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江西省宜春市上高二中2015-2016学年高二上学期第三次月考试题 数学(理)

2017 届高二年级第三次月考数学(理科)试卷
命题人: 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 在命题“若抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的开口向下, 则 {x | ax2 ? bc ? c ? 0} ? ? ”的逆命题、 否命题和逆否命题中( ) A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 2.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 为三个不同的平面,则下列命题中错误 的是( ) .. A. 若m ? ? , m ? ? , 则? / / ? B. 若m ? ? , n ? ? , 则m / / n C. 若? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? D. 若? / /? , ? / /? , 则? / / ? 3.下列命题中正确的是( ) A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p 且 q”为真命题

1 ? ”是“ ? ? ”的充分不必要条件 2 6 C. l 为直线, ? , ? ,为两个不同的平面,若 l ? ? , ? ? ? ,则 l / / ? ;
B.“ sin ? ? D.命题“?x∈R,2 >0”的否定是“?x0∈R, 2 x0 ≤0” 4.一个空间几何体的主视图,侧视图如下图,图中的单位为 cm,六边形是正六边形,则这个 空间几何体的俯视图的面积是( )
x

A. 6 3 cm

2 2

B. 8 3 cm D.20 cm
2

2

C. 10 3 cm

2 3

5.如图,在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

???? ? ? ????? ? M 为 AC与BD 的交点.若 A B A1D1 ? b , 1 1 =a ???? ? A1 A ? c ,则下列向量中与 B1 M 相等的向量是( 1? 1? ? 1? 1? ? A. - a ? b ? c B. a ? b ? c 2 2 2 2 ? ? ? ? 1 1 1 1? ? C. a ? b ? c D. - a ? b ? c 2 2 2 2

主视图 )

5 侧视图

2 6.方程 ( x ? ? y ? 2 y ? 8 ) x ? y ? 0 表示的曲线为(

)

A.一条直线和一个圆 B.一条线段与一段劣弧 C.一条射线与一段劣弧 D.一条射线与半圆 7.正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为(

)

6 3 2 B. C. 3 3 3 2 2 , 2? 的切线方程为( 8.圆 P : x ? y ? 5 ,则经过点 M ?? 1 A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0
A.
2 2

D. )

2 3

D. x ? 2 y ? 5 ? 0

9.已知 F1 、 F2 是椭圆 C:

? ? x y ? 2 ? 1 的左右焦点, P 是 C 上一点, 3 | PF1 | ? | PF2 |? 4b 2 , 2 a b

则 C 的离心率的取值范围是( A. [ ,1)



1 3 3 C. [ D. (0, ] ] ,1) 2 2 2 2 2 x y 10.已知点 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,点 P 是椭圆上的一个动 a b
B. (0,

1 2

点,若使得满足 ?PF1F2 是直角三角形的动点 P 恰好有 6 个,则该椭圆的离心率为( A .

)

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 3
)

11.若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 y ? x 无公共点,则离心率 e 的取值范围( a 2 b2

A. (1,2] B. (1,2) C. (1, 2 ] D. (1, 2 ) 12.若椭圆的中心在原点,一个焦点为 F (0,2) ,直线 y ? 3 x ? 7 与椭圆相交所得弦的中点的纵 坐标为 1,则这个椭圆的方程为( ) 2 2 2 2 x y x y x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 16 20 12 16 12 8 8 12 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.抛物线 x ? 8ay 2 的焦点 F 的坐标是 ; 14.如图所示, ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP=

a ,过 P,M,N 的 3

平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=__________. 15.如果直线 L1:y ? 2 x ? 1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相交于 A、B 9 4


两点,直线 L2 与该椭圆相交于 C、D 两点,且 ABCD 是平行四边形,则 L2 的方程是 16. 给 出 下 列 命 题 : ① 直 线 x ? 3 y ?1 ? 0 的 倾 斜 角 是

2? ;②已知过抛物线 3 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的 焦 点 F 的 直 线 与抛 物 线 C 交 于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两 点 , 则有

p2 x2 y 2 2 x1 x2 ? , y1 y2 ? ? p ;③已知 F1 、 F2 为双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 为双 4 a b 曲线右支上异于顶点的任意一点,则 ?PF1 F2 的内心 I 始终在一条直线上.
其中所有正确命题的序号为 .

