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2018-2019版高中数学北师大版必修三文档第一章§4(4.1-4.2)平均数、中位数、众数、极差、方差标准差含答案

§4 数据的数字特征 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2 标准差 学习目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、方差、标准差(重点).2.理解用 样本的数字特征估计总体的数字特征的方法 (难点 ).3.会应用相关知识解决简单 的统计问题(重点、易错点). 预习教材 P25-31 完成下列问题: 知识点 1 众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数定义 (1)众数:一组数据中重复出现次数最多的数. (2)中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置(或中间两个数的 平均数)的数称为这组数据的中位数. 1 - (3)平均数:如果 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x=n(x1+x2+…+xn)称为这 n 个数 的平均数. 【预习评价】 1.众数、中位数、平均数有什么优缺点? 提示 (1)众数:众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其他数据信息的忽 视使得它无法客观地反映总体特征. (2)中位数:中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数几个极端值的影 响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点. (3)平均数:平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数 据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低. 2.一组数据的众数可以有几个?中位数是否也具有相同的结论? 提示 一组数据的众数可能有一个,也可能有多个,中位数只有唯一一个. 知识点 2 1.标准差 (1)平均距离与标准差 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示. 假设样本数据是 x1,x2,…,xn,x 表示这组数据的平均数.xi 到 x的距离是|xi- x|(i =1,2,…,n), 则用如下公式来计算标准差: s= 1 - 2 - 2 - 2 n[?x1-x ? +?x2-x ? +…+?xn-x ? ]. - - - 标准差、方差 (2)计算标准差的步骤 ①求样本数据的平均数 x; ②求每个样本数据与样本平均数的差 xi-x (i=1,2,…,n); ③求(xi-x )2(i=1,2,…,n); - - - 1 - - - ④求 s2=n[(x1-x )2+(x2-x)2+…+(xn- x)2]; ⑤求 s= s2,即为标准差. 2.方差 标准差的平方 s2 叫作方差. 1 - - - s2=n[(x1-x )2+(x2- x)2+…+(xn- x)2], 其中,xi(i=1,2,…,n)是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数. 【预习评价】 如何理解方差与标准差概念? 提示 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越 - 大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离 散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽 然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时, 一般多采用标准差. 题型一 众数、中位数、平均数的简单运用 【例 1】 职务 人数 工资 某公司的 33 名职工的月工资(以元为单位)如下表: 董事长 1 5 500 副董事长 1 5 000 董事 2 3 500 总经理 1 3 000 经理 5 2 500 管理员 3 2 000 职员 20 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元, 董事长的工资从 5 500 元提 升到 30 000 元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你 的看法. 解 (1)平均数是: x=1 500+ - ?4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20? ≈1 500+591= 33 2 091(元), 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (2)新的平均数是x′=1 500+ 28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20 ≈1 500+1 788= 33 3 288(元), 新的中位数是:1 500 元,新的众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平 ,因为公司中 少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大, 这样导致平均数与中位数偏差较 - 大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. 【例 2】 为了解 A,B 两种轮胎的性能,某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随 机抽取了 8 个进行测试,下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位:1 000 km) 轮胎 A 96,112,97,108,100,103,86,98 轮胎 B 108,101,94,105,96,93,97,106 (1)分别计算 A,B 两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数; (2)分别计算 A,B 两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差; (3)根据以上数据你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定? 解 (1)A 轮胎行驶的最远里程的平均数为: 96+112+97+108+100+103+86+98 =100, 8 100+98 中位数为: =99; 2 B 轮胎行驶的最远里程的平均数为: 108+101+94+105+96+93+97+106 =100, 8 101+97 中位数为: 2 =99. (2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为:112-86=26, 标准差为 s= ?-4?2+122+?-3?2+82+0+32+?-14?2+?-2?2 8 221 = 2 ≈7.43. B 轮胎行驶的最远里程的极差为:108-93=15, 标准差为:s= 82+12

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