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安徽省淮北市第一中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学试题


淮北一中 2015-2016 学年度第一学期第一次月考 高二年级数学试卷
时间:120 分钟 满分:150 分 第 I 卷 选择题 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分) 1. 已知集合 A ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} , B ? {x | ln x ? 0} ,则 A∩B=(
A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 3} C. {x |1 ? x ? 3} )

D. {x | ?1 ? x ? 1} ) 3

2. 在△ABC 中, 若 sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C, 且满足 ab=4, 则该三角形的面积为(
A.1 B.2 C. 2 D.

3. 若 a ? 30.2 , b ? logπ 3 , c ? log3 cos
A. b ? c ? a B. b ? a ? c

2 ? ,则( 4
C. a ? b ? c

) D. c ? a ? b

4. 浓度为 a % 的酒精一满瓶共 mL ,每次倒出 nL(n ? m) ,再用水加满,一共倒了 10 次,加
了 10 次水后,瓶内酒精浓度为( A. (1 ? ) C. (1 ?

n 10 ) m

B. (1 ?

m 10 ) n

n 10 ) ? a% m

D. (1 ?

m 10 ) ? a% n

π 5. 函数 f ( x) ? 2 sin(? x ? ? )(x ? R ,? ? 0,|? |? ) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的单调 2
递减区间为 ( )

5? 11? ? k? , ? k? ], k ? z 12 12 5? 11? ? 2k? ], k ? z C. [ ? 2k? , 12 12

A. [

B. [

5? 11? ? k? ? x ? ? k? ], k ? z 6 6 ? 5? ? k? ], k ? z D. [? ? k? , 12 12

6. 如图,若依次输入的 x 分别为 6 、6,相应输出的 y 分别为 y1、y2,则 y1、y2 的大小关系是
( ) B. y1 ? y2 C. y1 ? y2 ) D.等腰三角形 D.无法确定 A. y1 ? y2

5π π

7. 在△ABC 中,若
A.直角三角形

tan A a 2 ? ,则△ABC 的形状是( tan B b 2
B.等腰或直角三角形

C.不能确定

)2 表 8. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一” 。如 (1101

示二进制的数,将它转换成十进制的形式为 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 13 ,那么将二进
3 2 1 0

制的数 111 ? 1 转换成十进制的形式为( ? ? ?
2015 位



A. 2

2016

?2

B.

22016 ? 1

C.

22015 ? 2

D. 2

2015

?1

9. 已知函数错误!未找到引用源。的值域为错误!未找到引用源。 ,则实数错误!未找到引用
源。的取值范围是( ) A. 错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 引用源。 D. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到

10. 某家庭电话在家里有人时,打进电话响第一声被接的概率为 0.1,响第二声时被接的概
率为 0.2,响第三声时被接的概率为 0.4,响第四声时被接的概率为 0.1,那么电话在响前 4 声内被接的概率是( D. 0.0008 ) A. 0.992 B. 0.0012 C. 0.8

11. 若函数 f ( x) 满足:在定义域 D 内存在实数 x 0 ,使得 f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立,则
称函数 f ( x) 为“ 1 的饱和函数” .给出下列四个函数:① f ( x ) ?

1 x ;② f ( x) ? 2 ;③ x

. f ( x) ? lg(x 2 ? 2) ;④ f ( x) ? cos?x .其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号为( ) A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④

12.函数 y ? 9 ? ( x ? 5) 2 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列, 则以下不可
能成为该等比数列的公比的数是( A. ) C.

3 4

B.

2

3
6 C

D. 5

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 C

5 A

7 B

8 D

9 B

10 C

11 B

12 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分) 13. 已知两个等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn ,且满足:
a7 ? b7

Sn 7n ? 2 ? ,则 Tn n?3

; (2 分)

a7 ? b5

(3 分)

1 14. 在等比数列 ?an ?中,a4 , a12 是方程 x 2 ? (6 ? 2 sin ? ) x ? 3 ? 0 的两个相异的根, 则 a8 ? 3

15. 在△ABC 中, AB ? 6 ? 2 , C ? 300 ,则 AC ? BC 的最大值是 16. (文)如下面数表为一组等式:某学生猜测 S2n?1 ? (2n ? 1)(an2 ? bn ? c) ,若该学生回
答正确 3a ? b ? .

s1 ? 1, s2 ? 2 ? 3 ? 5, s3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 15, s4 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 34,

(理)设 ?an ?是公比为 q(q ? 1) 的无穷等比数列,若 ?an ?中任意两项之积仍 s5 ? 11 ? 12 ? 13 ? 14 ? 15 ? 65,
???????
是该数列中的项,则称 ?an ?为“封闭的等比数列” 。给出一下命题: (1)若 a1 ? 3, q ? 2, 则?an ? 是 “封闭的等比数列” ; (2)若 a1 ? 4, q ? 2, 则?an ? 是 “封闭的等比数列” ; (3)若 ?an ? ,?bn ? 都是“封闭的等比数列” ,则 ?an ? ; bn ? ,?an ? bn ? 也都是“封闭的等比数列”
2 (4)不存在 ?an ?,使 ?an ?和 an 都是“封闭的等比数列” 。

? ?