2017 届高二年级第三次月考数学(理科)答题卡
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. ;14. ;15. ;16.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题共 10 分) 求与直线 x ? y ? 7 ? 0 相切于点(3, 4),且在 y 轴上截得的弦长为 2 7 的圆的方程.

18.(本小题共 12 分) 设命题 p : ?x0 ? R, x02 ? 2ax0 ? a ? 0 ;命题 q : ?x ? R, ax2 ? 4 x ? a ? ?2x2 ? 1 . 如果命题“ p ? q 为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题共 12 分)已知双曲线 C 的方程为: (1)求双曲线 C 的离心率;

x2 y 2 ? ?1 9 16

(2)求与双曲线 C 有公共的渐近线,且经过点 A( ?3, 2 3 )的双曲线的方程.

20.(本小题共 12 分) 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? AB ? AC ? 1 , E , F 分别是 CC1 , BC 的中点,

AE ? A1B1 , D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明: DF ? AE ;
(2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为

14 ? 14

若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由.

21.(本小题共 12 分) 已知动点 P 与两定点 A( ?2,0) 、 B(2,0) 连线的斜率之积为 ? (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2) 若过点 F (? 3,0) 的直线 l 交轨迹 C 于 M、 N 两点, 且轨迹 C 上存在点 E 使得四边形 OMEN(O 为坐标原点)为平行四边形,求直线 l 的方程.

1 4

22. (本小题共 12 分) 已知 M 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一动点, A(a,0)(a ? 0) 为其对称轴上一点,直线 MA 与 抛物线的另一个交点为 N .当 A 为抛物线的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时,△ OMN 的 面积为

9 . 2

(1)求抛物线的标准方程; (2)记 t ?
1 1 ? ,若 t 的值与 M 点位置无关, | AM | | AN |

则称此时的点 A 为“稳定点”,试求出所有“稳 定点”,若没有,请说明理由.

2017 届高二年级第三次月考数学(理科)参考答案
1—12 D C D D A B A B A B C D 13. (

1 2 2 , 0) ;14. a ;15. y=2x-1;16. ②③ 32a 3

17.解:由题意圆心在 x ? y ? 1 ? 0 上,设圆心为 (a, a ? 1) , 则 ( 7)2 ? a2 ? (a ? 3)2 +(a+1 ? 4)2 ,解得 a ? 1 或 11,所以 r ? a2 ? 7 ? 2 2 或 8 2 ,所以圆 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 8 或 ( x ? 11)2 ? ( y ? 12)2 ? 128 18.解:当命题 p 为真时,Δ =4a +4a≥0 得 a≥0 或 a≤-1, 2 当命题 q 为真时, (a+2)x +4x+a-1≥0 恒成立, ∴a+2>0 且 16-4(a+2) (a-1)≤0,即 a≥2. 由题意得,命题 p 和命题 q 一真一假. 当命题 p 为真,命题 q 为假时,得 a≤-1∪0≤a<2 当命题 p 为假,命题 q 为真时,得 a∈?; ∴实数 a 的取值范围为(-∞,-1]∪[0,2 ) 19.解: (1)由双曲线方程
2

x2 y 2 ? ? 1 可知 a2 ? 9, b2 ? 16 ,? c 2 ? a 2 ? b2 ? 25 , 9 16

? a ? 3, b ? 5 ,? e ?

c 5 ? . a 3

(2)依题意设所求双曲线方程为

x2 y 2 ? ? ?, ? ? ? 0? , 9 16

2 2 3 ?3? ? ? 将点 A ?3, 2 3 代入可得 9 16

?

?

?

?

2

? ? ,解得 ? ?

1 , 4

所以所求双曲线方程为

x2 y2 1 4x2 y 2 ? ? 1. ? ? ,即 9 4 9 16 4

20.解: (1)证明:∵ AE ? A1B1 , A 1B 1 / / AB,? AE ? AB 又∵ AA 1 ACC1 . 1 ? AB, AA 1 ? AE ? A ∴ AB ⊥面 A 又∵ AC ? 面 A 1 ACC1 ,∴ AB ? AC , 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz ,

则有 A ? 0, 0, 0 ? , E ? 0,1, ? , F ? , , 0 ? , A1 ? 0, 0,1? , B1 ?1, 0,1? , 设 D ? x, y, z ? , A1D ? ? A1B1 且 ? ? ? 0,1? , 即 ? x, y, z ?1? ? ? (1,0,0) ,则 D(? ,0,1),? DF ? ?

