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空间几何体1.1空间几何体的结构第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课件新人教A版必修2


§1.1 空间几何体的结构 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

学习目标

1.通过对实物模型的观察,归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的

结构特征( 重点).2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实 物模型(重、难点).

知识梳理
知识点1 空间几何体 形状 和______ 大小 ,而不考虑其他因素,那么由这些物体 1.概念:如果只考虑物体的______ 空间图形 叫做空间几何体. 抽象出来的___________

2.多面体与旋转体
类别 定义 图示

平面多边形 围成的几何体 多面体 由若干个___________

平面图形 绕它所在平面内的一条 由一个__________ 定直线 旋转所形成的封闭几何体,其中定 旋转体 _______ 直线叫做旋转体的轴

【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)多面体是由平面多边形和圆面围成的. 可以是圆或直线或其他曲线. ( ×) ( √)

(2)旋转体是由 “平面图形”旋转而形成的,这个平面图形可以是平面多边形,也

知识点2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体 定义 平行 , 有两个面互相______ 四边形, 其余各面都是______ 图形及表示 相关概念 底面(底):两个相 互平行的面. 按底面多边形的 边数分:三棱柱、 四棱柱、 分类

并且每相邻两个四边
棱柱 形的公共边都互相

侧面:其余各面.
侧棱:相邻侧面的

平行 ,由这些面所 如图可记作:棱 公共边. ______ 围成的多面体叫做棱 柱ABCDEF- 柱 A′B′C′D′E′F′ 顶点:侧面与底面 的公共顶点

……

底面(底):多边形 有一个面是_______ 多边形 , 其余各面都是有一个 棱锥 公共顶点的________ 三角形 , 面.

侧面:有公共顶点 按底面多边形的
的各个三角形面. 边数分:三棱锥、

由这些面所围成的多 如图可记作:棱
面体叫做棱锥 锥 S-ABCD

侧棱:相邻侧面的 四棱锥、 公共边. 顶点:各侧面的公 ……

共顶点

上底面:原棱锥的截面.

用一个________ 平行于棱
________ 锥底面 的平面 棱台 去截棱锥,底面 与截面之间的部 分叫做棱台 如图可记作:棱台 ABCD-A′B′C′D′

下底面:原棱锥的底面.
侧面:其余各面. 侧棱:相邻侧面的公共 边. 顶点:侧面与上(下)底

由三棱锥、四 棱锥、五棱锥 ……截得的棱

台分别叫做三
棱台、四棱台、 五棱台……

面的公共顶点

【预习评价】

1.下列棱锥有6个面的是(
A.三棱锥 C.五棱锥 答案 C

)

B.四棱锥 D.六棱锥

2.下面属于多面体的是________(将正确答案的序号填在横线上).

①建筑用的方砖;②埃及的金字塔;③茶杯;④球.
答案 ①②

题型一

棱柱的结构特征 )

【例1】 下列说法正确的是(

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形

解析

选项A、B都不正确,反例如图所示 .选项C也不正

确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形
的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.

答案 D

规律方法 1.判断一个几何体是否为棱柱的方法
(1)有两个面互相平行; (2)其余各面是平行四边形; (3)每相邻两侧面的公共边都互相平行. 这三个条件缺一不可,解答此类问题要思维严谨,紧扣棱柱的定义.

2.棱柱概念的推广 (1)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.

(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
(3)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. (4)平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体,即平行六面体的六 个面都是平行四边形. (5)长方体:底面是矩形的直棱柱叫做长方体.

(6)正方体:棱长都相等的长方体叫做正方体.

【训练1】 下列命题中,正确的是( A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点

)

B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C.棱柱的侧面是平行四边形,而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱相等,侧面是平行四边形

解析

A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点;对于 B选项,如下图(1),构造四棱柱

ABCD-A1B1C1D1,令四边形ABCD是梯形,可知面ABB1A1∥面DCC1D1,但这两个 面不能作为棱柱的底面;选项 C中,如下图 (2),底面 ABCD可以是平行四边形; D 选项说明了棱柱的特点,故选D.

答案 D

题型二 棱锥、棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法: ①棱台的侧面一定不会是平行四边形;②由四个平面围成的封闭图形只能是三 棱锥;③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是________.

解析 ①正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形; ②正确,由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥; ③错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

答案 ①②

规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法: 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法: 棱锥 定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 棱台 两个互相平行的面,即为底面

看侧棱

相交于一点

延长后相交于一点

【训练2】 下列说法中,正确的是( ①棱锥的各个侧面都是三角形;

)

②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥; ③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面;

④棱锥的各侧棱长相等.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④

解析

由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;有一个面是多边形,

其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是
棱锥,故②错;四面体就是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个 面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等, 故④错. 答案 B

考查 方向 方向1 绘制展开图

题型三 空间几何体的平面展开图

【例3-1】 画出如图所示的几何体的表面展开图.

解 表面展开图如图所示:

方向2 由展开图复原几何体 【例3-2】 如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体?

解 ①为五棱柱;②为五棱锥;③为三棱台.

方向3 求几何体表面上两点间的距离 【例3-3】 解 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点

A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线. 沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段 AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:
(1) 若将 C1D1 剪开,使面 AB1 与面 A1C1 共面,可求得 AC1 = 42+(5+3)2= 80=4 5.

(2)若将 AD 剪开, 使面 AC 与面 BC1 共面, 可求得 AC1= 32+(5+4)2= 90=3 10. (3)若将 CC1 剪开,使面 BC1 与面 AB1 共面,可求得 AC1= (4+3)2+52= 74. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为 74.

规律方法

(1) 绘制展开图:绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征,

发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中,常常给多面体的顶 点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展 开图.

(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面
体展开的,则可把上述过程逆推.同一个几何体的平面展开图可能是不一样的,也 就是说,一个多面体可有多个平面展开图.

(3)求几何体表面上两点间的距离的方法:求从几何体的表面上一点,将几何体表

面运动到另一点,所走过的最短距离,常将几何体沿某条棱剪开,使两点展在一个
平面上,转化为求平面上两点间的最短距离问题.

课堂达标

1.下列说法错误的是( A.多面体至少有四个面

)

B.六棱柱有6条侧棱,6个侧面,侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形,故选项D错. 答案 D

2.下列说法中正确的是(

)

A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中任意两个侧面都不可能互相平行 C.棱柱的侧棱就是棱柱的高 D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形

解析

棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方

体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它 的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边 形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错. 答案 A

3.下列几何体中,________是棱柱,________是棱锥,________是棱台(仅填相应序

号).

解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.

答案 ①③④ ⑥ ⑤

4.对棱柱而言,下列说法正确的序号是________.

①有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形;②所有的棱长都相等;③棱
柱中至少有两个面的形状完全相同;④相邻两个面的交线叫做侧棱. 解析 ①正确,根据棱柱的定义可知;②错误,因为侧棱与底面上的棱长不一定 相等;③正确,根据棱柱的特征知,棱柱中上下两个底面一定是全等的,棱柱中 至少有两个面的形状完全相同;④错误,因为底面和侧面的交线不是侧棱. 答案 ①③

课堂小结 1.在理解的基础上,要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义,能够根据定义判断几何体的 形状. 2.棱柱、棱台、棱锥关系图


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