以上正确的命题有

(填正确的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)

? 17. (本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? 2 3 sin x ? sin( x ? ) 2
(1)求 f ( x) 的最小正周期;

2? ] 上的取值范围. 3 解析: (1) f ( x) ? 1 ? cos 2x ? 2 3sin x ? cos x
(2)求函数 f ( x) 在区间 [0,

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1
? 2sin(2 x ? ) ? 1 6
所以 f ( x) 的最小正周期为 T ? (2)解: f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

????????????4 分

2? ?? 2

????5 分

?
6

) ?1

因为 x ? [0,

? ? 7? 2? ] , 所以 2 x ? ? [? , ] , 6 6 6 3
?
6 ) ? [ ?1, 2] 所以 f ( x) ? [0,3]

??????7 分

所以 2sin(2 x ? 即 f ( x) 在区间 [0,

????????9 分

2? ] 上的取值范围是 [0,3] . 3

????????10 分

18.(本题满分 11 分) 已知{an}是等差数列,其前 n 项的和为 Sn, {bn}是等比数列,且 a1
=b1=2,a4+b4=21, S4+b4=30. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记 cn=anbn,n∈N*,求数列{cn}的前 n 项和. 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q. 由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.???????????? 2 分
?2+3d+2q3=21, ?d=1, 由条件 a4+b4=21,S4+b4=30,得方程组? 解得? 3 ?8+6d+2q =30, ?q=2.

所以 an=n+1,bn=2n,n∈N*. (2)由题意知,cn=(n+1)×2n. 记 Tn=c1+c2+c3+?+cn. 则 Tn=c1+c2+c3+?+cn =2×2+3×22+4×23+?+n×2n 2 Tn=
-1

???????????? 6 分

+(n+1)×2n,


2×22+3×23+?+(n-1)×2n 1+n×2n+


(n+1)2n 1,


所以-Tn=2×2+(22+23+?+2n )-(n+1)×2n 1, ??????????? 9 分 即 Tn=n·2n 1,n∈N*.


???????????? 11 分

? c. C 所对的边分别为 a , b, 19.(本题满分 12 分) ???C 的内角 ? , 向量 m ? a, 3b ?,
与 n ? ? cos ?,sin ? ? 平行. (1)求 ? ; (2)若 a ?

?

?

?

7 , b ? 2 求 ???C 的面积.

? ? 解: (I)因为 m //n ,所以 a sin B - 3b cos A = 0 ,
由正弦定理,得 sinA sinB- 3 sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

从而 sin B =

21 , 7 2 7 . 7

又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B =

故 sinC ? sin ? A ? B ? ? sin ? ? ?

? ?

??

? ? 3 21 ? ? sin B cos ? cos B sin ? 3? 3 3 14

所以 ???C 的面积为

1 3 3 . bc sinA = 2 2

20. (本题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AA1 ⊥底面 ABC , 且△ ABC 为
正三角形, AA1 ? AB ? 6 , D 为 AC 的中点. (1)求证:直线 AB1 ∥平面 BC1 D ; (2)求证:平面 BC1 D ⊥平面 ACC1 A1 ; (3)求三棱锥 C ? BC1 D 的体积.

C1 A1 B1

C A D B

解: (1)证明:连接 B1C 交 BC1 于点 O,连接 OD,则点 O 为 B1C 的中点.???? 1分 ∵D 为 AC 中点,得 DO 为 ?AB1C 中位线,∴ A1 B // OD . ??2 分

?OD ? 平面AB1C, A1B ? 平面AB1C

∴直线 AB1∥平面 BC1D

??4 分 ????5 分 ???6 分

(2)证明:∵ AA1 ? 底面 ABC ,∴ AA1 ? BD ∵底面 ABC 正三角形,D 是 AC 的中点 ∴BD⊥AC ∵ AA1 ? AC ? A ,∴BD⊥平面 ACC1A1 ??7 分

? BD ? 平面BC1D ,?平面BC1D ? 平面ACC1 A1 ???????8 分

(3)由(2)知△ABC 中,BD⊥AC,BD=BCsin60°=3 ∴ S ?BCD = = ???10 分

又 CC 1 是底面 BCD 上的高 ∴ VC ? BC1D ? VC ?C1BD = ? ?6=9 ??12 分

21. (本题满分 12 分)已知圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 .
(1)此方程表示圆,求 m 的取值范围; (2)若(1)中的圆与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM ? ON ( O 为坐标 原点) ,求 m 的值; (3)在(2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程. 解: (1)方程 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ,可化为

? x ? 1?

