,得 y ? ? ?t ? ? ? 2? 2 ? 1 4 , ? ?1 ? t ? 1,?当 t=1 时,即 cosx=1 时, y min ? 0 . . 例 4、函数 y=5sinx+cos2x 的值域为 点拨:观察三角函数名和角,其中一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和倍角,所以先化简, 使三角函数的名和角达到统一。 5? 33 ? y ? 5 sin x ? 1 ? 2 sin 2 x ? ?2 sin 2 x ? 5 sin x ? 1 ? ?2? sin x ? ? ? 4 8 ? ? ? 81 33 ? ?1 ? sin x ? 1,? sin x ? ?1, x ? 2k? ? , k ? z , y min ? ?2 ? ? ? ?6 2 16 8 ? 1 33 sin x ? 1? x ? 2k? ? , k ? z , y max ? ?2 ? ? ?4 2 16 8 ? ? 2 例 5、函数 y ? 2 cos x ? 1 的值域为 2 cos x ? 1 . 解:原函数变形为 y ? 1 ? 2 ,? cos x ? 1 ,可直接得到: y ? 3 或 y ? 1 . 2 cos x ? 1 3 2 sin x 例 6、已知 x ? ?0, ? ? ,则函数 y ? sin x ? 的最小值为 . 1 [分析]设 sin x ? t , ?0 ? t ? 1?, y ? t ? 1

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