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2013年高考文科函数及其导数真题(含答案)


2013 年数学高考试题汇编-----函数与基本初等函数
一. 选择题 1.全国新课标(Ⅰ) (文) (9)函数 f(x)=(1-cosx)sinx 在[-π,π]的图像大致为(
y 1
π

C )

y 1
O
π

y 1

y 1

x

π

O

π

x

π

O

π

x

π

O

π

x

A

B

C

D

?-x2+2x x≤0 ? 2.全国新课标(Ⅰ) (文) (12)已知函数 f(x)=? ,若| f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( D) ? ?ln(x+1) x>0

(A) (-∞,0]

(B) (-∞,1]

(C)[-2,1]

(D)[-2,0]

3. 新课标Ⅱ卷 (文)(11)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c ,下列结论中错误的是( C ) (A) (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 (D)若 x0 是 f(x)的极值点,则 f’( x0)=0 4..北京(文) (3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( C )

(A)y=

(B)y=e-x

(C)y=-x2+1

(D)y=lg∣x∣

5..上海(文)15.函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? 1? 的反函数为 f
2

?1

? x ? ,则 f ?1 ? 2 ? 的值是(

A )

(A) 3

(B) ? 3

(C) 1 ? 2

(D) 1 ? 2 )

6..广东(文)2.函数 y ? A. (?1, ??)

lg( x ? 1) 的定义域是( C x ?1
C. (?1,1) ? (1, ??)

B. ? ?1, ?? )

D.

? ?1,1? ? (1, ??)


7.广西(文)(6)函数 f ? x ? ? log 2 ?1 ?

? ?

1? -1 ? ? x ? 0 ?的反函数f ? x ? = ( A x?

1

(A)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(B)

1 ? x ? 0? 2 ?1
x

(C) 2 ? 1? x ? R ?
x

(D) 2 ? 1? x ? 0 ?
x

8..湖北(文)5.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快 ( C ) 速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
距学校的距离 距学校的距离

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O 时间 时间 C D 9..湖北(文)8.x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为( A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数

O

D )

10..湖北(文)9.某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载客量 分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型 车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为( C ) A.31200 元 B.36000 元 C.36800 元 D.38400 元

11..湖北(文)10.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( B ) A. (??, 0)
1 B. (0, ) 2

C. (0, 1)

D. (0, ? ?)

12..江西(文)10.如图。已知 l1⊥l2,圆心在 l1 上、半径为 1m 的圆 O 在 t=0 时与 l2 相切于点 A,圆 O 沿 l1 以 1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x,令 y=cosx,则 y 与时间 t(0≤x≤1, 单位:s)的函数 y=f(t)的图像大致为( B )

2

13..辽宁(文)(7)已知函数 f ? x ? ? ln A. ?1

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ( D ) ? 2?

?

B. 0

C. 1

D. 2
2 2 2 2

14.辽宁(文)(12)已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a , g ? x ? ? ? x ? 2 ? a ? 2 ? x ? a ? 8. 设

H1 ? x ? ? max ? f ? x ? , g ? x ?? , H 2 ? x ? ? min ? f ? x ? , g ? x ?? , ? max ? p, q?? 表示 p, q 中的较大值,
min ? p, q? 表示 p, q 中的较小值,记 H 1 ? x ? 得最小值为 A, H 2 ? x ? 的最大值为 B ,则 A ? B ? ( C )
(A) a ? 2a ? 16
2

(B) a ? 2a ? 16
2

(C) ?16

(D) 16

15..四川(文)6、函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?)( ? ? 0, ? 如图所示,则 ? , ? 的值分别是( A ) (A) 2, ? (C) 4, ?

?

? ? ? ) 的部分图象 2 2

?

?
3

(B) 2, ?

?
6

?
6

(D) 4,

? 3
e x ? x ? a ( a ? R , e 为自然对数的底数) 。若存在 b ? [0,1] 使
A ) (C) [e,1 ? e] (D) [0,1]

16..四川(文)10、设函数 f ( x) ?

f ( f (b)) ? b 成立,则 a 的取值范围是(
(A) [1, e] (B) [1,1 ? e]

17..重庆(文) (3)函数 y ?

1 的定义域为 ( c ) log 2 ( x ? 2)
(C) (2,3) ? (3, ??) (D) (2, 4) ? (4, ??)

(A) (??, 2)

(B) (2, ??)