2

? ? y ? 2? ? 5 ? m ,
2

∵此方程表示圆, ∴ 5 ? m ? 0 ,即 m ? 5 也可以利用公式 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 ,也可求得 m 的取值范围 (2) ?

? x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 4 ? 0
2

消去 x 得 ? 4 ? 2 y ? ? y 2 ? 2 ? ? 4 ? 2 y ? ? 4 y ? m ? 0 , 化简得 5 y 2 ?16 y ? m ? 8 ? 0 .当 ? ? 0 时。

16 ? y1 ? y2 ? , ① ? ? 5 设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,则 ? ? y y ? m ? 8 .② 1 2 ? 5 ?
由 OM ? ON 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 y1 y2 ? ? 4 ? 2 y1 ?? 4 ? 2 y2 ? ? 0 ,

∴ 16 ? 8 ? y1 ? y2 ? ? 5 y1 y2 ? 0 .将①②两式代入上式得

8 16 m?8 ? 5? ? 0 ,解之得 m ? . 5 5 5 8 (3)由 m ? ,代入 5 y 2 ?16 y ? m ? 8 ? 0 , 5 12 4 化简整理得 25 y 2 ? 80 y ? 48 ? 0 ,解得 y1 ? , y2 ? . 5 5

16 ? 8 ?

∴ x1 ? 4 ? 2 y1 ? ?

4 12 ? 4 12 ? ? 12 4 ? , x2 ? 4 ? 2 y2 ? .∴ M ? ? , ? , N ? , ? , 5 5 ? 5 5 ? ? 5 5?

∴ MN 的中点 C 的坐标为 ? , ?

?4 8? ?5 5?
2

又 MN ? ?

8 5 ? 12 4 ? ? 4 12 ? ? ? ?? ? ? ? 5 ? 5 5? ?5 5 ?

2

∴所求圆的半径为

4 5 5

∴所求圆的方程为 ? x ? ? ? ? y ? ? ?

? ?

4? 5?

2

? ?

8? 5?

2

16 5

22. (本题满分 13 分) 已知有穷数列 ?an ? 共有 2k 项(整数 k ? 2 )首项 a1 ? 2 .设该数列的 前 n 项和为 S n ,且 an?1 ? (a ? 1)S n ? 2, (n ? 1,2,?2k ? 1), 其中常数 a ? 1 .
(1) 求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2) 若 a ? 2
2 2 k ?1

, 数列 ?bn ?满足 bn ?

1 log 2 (a1 a 2 ? a n ), (n ? 1,2, ? 2k ), 求数列 ?bn ?的通 n

项公式; (3) 若(2)中的数列 ?bn ?满足不等式: b1 ? 求 k 的值。 解: (1)当 n=1 时 a2 ? 2a , 当 2 ? n ? 2k ? 1 时, an?1 ? (a ? 1)S n ? 2, an ? (a ? 1)S n?1 ? 2,

3 3 3 3 ? b2 ? ? ? ? b2 k ?1 ? ? b2 k ? ? 4 , 2 2 2 2

an?1 ? an ? (a ? 1)an ,故 an?1 ? aan ,综上的 ?an ? 是等比数列。
(2)由(1)得 an ? 2a n?1 , 所以 a1a2 ?an ? 2 n a1?2??( n?1) ? 2
n? n ( n ?1) 2 k ?1

bn ?

1 n(n ? 1) n ?1 [n ? ]? ? 1.(n ? 1,2, ? 2k ) n 2k ? 1 2k ? 1 3 1 (3)设 bn ? ,解得 n ? k ? ,又 n 是正整数,于是 2 2 3 3 当 n ? k 时, bn ? , 当 n ? k ? 1 时, bn ? . 2 2 3 3 3 3 3 故原式 ? ( ? b1 ) ? ( ? b2 ) ? ? ? ( ? bk ) ? (bk ? ) ? ? ? (b2 k ? ) 2 2 2 2 2

? (bk ?1 ? bk ?2 ? ? ? b2k ) ? (b1 ? b2 ? ?bk )

1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k 2 2 ?[ ? k] ? [ ? k] 2k ? 1 2k ? 1
? k2 2k ? 1



k2 ? 4 得 4?2 3 ? k ? 4?2 3 2k ? 1

又 k ? 2 所以当 k ? 2,3,4,5,6,7 时原不等式成立.

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