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2015北京市高考文科数学试题纯word版


绝密★启用前

2015 年普通高等学校招生全国考试 数学(文) (北京卷)
本试卷共 5 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作 答无效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 ⑴ 若集合 A={x|-5<x<2} ,B={x|-3<x<3} ,则 A∩B= A. {x|-3<x<2} C. {x| -3<x<3} B. {x|-5<x<2} D. {x|-5<x<3}

(2)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (A) (x-1)2+(y-1)2=1 (C) (x+1)2+(y+1)2=2 (3)下列函数中为偶函数的是() (A) y ? x2 sin x (C) y ?| ln x | (B) y ? x2 cos x (D) y ? 2? x (B) (x+1)2+(y+1)2=1 (D) (x-1)2+(y-1)2=2

(4)某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体情 况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年人数为() (A)90 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 (B)100 (C)180 (D)300

人数 900 1800 1600 4300

(5)执行如果所示的程序框图,输出的 k 值为

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (6)设 a,b 是非零向量, “a·b=|a||b|”是“a∥ b”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为 (A)1 (B) (B) (D)2

(8)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。

注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为

(A)6 升 (B)8 升 (C)10 升 (D)12 升 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9)复数 i(1+i)的实数为 (10)2 , 3 ,log25 三个数中最大数的是 (11)在△ABC 中,a=3,b= (12)已知(2,0)是双曲线 , ? A= , ? B= =1(b>0)的一个焦点,则 b=.
-3
1 2

(13)如图,△ABC 及其内部的点组成的集合记为 D,P(x,y)为 D 中任意一点,则 z=2x+3y 的最大值为

(14)高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成 绩在全年级中的排名情况如下,甲、乙、丙为该班三位学生。

从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,两同学的成绩名次更靠前的科目是

三、解答题(共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题 13 分) x 已知函数 f(x)= sin x ? 2 3 sin 2 2 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; ? 2? ? (Ⅱ)求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最小值。 ? 3 ? (16) (本小题 13 分) 已知等差数列{ }满足 + =10, - =2. (Ⅰ)求{ }的通项公式; (Ⅱ)设等比数列{ }满足 , ;问: 与数列{ }的第几项相等? (17) (本小题 13 分) 某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成 下统计表,其中“√”表示购买, “×”表示未购买。 商品 甲 乙 丙 丁 顾客人数 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率 (Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率 (Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? (18) (本小题 14 分) 如图,在三棱锥 E-ABC 中,平面 EAB ⊥平面 ABC,三角形 EAB 为等边三角形,AC⊥ BC, 且 AC=BC= ,O,M 分别为 AB,VA 的中点。

(1) 求证:VB//平面 MOC. (2) 求证:平面 MOC⊥平面 VAB (3) 求三棱锥 V-ABC 的体积。

V

M

A C

O

B

(19) (本小题 13 分)
x2 设函数 f ( x) ? ? k ln x ,k>0 2

(I)求 f(x)的单调区间和极值; (II)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间 (1, e ] 上仅有一个零点。

(20)(本小题 14 分)

已知椭圆 与直线

,过点 .

且不过点

的直线与椭圆 交于

两点,直线

(1)求椭圆 的离心率; (II)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (III)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由。


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