18.重庆(文)已知函数 f ( x) ? ax ? b sin x ? 4(a, b ? R) , f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg2))
3

?( c )

(A) ?5

(B) ?1

(C) 3

(D) 4

19.安徽 (文) 函数 y ? f ( x) 的图像如图所示, (8) 在区间 ? a , b ? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 , x2 ,? , xn , 使得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的取值范围为( B ) ? ?? ? x1 x2 xn

3

(A)

?2,3?

(B)

?2,3, 4?

(C)

?3, 4?

(D)

?3, 4,5?

20.安徽(文) (10)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,若 f ( x1 ) ? x ? x ,则关于 x 1 2
3 2

的方程

2 3 (f (x ) ) ?

a f x? ) b 的不同实根个数为( A ) 2 ( ? 0
(B) 4 (C) 5 (D) 6 )

(A)3

21.福建(文)5.函数 f ? x ? ? ln x ? 1 的图像大致是 ( A
2

?

?

22..湖南(文)6.函数 f(x)=㏑ x 的图像与函数 g(x)=x2-4x+4 的图像的交点个数为( C ) A.0 B.1 C.2 D.3

二.填空题

1..北京(文)(13)函数 f(x)= ?

?log 1 x, x ? 1 ? 2 ?2 , x ? 1 ?
x

的值域为(-∞,2) .

2..四川(文)11、 lg 5 ? lg 20 的值是______1______。 3..四川(文)13、已知函数 f ( x) ? 4 x ?

a ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小值,则 a ? __36_____。 x

4.安徽(文) (11) 函数 y ? ln(1 ? ) ? 1 ? x 2 的定义域为 ? 0,1? .

1 x

5.安徽(文) (14)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f ( x) .若当 0 ? x ? 1 时。 f ( x) ? x(1 ? x) ,

4

则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) = f ( x) ? ?

x( x ? 1) . 2

?2 x3 , x ? 0, ? ? ? ?? ? 6..福建(文)13.已知函数 f ? x ? ? ? ? 则f ? f ? ? ? ? ? ? 4 ?? ?? tan x, 0 ? x ? , ? 2
2

-2

.

7.江苏 已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数.当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,则不等式 f ( x) ? x 的解集用区 间表示为 ? ?5, 0 ? ? ? 5, ?? ? . 解析:因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,所以易知 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? 4 x
2

解不等式得到 f ( x) ? x 的解集用区间表示为 ? ?5, 0 ? ? ? 5, ?? ? 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 1..全国新课标(Ⅰ) (文)(20)(本小题满分共 12 分) 已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处切线方程为 y=4x+4 (Ⅰ)求 a,b 的值 (Ⅱ)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值

(20)解: (I)f 1 ( x) ? e 2 (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4.由已知得f (0) ? 4, f 1 (0) ? 4, 故b ? 4, a ? b ? 8, 从而a ? b ? 4;

f (II) 由(I)知, (x) ? 4e ( x ? 1) ? x ? 4 x,
x 2

1 f 1 ( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 2
令 f ( x) ? 0得,x =-1n2或x=-2.
1

从而当 x ? (??, ?2) ? (?1n2, ??)时,f ( x) ? 0;当x ? (?2, ?1n2)时,f(x) <0.
1 1

-2 + -1 故 f ( x)在(-?,),(-1n2,?)单调递增,在(-2,n2)单调递减 .
f f =4 1当 x=-2时,函数(x)取得极大值,极大值为(-2)( e ) .
2..北京(文) (18) (本小题共 13 分)
5
?2

已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值。 (Ⅱ)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。
2 解:由 f ( x ) ? x ? x sin x ? cos x ,所以 f '( x ) ? x ? 2 ? cos x ? .

(Ⅰ)因为曲线 y ? f ( x ) 在点 (a, f (a )) ? 处与直线 y ? b 相切,
2 所以 f ' ? a ? ? a ? 2 ? cos a ? ? 0 , f (a ) ? a ? a sin a ? cos a ? b ,

解得 a ? 0, b ? 1 . (Ⅱ)由 f ' ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 .

f ? x ? 和 f ' ? x ? 的情况如下:

x

? ??, 0 ?
-

0

? 0, ?? ?
+

f ' ? x? f ? x?

