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等差等比数列综合_图文


等差等比数列综合

复习等差等比数列的有关知识:
1 ,等差等比数列的定义。

2 , 等差等比数列通项公式。
3 , 等差等比数列的性质 。

4 , 等差等比数列前n项和公式 。
5 , 等差等比中项问题 。

一:几个数成等差等比数列问题 。
例1 ,有四个数,前三个数成等差数列 ,后三个 数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三个数的和是12 ,求这四数 。 答案;15,9,3,1,或 0,4,8,16。 例2 ,已知三个整数a,b,c,成等差数列,其和介 于40与44之间,且a+b ,b+c ,c+a .成等比数列, 则a ,b ,c ,的值分别为多少 答案:a=b=c=14 或 a=98 , b=14 , c=-70 .

例3:若a1 ,a2 ,,a3 成等差数列 ,a2 ,a3 ,a4 成等比数 列,a3 ,a4 ,,a5 的倒数成等差数列,则a1 ,,a3 ,,a5 是 什么数列
? ?2 a ? a ? a 2 1 3 ? ? 2 解?a2 a4 ? a3 ?2 1 1 ? ? ? ? a4 a3 a5 ? 把?2 ?代入得

?1? ?2? ?3?

?1? a3 a5 ?a1 ? a3 ? 由, 得a2 a4 ? ?3? a3 ? a5

a3 a5 ?a1 ? a3 ? a3 ? a5

? a3 ? a3 ? a1a5
2

2

? a1 , a3 , a5成等比数列。

解这样的题应该注意以下几点: 1 ,注意根据题设条件设出所求 的几个数。(未知数 越少越好) 2 ,注意等差中项和等比中项的 使用。

二:两个或几个等差等比数列的综合题

例1:已知等差数列{an}的公差和 等比数列{bn}的公比都是d(d≠1), 且a1=b1 ,a4=b4 ,,a10=b10 (1)求实数a1和d的值; (2)b16是不是数列{an}中的项? 如果是,是第几项?如果不是, 请说明理由 。

?a1 ? 3d ? a1d 3 ?a1 (d 3 ? 1) ? 3d ? ? 解:)由条件得? (1 ?? 9 9 ?a1 ? 9d ? a1d ?a1 (d ? 1) ? 9d ? ? 两式得项除:d ? d ? 1 ? 3, d ? 1 ?, d ? ? 2 , a1 ?
6 3 3 3

2

( 2)

an ? bn ?

3

2 ? ( n ? 1)( ?3 2 ) ? 2 (?
3

3

2 ( 2 ? n) (
3

3

2)

n ?1

? ( ?1)

n ?1

2)

n

假定b16是数列{an )中的项,则 ( ?1)
15

? 32 ?

3

2 ?

3

2 ( 2 ? n), n ? 34

? b16是数列{an )中的项,是第34项。

例2:已知数列{an}的 a1=1 , sn+1=4an+2 (1)若bn=an+1-2an ,, 求证;数列{bn}是等比数列 。 (2)若cn=an/2n ,求证;数列{cn}是等差数列 。 (1)当n ? 2时,
an ?1 ? sn ?1 ? sn ? (4an ? 2) ? (4an ?1 ? 2) ? 4an ? 4an ?1 则:bn ? an ?1 ? 2an ? 4an ? 4an ?1 ? 2an ? 2(an ? 2an ?1 ) ? 2bn ?1 即 bn bn ?1 ? 2 b1 ? a2 ? 2a1 ? 3

数列{bn}是以3为首项,公比为2的等比数列

( 2) ? c n ? 1 ? c n ? ?

a n ?1 2
n?1 n?1

?

an 2 2
n

?
n ?1

1 2
n?1

(a n?1 ? 2a n )

bn 2

?

3?2

n?1

?

3 4

? {c n )是以3 / 4为公差的等差数列。

例3 ,设{an}是等差数列, bn=(1/2)an
,b1+b2+b3=21/8

通项an.

b1b2b3=1/8

.求等差数列的

例4:数列{an}为等比数列 ,a1=1 ,公比为 x(x>0) ,其前n项和为sn,
(1)写出,an ,,sn表达式 。 设bn=an/sn 写出bn关于x和n的表达式 。 (2)

3解:设等差数列{an }的公差为d , 则an ? a1 ? ( n ? 1) d .
a1 ? ( n ?1) d

?1? ? bn ? ? ? ?2? ?1? b1b3 ? ? ? ?2?

?1? ?1? , b1 ? ? ? , b2 ? ? ? ?2? ?2?
2

a1

a1 ? d

?1? , b3 ? ? ? ?2?
3

a1 ? 2 d

2 a1 ? 2 d

? b2 , 又由b1b2b3 ?

1 8

得:b2 ?

1 8

, b2 ?

1 2

1 ? 1 ? ?b1 ? 2 ?b1b3 ? 4 ? ? ?b1 ? ?? ?? 8 1 或? ?b ? b ? 17 ?b3 ? ? 8 ?b3 ? 2 ? 3 ? 1 8 ? 当a1 ? ?1, d ? 2时,an ? ?1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2n ? 3, 当a1 ? 3, d ? ?2时,an ? 3 ? ( n ? 1) ? ( ?2) ? 5 ? 2n.

? a1 ? ?1, d ? 2或a1 ? 3, d ? ?2

1,三个数成等比数列 ,若第二个数加4就成 等差数列 ,再把这个等差数列的第三项加 32又成等比数列 ,求这三个数
答案 ,2 ,6 ,18 。或 2/9 ,-10/9 ,50//9


2,数列{an}是等差数列 ,{bn}是等比数列 , 数列{cn}中 ,对任何n∈N ,都有cn=an-bn , c1=0 c2=1/6 c3=2/9 c4=7/54 ,求数列{cn} 的前n项和sn .


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