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三角函数公式(数学专业完整版)

级数定义

正弦函数(蓝色)十分接近于它的 5 次泰勒级数(粉红色) 。

只使用几何和极限的性质, 可以证明正弦的导数是余弦, 余弦的导数是负的正弦 (在 微积分中,所有角度都以弧度来度量)。使用泰勒级数,可以继续证明下列恒等式 对于所有实数 x 都成立:

这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。 它们经常被用做三角函数的 严格处理和应用的起点(比如,在傅立叶级数中),因为无穷级数的理论可 从实数系的基础上发展而来,不需要任何几何方面的考虑。这样,这些函数 的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。 其他级数可见于:[1]

这里的 是 n 次上/下数,

是 n 次伯努利数, (下面的)是 n 次欧拉数。 在这种形式的表达中,分母是相应的阶乘,分子称为“正切数”, 它有一个组合解释:它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列 (alternating permutation)。

在这种形式的表达中, 分母是对应的阶乘,而分子叫做“正割数”, 有组合解释:它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。

从复分析的一个定理得出, 这个实函数到复数有一个唯一的解析 扩展。它们有同样的泰勒级数,所以复数上的三角函数是使用上 述泰勒级数来定义的。 [编辑]与指数函数和复数的联系 可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数 在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分:

这个联系首先由欧拉注意到,叫做欧拉公式。 在这种方式下, 三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如,通

过上述恒等式, 如果考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆, 同 上面一样,我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化,复 指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。 进一步的,这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数:

这里的 i2 = ?1。还有对于纯实数 x,

我们还知道,这种指数过程与周期行为有密 切的联系。

恒等式
主条目:三角恒等式

三角函数之间存在很多恒等式,其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式,它说明对于任 何角, 正弦的平方加上余弦的平方总是 1。 这可从斜边为 1 的直角三角形应用勾股 定理得出。用符号形式表示,毕达哥拉斯恒等式为:

更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次幂:

在通常情况下括号可以省略。

另一个关键的联系是和差公式,它根据两个角度自身的正弦和余弦而给 出它们的和与差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用托勒密的论 证方法推导出来;还可以用代数方法使用欧拉公式得出。

当两个角相同的时候, 和公式简化为更简单的等式, 称为二倍角公式 (或 倍角公式)。 这些等式还可以用来推导积化和差恒等式,以前曾用它把两个数的积变 换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。(利用制好的三角函数 表) [编辑]微积分 三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。下面 是六个基本三角函数的导数和积分的列表。

[编辑]利用函数方程定义三角函数 在数学分析中,可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定 义三角函数。例如,取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式,可以 证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函 数 sin 和 cos 使得对于所有实数 x 和 y,下列方程成立:

并满足附加条件 . 从其他函数方程开始的推导也是可能的, 这种推导可 以扩展到复数。作为例子,这个推导可以用来定义伽 罗瓦域中的三角学。

反三角函数
主条目:反三角函数

由于三角函数属于周期函数,而不是单射函数,所以严格来说并没有反函数。因此 要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域,使得三角函数成为双射函数。基本 的反三角函数定义为: 反三角函数 定义 值域

对于反三角函数,符号 sin?1 和 cos?1 经常用于 arcsin 和 arccos。使用这种符号 的时候, 反函数可能跟三角函数的倒数混淆。 使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆, 尽管“arcsec”可能偶尔跟“arcsecond”混淆。 正如正弦和余弦那样,反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如,

这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如反正弦函数, 可以写为如下积分:

可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用复对数,可以把这些函数推 广到复数辐角上:

[编辑]性质和应用 三角函数,正如其名称那样,在三角学中是十分重要的,主要是 因为下列两个结果。 [编辑]正弦定理 正弦定理声称对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C 的三 角形,有:

也可表示为:

其中 R 是三角形的外接圆半径。

利萨茹曲线,一种三角基的函数形成的图像。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正 弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦 定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未 知边的长度。这是三角测量中常见情况。 [编辑]余弦定理 余弦定理(也叫做余弦公式)是托勒密定理的推广:

也可表示为:

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角 形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边 和一个角已知时确定未知的数据。 如果这个角不是两条边的夹角,那么三角形可能 不是唯一的(边-边-角)。要小心余弦定理的这 种歧义情况。 [编辑]正切定理 还有一个正切定理:

[编辑]周期函数

谐波数目递增的方波的加法合成的动画。

三角函数在物理中也是重要的。例如,正弦 和余弦函数被用来描述简谐运动,它描述了 很多自然现象,比如附着在弹簧上的物体的 振动,挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦 和余弦函数是圆周运动的一维投影。 三角函数在一般周期函数的研究中也很有 用。这些函数有作为图像的特征波模式,在 描述循环现象比如声波或光波的时候是很有 用的。每一个信号都可以记为不同频率的正 弦和余弦函数的(通常是无限的)和;这是 傅立叶分析的基础想法,这里的三角级数可 以用来解微分方程的各种边值问题。例如, 方波可以写为傅立叶级数