0



1



所以函数 f ? x ? 在区间 ? ??, 0 ? 上单调递减 在区间 ? 0, ?? ? 单调递增, f ? 0 ? ? 1 是函数的最小值. 当 b ? 1 时,曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? b 最多只有一个交点. 当 b ? 1 时, f ? ?2b ? ? f ? 2b ? ? 4b ? 2b ? 1 ? 4b ? 2b ? 1 ? b , f ? 0 ? ? 1 ? b ,
2

所以,存在 x1 ? ? ?2b,0 ? , x2 ? ? 0, 2b ? ,使得 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? b . 由于函数 f ? x ? 在区间 ? ??, 0 ? 和 ? 0, ?? ? 均单调,所以 b ? 1 时,曲线 y ? f ( x ) 与直线 y ? b 有且仅有两 个交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+∞) 。 3.广东(文)21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x
3 2

?k ? R ? .
6

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f (x) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f (x) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . .解: (1)当 k ? 1时,f ( x) ? x ? x ? x, 于是f ( x ) ? 3x ? 2 x ? 1.
3 2 1 2

? ? ? ?8 <0,
??x ? R, f 1 ( x) >0.
(2) f ( x) ? 3x ? 2kx ? 1, ? ? 4(k ? 3).
1 2 2

a)当k < ? 3时,? >0,于是 f 1 ( x) =0 有两个根 x1 ?
k ?k k ? k2 ?3 ? 0 < ?k . < 3 3

k ? k2 ?3 >k, 2

x2 ?

当 x ? (k , x1 ) ( x2 , ?k )时,f 1 ( x)>0;当x ? ( x1 x2 )时,f 1 ( x)<0, ∪ 因此函数 f ( x) 在 ? k , x ? 与? x2 , ?k ? 上增函数,在 ? x1 , x2 ? 上为减函数.

故m ? min ? f (k ), f ( x2 )? , M ? max ? f (?k ), f ( x1 )?.

由于k<x1<x2<0<-k,所以 f ( x1 ) ? x13 ? kx12 ? x1< ? k 3 ? k 3 ? k ? ?2k 3 ? k ? f (?k ),
2 f ( x2 ) ? x2 ( x2 ? k ) ? x2>x2>k ? f (k ).

因此m ? f (k ) ? k , M ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k .
当k ? ? 3时,f 1 ( x) ? 3( x ? 3 2 ) ? 0,? f ( x)在 ?- 3, 3 ? 上 为增函数. ? ? 3

b)

因此 m ? f (? 3) ? ? 3, M ? f ( 3) ? 7 3. 当 ? 3<k<0时,?<0,于是?x ? R, f ( x)>0,
1

c)

? f ( x)在 ? k , ?k ? 上为增函数. ?

7

因此m ? f (k ) ? k , M ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k .
4..广西(文)21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? =x ? 3ax ? 3x ? 1.
3 2

(I)求 a ?

2时,讨论 f ? x ?的单调性; ;

(II)若 x ? ? 2, ?? ? 时,f ? x ? ? 0, 求a的取值范围. 解:(Ⅰ)当 a ? - 2 时, f ? x ? =x -3 2 x ? 3x ? 1.
3 2

f ' ( x) ? 3x 2 ? 6 2 x ? 3 .
' 令 f ( x) ? 0 ,得, x1 ?

2 ? 1 , x2 ? 2 ? 1 .

当 x ? (??, 2 ? 1) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, 2 ? 1) 是增函数;
'

当 x ? ( 2 ? 1, 2 ? 1) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, 2 ? 1) 是减函数;
'

当 x ? ( 2 ? 1, ??) 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, ??) 是增函数;
'

(Ⅱ)由 f (2) ? 0 得, a ? ? 当a ? ?

5 . 4

5 , x ? (2, ??) 时, 4

5 1 f ' ( x) ? 3( x 2 ? 2ax ? 1) ? 3( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) ? 0 , 2 2
所以 f ( x) 在 (2, ??) 是增函数,于是当 x ? [2, ??) 时, f ( x) ? f (2) ? 0 . 综上,a 的取值范围是 [? , ??) . 5..湖北(文)21. (本小题满分 13 分) 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?
ax ? b . x ?1

5 4

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数.
8

(i)判断 f (1) , f (

b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) ; a a a a

(ii) a 、 b 的几何平均数记为 G. 称 若 H ? f ( x) ? G ,求 x 的取值范围.

