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2015-2016高中数学 4.2.2圆与圆的位置关系课件 新人教A版必修2

4.2.2

圆与圆的位置关系

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1.正确理解圆与圆的位置关 系. 2.会判断两圆的位置关系.

典 例 精 析

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题型一

两圆的位置关系

例 1 已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+y2 +2x-2my+ m2-3=0,m 为何值时: (1)圆 C1 与圆 C2 相外切? (2)圆 C1 与圆 C2 内含? 解析:对于圆 C1,圆 C2 的方程,经配方后 C1: (x- m)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y- m)2=4. (1)如果 C1 与 C2 外切,则有 ( m+1)2+( m+2)2=3+2,
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∴ m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 2. (2)如果 C1 与 C2 内含,则有 ( m+1)2+( m+2)2<3-2, (m+ 1) +(m+2) <1, m +3m+2<0, 得-2<m<- 1, ∴当 m=-5 时,或 m=2 时,C1 与 C2 外切; 当-2<m<-1 时,C1 与 C2 内含.
2 2 2

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点评:判断两圆的位置关系通常用几何法,这种方法比较直观, 容易理解.设圆 C1 的圆心为 O1,半径为 r1,圆 C2 的圆心为 O2,半 径为 r2,则有如下关系: 相交?|r1- r2|<|O1O2|<r1+ r2;
? ?内切?|O1O2|=|r1-r2|, 相切? ? ?外切?|O1O2|=r1+r2;
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外离?|O1O2|>r1+r2; 内含?|O1O2|<|r1-r2|.

?跟踪训练 1.判断下列两圆的位置关系. (1)(x+2)2+(y-2)2=1 与(x-2)2+(y-5)2=16; (2)x2+y2+6x-7=0 与 x2+y2+6y-27=0. 解析:(1)根据题意得,两个圆的半径分别为 r1=1 和 r2=4,两 圆的圆心距 d= [2-(-2)]2+(5-2)2=5. 因为 d= r1+ r2,所以两圆外切. (2)将两圆的方程化为标准方程, 得(x+3)2+ y2=16,x2+(y+3)2=36. 故两圆的半径分别为 r1=4 和 r2=6, 两圆的圆心距 d= (0-3)2+(3-0)2=3 2. 因为|r1- r2|<d<r1+ r2,所以两圆相交.
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题型二

与圆相交的问题

例2

圆 A 的方程为 x2+y2-2x-2y-7=0,圆 B 的方程为 x2
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+y2+2x+2y-2=0,判断圆 A 和圆 B 是否相交.若相交,求过两 交点的直线的方程及两交点间的距离;若不相交,说明理由. 解析:圆 A 的方程可写为(x-1)2+(y-1)2=9,圆心 A(1,1), 半径 rA=3.圆 B 的方程可写为(x+1)2+(y+1)2=4,圆心 B(-1,- 1),半径 rB=2.

∴两圆心之间的距离满足 3-2<|AB|= (1+1)2+(1+1)2=2 2<3+2.即两 圆心之间的距离小于两圆半径之和且大于两圆半径之差,∴两圆相交. 两圆方程左、右两边分别相减可得 4x+4y+5=0,设两圆交点分别为 C,D,则 C, D 两点坐标满足上述方程,故两圆公共弦所在的直线方程为 4x+4y+5=0. |4×1+4×1+5| 13 ∵圆心 A 到直线 CD 的距离为 d= = 2. 2 2 8 4 +4 由勾股定理,得|CD|=2
2 rA -d2=2

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132 238 3- = . 32 4
2

∴两圆相交,过两交点的直线方程为 4x+4y+5=0,两交点间的距离为

238 . 4

点评:求两圆的公共弦所在的直线方程,只需把两 个圆的方程相减即可.这是因为若两圆相交,其交 点坐标必定满足相减后的方程;另一方面,相减后 的方程为二元一次方程,即直线的一般方程,故此 方程即为两圆公共弦所在直线方程.而在求两圆的 公共弦长时,则应注意数形结合思想方法的灵活运 用.

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2.已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2:x2+y2-4x+2y -11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长. 解析:设两圆交点为 A(x1,y1),B(x2, y2),则 A,B 两点坐标 是方程组
2 2 ? x + y +2x-6y+1=0, ? ? 2 2 ? ?x +y -4x+2y-11=0, ②



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的解,①-②得 3x-4y+6=0. ∵A,B 两点坐标都满足此方程, ∴3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程.

易知圆 C1 的圆心(-1,3),半径 r=3. 又 C1 到直线 AB 的距离为 |-1×3-4×3+6| 9 d= = . 2 2 5 3 +4 ∴|AB|=2 r -d =2 24 即两圆的公共弦长为 . 5
2 2

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2

?9 ?2 24 3 -? ? = . 5 ?5 ?

题型三

与两圆相切的问题

例 3 求与圆 C:x2+y2-2x=0 外切且与直线 l:x+ 3y=0 相切于点 M(3,- 3)的圆的方程. 解析:圆 C 的方程可化为(x-1)2+ y2=1,圆心 C(1,0),半径为 1. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
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? ?b+ 3×??- 3??=-1, 由题意可得? a- 3 ? 3 ? ?|a+ 3b|=r, ? 2
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4.

(a-1)2+b2=r+1, a= 4, ? ? 解得?b=0, ? ?r= 2.

点评:两圆外切时常用圆心距等于半径之和求 解.圆与直线相切时,该圆心到这条直线的距离 等于圆的半径,若已知切点坐标,也可以用切点 与圆心间的距离得圆的半径.本题是设出圆的方 程,根据已知条件列出关于a,b,r的方程组,用 待定系数法求解.

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?跟踪训练 3.半径为 3 的圆 C1 与圆 C2:x2+(y-3)2=1 内切,切点为(0,2),求圆 C1 的方程. 解析:因半径为 3,设圆 C1 的方程为(x-a)2+(y- b)2=9,则圆心 C1(a, b), 由已知得圆 C2 圆心为 C2(0, 3), 半径 r=1.圆心距 d= (a-0)2+(b-3)2 = a2+(b-3)2 . 因 C1 与 C2 内 切 , 故 d = |R - r| = |3 - 1| = 2 , 即 : a2+(b-3)2=2.① 因切点为(0,2),故(0- a)2+(2-b)2=9, 即: a2+(2-b)2=9,② 联合解方程①②得: a=0,b=5. 所以圆 C1 的方程为:(x-0)2+(y-5)2=9, 即:x2+(y-5)2=9.
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