? ?

1? 2?

?1 1 ?2 2

? ?

???? ?

???? ?

???? ? 1 1 ? ? ? , , ?1? , 2 ?2 ?

∵ AE ? ? 0,1, ? ,? DF ? AE ?

??? ?

? ?

1? 2?

???? ??? ?

1 1 ? ? 0 ,所以 DF ? AE ;?6 分 2 2
14 14

(2)结论:存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 理由如下:由题可知面 ABC 的法向量 n ? ? 0,0,1?

?

? ??? ? ? ? ? n ? FE ? 0 设面 DEF 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ? ???? , ? ?n ? DF ? 0
∵ FE ? ? ? , , ? , DF ? ?

??? ?

? 1 1 1 ? ???? ? 2 2 2?

1 ?1 ? ? ? , , ?1? , 2 ?2 ?

3 ? 1 1 ? 1 x? z ? x ? y ? z ? 0 ? ? 2 ?1 ? ? ? 2 2 ? ? 2 ∴? ,即 ? , 1 1 1 ? 2? ? ? ?? y? z ? ???x? y ? z ? 0 ? ? 2 2 ?1 ? ? ? ? ?? 2 ? ? 令 z ? 2 ?1 ? ? ? ,则 n ? ? 3,1 ? 2? , 2 ?1 ? ? ? ? .
∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为

14 , 14

?? ? m?n ?? ? 2 ?1 ? ? ? 14 14 ∴ cos m, n ? ?? ? ? ,即 , ? 2 2 14 14 m n 9 ? ?1 ? 2? ? ? 4 ?1 ? ? ?
解得 ? ?

1 7 或 ? ? (舍) ,所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求. 2 4

x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) 21. 解: (1) 4
(2)易知直线 l 的斜率不为 0,故可设直线 l : x ? my ? 3, 设 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ), 因为四边 形 OMEN 为平行四边形,所以 OE ? OM ? ON ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? E ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ),

uuu r

uuur uuu r

联立 ?

? x ? my ? 3 ?

2 2 ? y ? y ? 2 3m ,所以 ? ( m ? 4) y ? 2 3 my ? 1 ? 0 1 2 2 2 m2 ? 4 ? ?x ? 4 y ? 4 ? 0

x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 3 ? ?

8 3 ,因为点 P ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 在椭圆上,所以 m2 ? 4
?8 3 2 2 3m 2 ) ? 4( 2 ) ? 4 ? m4 ? 4m2 ? 32 ? 0 ,解得 2 m ?4 m ?4

( x1 ? x2 ) 2 ? 4( y1 ? y2 ) 2 ? 4 ? (

m ? ?2 2, 故直线 l 的方程为 x ? 2 2 y ? 3 ? 0 或 x ? 2 2 y ? 3 ? 0
22. 解: (Ⅰ)由题意 S?MON ?

1 1 p p2 9 ? | OA | ? | MN |? ? ? 2 p ? ? 2 2 2 2 2

? p ? 3 ,抛物线 C 的方程为 y 2 ? 6 x
(Ⅱ)设 M ( x1, y1 ),N ( x2 , y2 ) ,直线 MN 的方程为 x ? my ? a 联立 ?

? x ? my ? a y 2 ? 6my ? 6a ? 0 ? ? 36m2 ? 24a ? 0 得 , 2 ? y ? 6x

y1 ? y2 ? 6m , y1 y2 ? ?6a
因为 a ? 0 时, y1 y2 ? ?6a ? 0 , ? y1,y2 异号,又

t?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 | AM | | AN | 1 ? m | y1 | 1 ? m | y2 | 1 ? m y1 y2

2 a ?1 2 1 ( y1 - y2 )2 1 ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 1 36 m ? 24 a 1 3 ?t ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ? ) 2 2 2 2 1 ? m ( y1 y2 ) 1? m ( y1 y2 ) 1 ? m2 36a 2 a2 1 ? m2
2

2 3 a ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,t 与 m 无关,此时 A 即抛物线 C 的焦点,即抛物线 C 对称轴 3 2 3 上仅有焦点 ( , 0) 这一个“稳定点” 2
所以,仅当


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