2ab 为 a 、 b 的调和平均数,记为 H. a?b

解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (??, ?1) ? (?1, ??) ,
f ?( x) ? a( x ? 1) ? (ax ? b) a ?b . ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2

当 a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1) , (?1, ??) 上单调递增; 当 a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (??, ?1) , (?1, ??) 上单调递减. (Ⅱ) (i)计算得 f (1) ?
b a?b b 2ab ? 0, f ( ) ? ? 0 , f ( ) ? ab ? 0 . a 2 a a?b

b a ? b 2ab b 故 f (1) f ( ) ? ? ? ab ? [ f ( )]2 , 即 a 2 a?b a
b b f (1) f ( ) ? [ f ( )]2 . a a



所以 f (1), f (

b b ), f ( ) 成等比数列. a a



b b a?b b ) . ? ab ,即 f (1) ? f ( ) . 由①得 f ( ) ? f ( a 2 a a

b b (ii)由(i)知 f ( ) ? H , f ( ) ? G .故由 H ? f ( x) ? G ,得 a a b b f ( ) ? f ( x) ? f ( ) . a a b b 当 a ? b 时, f ( ) ? f ( x) ? f ( ) ? a . a a



这时, x 的取值范围为 (0, ??) ; 当 a ? b 时, 0 ?
b b b ,由 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增与②式, ? 1 ,从而 ? a a a
b? ?; a?



?b b b ?x? ,即 x 的取值范围为 ? , a a ?a

当 a ? b 时,

b b ? 1 ,从而 ? a a

b ,由 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减与②式, a



? b b? b b ? x ? ,即 x 的取值范围为 ? , ? . a a ? a a?

9

6..江西(文)21. (本小题满分 14 分)

设函数

常数且 a∈(0,1).

(1)



a=

1 2

时,求 f(f( ));

(2) 若 x0 满足 f(f(x0))= x0,但 f(x0)≠x0,则称 x0 为 f(x)的二阶有且仅有两个二阶周期点,并 求二阶周期点 x1,x2; (3) 对于(2)中 x1,x2,设 A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ ABC 的面积

为 s(a),求 s(a)在区间[ , ]上的最大值和最小值。

解: (1)当 a=

1 1 2 1 2 2 2 时, f ( )= , f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ? 2 3 3 3 3 3 3

?1 2 ? a 2 x, 0 ? x ? a ? ? 1 ( a ? x), a 2 ? x ? a ? a (1 ? a ) ? ( 2) f ( f ( x)) ? ? ? 1 ( x ? a ), a ? x ? a 2 ? a ? 1 ? (1 ? a ) 2 ? ? 1 (1 ? x), a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 ? a (1 ? a ) ?
当 0 ? x ? a 时,由
2

1 x ? x 解得 x=0,由于 f(0)=0,故 x=0 不是 f(x)的二阶周期点; a2

当 a ? x ? a 时由
2

1 a ? (a 2 , a), (a ? x) ? x 解得 x ? 2 a(1 ? a) ?a ? a ? 1

因 f(

a 1 a 1 a )? ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 a ?a ? a ? 1 ? a ? a ? 1 ? a ? a ? 1
2

故x?

a 是 f(x)的二阶周期点; ?a ? a ? 1
2

当 a ? x ? a ? a ? 1 时,由
2

1 1 ? (a, a 2 ? a ? 1) ( x ? a) ? x 解得 x ? 2 (1 ? a) 2?a

因 f(

1 1 1 1 1 故x? 不是 f(x)的二阶周期点; )? ? (1 ? )? 2?a 2 ? a 1? a 2?a 2?a
10

当 a 2 ? a ? 1 ? x ? 1时,

1 1 ? (a 2 ? a ? 1,1) (1 ? x) ? x 解得 x ? 2 a(1 ? a) ?a ? a ? 1

因 f(

1 1 1 a 1 )? ? (1 ? 2 )? 2 ? 2 ?a ? a ? 1 1 ? a ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
2

故x?

1 是 f(x)的二阶周期点。 ?a ? a ? 1
2

因此,函数 f ( x) 有且仅有两个二阶周期点, x1 ? (3)由(2)得 A(

a 1 , x2 ? 。 2 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
2

a a 1 1 , 2 ), B( 2 , 2 ) ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
2

则 s (a) ?