在右边的动画中, 可以看到只用少数的项 就已经形成了非常准确的估计。

反三角函数
补角:

负数参数:

倒数参数:

如果

如果

如果

如果

如果有一段正弦表: 如果

注意只要在使用了复数的平方根的时候,我们选择正实部的平方根(或者正虚部,如 果是负实数的平方根的话)。

从半角公式

,可得到:

如果

arcsin x + arcsin y

arcsin x - arcsin y

arccos x + arccos y

arccos x - arccos y

arctan x + arctan y

arctan x - arctan y

arccot x + arccot y

arcsin x + arccos x

arctan x + arccot x

对于

的实数值的简单导数如下:

反三角函数的导数



,得到:

因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上 设 ,得到:

因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上 设 ,得到:



,得到:



,得到:

因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上 的绝对值 上绝对值 设 ,得到: 的定义域是

,比较容易被忽略是

产生

,其所产生的反函数皆为正,所以需要加

因为要使根号内部恒为正,所以在条件加上 的绝对值 的定义域是 所以需要加上绝对值

,比较容易被忽略是

产生

,其所产生的反函数皆为负,

表达为定积分
积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式:

当 x 等于 1 时,在有极限的域上的积分是瑕积分,但仍是良好定义的。

无穷级数
如同正弦和余弦函数,反三角函数可以使用无穷级数计算如下:

欧拉发现了反正切的更有效的级数:

(注意对 n= 0 在和中的项是空积 1。)

反三角函数的不定积分

使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。

基本关系
毕达哥拉斯三角恒等式如下:

由上面的平方关系加上三角函数的基本定义,可以导出下面的表格,即每个三角函 数都可以用其他五个表达。 (严谨地说,所有根号前都应根据实际情况添加正负号) 函数 sin cos tan cot sec csc

角的和差恒等式
它们也叫做“和差定理”或“和差公式”。最快的证明方式是欧拉公式。

正弦

余弦

正切

余切

正割

余割

注意正负号的对应。

倍角公式和半角公式
这些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。
弦 切 割



半 角 公 式



二 倍 角 公 式





三 倍 角 公 式





四 倍 角 公 式





积化和差与和差化积恒等式
数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》给出积化和差与和差化积 恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。 积化和差 和差化积

线性组合
对于某些用途,知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周 期但不同相位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下,我们 有

这里的

更一般的说,对于任何相位移动,我们有

这里



积分只有 sin 的函数

其中

其中

(其中

是 余矢(Coversine)函数(参阅正矢(versine)函数))

其 中

其中

其 中

其 中

积分只有 cos 的函数

积分只有 tan 的函数

积分只有 sec 的函数

积分只有 csc 的函数

积分只有 cot 的函数

积分只有 sin 和 cos 的函数

also:

also:

also:

also:

also:

积分只有 sin 和 tan 的函数

积分只有 cos 和 tan 的函数

积分只有 sin 和 cot 的函数

积分只有 cos 和 cot 的函数

积分只有 tan 和 cot 的函数

含有 a2 ? x2 的积分
在积分

中,我们可以用以下的代换:

这样,积分变为:

注意以上的步骤需要 a > 0 和 cos(θ) > 0;我们可以选择 a 为 a2 的算术平方根,然 后用反正弦函数把 θ 限制为?π/2 <θ < π/2。 对于定积分的计算,我们必须知道积分限是怎样变化。例如,当 x 从 0 增加到 a/2 时,sin(θ)从 0 增加到 1/2,所以 θ 从 0 增加到 π/6。因此,我们有:

含有 a2 + x2 的积分
在积分

中,我们可以用以下的代换:

这样,积分变为:

(a > 0)。

含有 x2 ? a2 的积分

以下的积分

可以用部分分式的方法来计算,但是,

则必须要用换元法:

含有三角函数的积分
对于含有三角函数的积分,可以用以下的代换:

反三角函数积分表
逆正弦

?

?

?

?

逆正切

?

?

?

?

逆正割

?

?

?

逆余切

?

?

?

?

一般求导法则
线性:

乘法定则:

倒数定则:

除法定则:

复合函数求导法则:

反函数的导数:

广义幂法则:

代数函数的导数
(n 为任意实常数)

指数和对数函数的导数

三角函数的导数

双曲函数的导数

特殊函数的导数
伽玛函数


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