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高中函数图像应用


高中数学学案 B 类

李叶军

函数的图像变化及应用 1.六类基本初等函数的图象 它们分别是:一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数. 2.图象变换法 (1)平移变换 ①水平平移:y=f(x± a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移 a 个单位而得到. ②竖直平移:y=f(x)± b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移 b 个单位而得到. (2)对称变换 ①y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.②y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. ③y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. ④y=ax(a>0 且 a≠1)与 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象关于直线 y=x 对称. (3)翻折变换 ①作函数 y=f(x)的图象,将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变, 得到 y=|f(x)|的图象. ②作函数 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象,即 得 y=f(|x|)的图象. (4)伸缩变换(必修 4 三角函数应) ①y=af(x)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1 时)缩(a<1 时)到原来的 a 倍. 1 ②y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1 时)缩(a>1 时)到原来的 . a 【例 1】?作出下列函数的图象: 2x+1 (1)y= ; x+1 (2)y=x2-2|x|-1;(3)y=2x 1-1;


(4)y=a|x|(0<a<1).(5)y=|log2(x+1)|.

【例 2】?(1)(2013· 佛山调研)函数 y=1-|x-x2|的图象大致是(

).

(2)(2010· 山东改编)函数 y=2x-x2 的图象大致是______.

|x| (3)函数 f(x)=x+ 的图象是( x

).

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李叶军

(4)(湖北)已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=-f(2-x)的图象为(

).

? ?a,a-b≤1, 【例 3】?(2012· 台州质量评估)对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数 ?b,a-b>1. ?

f(x)=(x2-2)?(x-1),x∈R.若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围 是( ).A.(-1,1]∪(2,+∞) B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2] D.[-2,-1]

(1).已知函数 f(x)=log2(x+1),将 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位,再将图象上所有点的纵坐标伸长 到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 y=g(x)的图象,求: (1)y=g(x)的解析式及其定义域; (2)函数 F(x)=f(x)-g(x)的最大值.

(2).已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}.

综合练习:1.(2013· 北京海淀模拟)函数 f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为(

).

1 2.(2013· 大连模拟)函数 y=5x 与函数 y=- x的图象关于( 5
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).

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A.x 轴对称

B.y 轴对称 C.原点对称 ).

D.直线 y=x 对称

3.(2013· 福建)函数 f(x)=ln(x2+1)的图象大致是(

4.(2012· 济南模拟)若 loga2<0(a>0,且 a≠1),则函数 f(x)=loga(x+1)的图象大致是(

).

5.(2013· 石家庄名校联考)设函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)· g(x)的图象可 能是( ).

6.(2013· 江西六校联考)函数 f(x)=tan x+

? π π ? 1 - <x<0或0<x< ?的大致图象为( ,x∈?x? 2 ? tan x ? ? 2

).

7.(2013· 绍兴模拟)函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=21 x 在同一直角坐标系下的图象大致是(


).

8.函数 f(x)=2x 1+2 恒过定点________.


x 9.为了得到函数 f(x)=log2x 的图象,只需将函数 g(x)=log2 的图象________. 8 10.函数 y=(x-1)3+1 的图象的对称中心是________. 11.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示, 那么不等式

f (x) ? 0 的解集为________. x2 ? 4
b (a>0,b>0)的函数,因其图象类似于汉字中的“ ”字,故我们把它 |x|-a
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12.(2013· 唐山模拟)形如 y=

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称为“ 函数”.若当 a=1,b=1 时的“ 函数”与函数 y=lg|x|图象的交点个数为 n,则 n=________. 13.(2012· 杭州二中月考)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时的 f(x)的表达式.

14、已知 f ( x) 的定义域 x ? R ,满足: ? 设 g ( x) ?

? f ( x ? 1) ? f (? x ? 3) 且在 x ? ?0,1? 中, f ( x) ? x ? f ( x ? 1) ? f (3 ? x)

1 x ? 1 ,则方程: f ( x) ? g ( x) 的解的个数 3

(改编)将上式改成 g ( x) ?

1 x ? 1 ,则方程: f ( x) ? g ( x) 的解的个数 3

2 15、已知 f (x ? 2) 为偶函数, f (? x ? 1) ? f (3 ? x) 且在 0 ? x ? 1时,f ( x) ? x ,若 g ? x ? ? log5

x

则方程: f ( x) ? g ( x) 的解的个数

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