1 a 2 (1 ? a) 1 a(a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2) ? 2 , s?(a) ? ? 2 ?a ? a ? 1 2 (?a 2 ? a ? 1) 2

因为 a 在[

1 1 1 1 , ]内,故 s?(a) ? 0 ,则 s(a)在区间[ , ]上单调递增, 3 2 3 2

故 s(a)在区间[ , ]上最小值为s( )= 7..安徽(文) (20) (本小题满分 13 分)

1 1 3 2

1 3

1 1 1 ,最大值为s( )= 33 2 20

2 2 设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ,其中 a ? 0 ,区间 I ? ? x | f ( x) ? 0? .

(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值. 分析:本题考查二次不等式的求解,以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能,考查分类讨论思想 和综合运用数学知识解决问题的能力。 解: (1)因为方程 ax ? (1 ? a ) x =0( a ? 0 )有两个实根 x1 ? 0, x2 ?
2 2

a ,故 f ( x) ? 0 的解集为 1 ? a2

? x | x1 ? x ? x2 ? , 因此区间 I ? ? 0, ?
(2) d (a ) ? 设

a ? a ,区间长度为 2 ? 1 ? a2 ? 1? a ?

a 1 ? a2 , 则(d (a) ? ),令 d ( a ? ,得 a ? 1 ,由于 0 ? k ? 1 ,故 ' ) 0 1 ? a2 1 ? a2

当1 ? k ? a ? 1

时, d '(a) ? 0, d (a) 单调递增;

11

当 1 ? a ? 1 ? k 时, d '(a) ? 0, d (a) 单调递减; 因此当 1 ? k ? a ? 1 ? k , d ( a ) 的最小值必定在 a ? 1 ? k 或 a ? 1 ? k 处取得。

(1 ? k ) d (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2 2 ? k 2 ? k 3 而 ? ? ? 1 ,故 d (1 ? k ) ? d (1 ? k ) 。 (1 ? k ) d (1 ? k ) 2 ? k2 ? k3 1 ? (1 ? k ) 2
因此当 a ? 1 ? k 时, d ( a ) 在区间 ?1 ? k ,1 ? k ? 上取得最小值 8.福建(文)22. (本小题满分 14 分) 已知函数 (X)=X-1+ x e 。 (a?R, 为自然对数的底数)

1? k 。 2 ? 2k ? k 2

a e

(Ⅰ)若曲线 y=

(X)在点(1,

(1) )处的切线平行于 X 轴,求 a 的值;

(Ⅱ)求函数

(X)的极值;

(Ⅲ)当 a-1 时,若直线 l : y ? kx ? 1与曲线y=

(X)没有公共点,求 K 的最大值。

解:(I)由

又曲线 y=

在点(1,

)处的切线平行于 x 轴,



=0,即

=0,解得 a=e。

(Ⅱ)

①当 a≤0 时,

(X)>0,

(X)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数

(X)无极值。

②当 a>0 时,令

(X)=0,得 =a,X=In a.

X∈(-∞,In a),

(X)<0;X∈(In a,+∞)上单调递增,
12

故 数

(X)在 X= In a 处取得极小值,且极小值为

(In a)= In a,无极大值。综上,当 a≤0 时,函

(X)在 X= In a 处取得极小值 In a,无极大值。

(Ⅲ)当 a=1 时,

=x-1+

.



=

-

则直线

与曲线 y=

没有公共点,等加于方程

=0 在 R 上没有实数解。

假设 又函数

此时 的图像连续不断,由零点存在定理,可知 =0 在 R 上至少有一解,与“方程 =0 在 R

上没有实数解”矛盾,故

又 k=1 时, 所以 k 的最大值为 1. 解法二: (I)(II)同解法一.

=

知方程

=0 在 R 上没有实数解。

(Ⅲ)当 a=1 时,

直线

与曲线 y=

没有公共点,

等价于关于 x 的方程

在 R 上没有实数解,即关于 的方程:

( ) 在 R 上没有实数解。

13

① 当 k=1 时,方程( )可化为

=0,在 R 上没有实数解.

② 当 k≠1 时,方程( )化为

=

.



=

,则有

=

.



=0 得 x=-1,

当 变化时,



的变化情况如下表:

x

当 x=-1 时,

同时当 趋于

时,

趋于



从而

的取值范围为[

,

).

所以当

时,方程( )无实数解,

解得 k 的取值范围是(1-e,1). 综上①②,得 k 的最大值为 1. 9.江苏 20. (本小题满分 16 分)
x 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? e ? ax ,其中 a 为实数.

(1) 若 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1,?? ? 上有最小值,求 a 的范围;
14

(2) 若 g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论.

解: (1)

f ( x)' ? x ?1 ? a
'

g ( x)' ? e x ? a

由题意: f ( x) ? 0 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立 即 a ? x 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立
?1

?a ? 1

? g ? x ? 在 ?1,?? ? 上有最小值
a ? 0 时, g ( x)' ? 0 恒成立, g ( x) 在 ?1, ?? ? 无最值
a ? 0 时,由题意 ln a ? 1
综上: a 的范围是: a ? e (2)? g ? x ? 在 ? ?1, ?? ? 上是单调增函数

a?e

? g ( x)' ? 0 对 x ? ? ?1, ?? ? 恒成立
令 f ( x) ? 0 ,则 a ?

即 a ? e 对 x ? ? ?1, ?? ? 恒成立 ? a ? e
x

?1

ln x x ln x 图像交点的个数 x

则有 f ( x) 的零点个数即为 y ? a 与 y ? 令 h( x ) ?

ln x ? x ? 0? x

则 h( x ) ?
'

1 ? ln x x2

易知 h( x ) 在 ? 0, e ? 上单调递增,在 ? e, ?? ? 上单调递减 在 x ? e 时取到最大值 h(e) ? 当 x ? 0 时, h( x) ?

1 ?0 e

ln x ? ?? x ln x ?0 x

当 x ? ?? 时, h( x) ?

? h( x) 图像如下

15

所以由图可知: a ? 0 时, f ( x) 有 1 个零点

0?a?

1 时, f ( x) 有 2 个零点 e

1 a ? 时, f ( x) 有 1 个零点 e
综上所述: a ? 0 或 a ? 10..陕西(文)21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y = f (x) 与曲线 y ?

1 时, f ( x) 有 1 个零点 e

0?a?

1 时, f ( x) 有 2 个零点 e

1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点. 2

f (b) ? f (a) ?a?b? (Ⅲ) 设 a<b, 比较 f ? 的大小, 并说明理由. ?与 b?a ? 2 ?

解:(Ⅰ) y = x+ 1. 当 m ? (0,

e2 e2 e2 ) 时,有 0 个公共点;当 m= ( , ?) 2 个公共点; ? ,有 1 个公共点;当 m ? 有 4 4 4

(Ⅲ)

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) > b?a 2

(Ⅱ) (Ⅰ) f (x)的反函数 g ( x) ? ln x ,则 y=g(x)过点(1,0)的切线斜率 k= g' (1) .

g' (x) ?

1 ? k ? g' (1) ? 1 .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 x
1 2 x ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下。 2

(Ⅱ) 证明曲线 y=f(x)与曲线 y ?

令h( x) ? f ( x) ?

1 2 1 x ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R, 则 2 2
16

h' ( x) ? e x ? x ? 1, h' ( x)的导数h' ' ( x) ? e x ? 1, 且h(0) ? 0,h' (0) ? 0, ' ' (0) ? 0 ,h
因此,

当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递减;当x ? 0时h' ' ( x) ? 0 ? y ? h' ( x)单调递增 ? y ? h' ( x) ? h' (0) ? 0, 所以y ? h( x)在R上单调递增,最多有一个零点x ? 0
所以,曲线 y=f(x)与曲线 y ?

1 2 x ? x ? 1 只有唯一公共点(0,1).(证毕) 2

(Ⅲ) 设

f (a) ? f (b) f (b) ? f (a) (b ? a ? 2) ? f (a) ? (b ? a ? 2) ? f (b) ? ? 2 b?a 2 ? (b ? a)

?

(b ? a ? 2) ? e a ? (b ? a ? 2) ? e b (b ? a ? 2) ? (b ? a ? 2) ? e b ? a a ? ?e 2 ? (b ? a) 2 ? (b ? a)
x x x

令 g ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e , x ? 0, 则g ' ( x) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e ? 1 ? ( x ? 1) ? e 。

g ' ( x)的导函数g ' ' ( x) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0, 所以g ' ( x)在(0, ?)上单调递增,且 ?

g ' (0) ? 0.因此g ' ( x) ? 0,g ( x)在(0,??)上单调递增, 而g (0) ? 0,
所以在(0,??)上g ( x) ? 0 。

17


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