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xg389.com:高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2课后习题新人教A版必修4

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角

课后篇巩固探究

A 组 基础巩固

1.向量 a=(-1,2),b=(1,3),下列结论正确的是()

A.a∥b

B.a⊥b

C.a∥(a-b)

D.a⊥(a-b)

解析由 a-b=(-2,-1),易得 a·(a-b)=0,故 a⊥(a-b),选 D.

答案 D

2.若 a=(3,4),则与 a 共线的单位向量是()

A.(3,4)

B.

C.

或- -

D.(1,1)

解析与 a 共线的单位向量是± =± (3,4),即与 a 共线的单位向量是

或- - .

答案 C

3.若平面向量 a=(3,x),b=(1,2),向量 a 在 b 方向上的射影等于 ,则 x 的值等于()

A.

B.6

C.1

D.-2

解析依题意有

,解得 x=1.

答案 C

4.在平行四边形 ABCD 中, =(1,0), =(2,2),则

A.4

B.-4

C.2

D.-2

等于()

解析如图,由向量的加减,可得

=(1,2),

-

2 =(0,2).



=(1,2)·(0,2)=0+4=4.

答案 A

5.

导学号 68254087 在矩形 ABCD 中,AB=2 ,AD=2,点 E 为线段 BC 的中点,点 F 为线

段 CD 上的动点,则

的取值范围是()

A.[2,14]

B.[0,12]

C.[0,6]

D.[2,8]

解析如图,A(0,0),E(2 ,1),

设 F(x,2)(0≤x≤2 ),所以 =(2 ,1), =(x,2),

因此

=2 x+2,

设 f(x)=2 x+2(0≤x≤2 ),f(x)为增函数,

则 f(0)=2,f(2 )=14,故 2≤f(x)≤14,

的取值范围是[2,14].

答案 A

6.设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=()

A.

B.

C.2

D.10

解析∵向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则有 2x-4=0,-4-2y=0,解得 x=2,y=-2,故

a+b=(3,-1),故有|a+b|=

-

,故选 B.

答案 B 7.已知 a=(-1,3),b=(1,y).若 a 与 b 的夹角为 45°,则 y=.

解析 a·b=-1+3y,|a|= ,|b|=

,

∵a 与 b 的夹角为 45°,

∴cos 45°=

-

.

解得 y=2 或 y=- (舍去). 答案 2 8.已知单位向量 a 与向量 b=(1,-1)的夹角为 45°,则|a-b|=.

解析由已知得|a|=1,|b|= ,a·b=|a||b|cos 45°=1,于是|a-b|= -

-

=1.

答案 1 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a∥b,求|a-b|; (2)若 a 与 b 的夹角为锐角,求 x 的取值范围. 解(1)因为 a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,解得 x=0 或 x=-2.
当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), 所以 a-b=(-2,0),则|a-b|=2. 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), 所以 a-b=(2,-4),则|a-b|=2 . 综上,|a-b|=2 或 2 . (2)因为 a 与 b 的夹角为锐角, 所以 a·b>0,即 2x+3-x2>0,解得-1<x<3. 又当 x=0 时 a∥b,故 x 的取值范围是(-1,0)∪(0,3). 10.已知向量 a=(1,2),b=(cos α ,sin α ),设 m=a+tb(t∈R). (1)若 α = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值;

(2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 与向量 m 的夹角为 ?若存在,求出实数 t;若不存在, 请说明理由.

解(1)当 α = 时,b=

,a·b= ,

∴|m|=

,

∴当 t=- 时,|m|取得最小值.

(2)假设存在满足条件的实数 t.

由条件得 cos

-

,

-

∵a⊥b,∴|a-b|= -

,

|a+tb|=

,

(a-b)·(a+tb)=5-t,

∴-

.

∴t2+5t-5=0,且 t<5,得 t=-

.

∴存在 t=-

满足条件.

11.已知 A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判断由此四点构成的四边形的形状.

解因为 =(4,0)-(1,2)=(3,-2), =(8,6)-(5,8)=(3,-2),

所以

,所以四边形 ABCD 是平行四边形.

因为 =(5,8)-(1,2)=(4,6),

所以

=3×4+(-2)×6=0,

所以

,所以四边形 ABCD 是矩形.

因为| |= ,| |=2 ,| |≠| |, 所以四边形 ABCD 不是正方形. 综上,四边形 ABCD 是矩形.

B 组 能力提升

1.已知 O 为坐标原点,向量 =(3sin α ,cos α ), =(2sin α ,5sin α -4cos α ),α ∈

,



,则 tan α 的值为()

A.-

B.-

C.

D.

解析由题意知 6sin2α +cos α ·(5sin α -4cos α )=0,即 6sin2α +5sin α cos α -4cos2α =0,等式

两边同时除以 cos2α ,得 6tan2α +5tan α -4=0,由于 α ∈

,所以 tan α <0,解得 tan α =- ,

故选 A.

答案 A

2.已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点 P 满足

=2 ,则

=()

A.-

B.-1

C.-2

D.-2

解析建立如图所示的平面直角坐标系,因为 AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以

B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以 =(0,2), =(2,0),因为

=2 ,所以

2 =(0,2)+(2,0)=(2,2),故 =(1,1),故 P(1,1), =(0,1), =(1,-1),所以

1)=-1.

=0×1+1×(-

答案 B

3.已知向量 a=( ,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a·b= ,则 b=.

解析设 b=(x,y).

∵|b|=

=1,∴x2+y2=1.

∵a·b= x+y= ,

∴x2+[ (1-x)]2=1.

∴4x2-6x+2=0.

∴2x2-3x+1=0.

∴x1=1,x2= ,∴y1=0,y2= . ∵(1,0)是与 x 轴平行的向量,

∴b=

.

答案

4.已知 a,b,c 均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c 的取值范围是()

A.[0,1]

B.[-1,1]

C.[-

] D.[0, ]

解析由 a,b 为单位向量和|a+b|=1 的几何意义,可知|a-b|= ,设 a-b 与 c 的夹角为 θ ,则(ab)·c=|a-b||c|·cos θ = cos θ ,∵cos θ ∈[-1,1],

∴(a-b)·c 的取值范围为[-

].

答案 C

5.

导学号 68254088 已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4).

(1)求证:AB⊥AD;

(2)若四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标及矩形 ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.

(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),

∴ =(1,1), =(-3,3).



=1×(-3)+1×3=0,



,∴AB⊥AD.

(2)解∵

,四边形 ABCD 为矩形,



.

设点 C 的坐标为(x,y),则 =(x+1,y-4).

又 =(1,1),∴ -
∴点 C 的坐标为(0,5).

解得

∴ =(-2,4), =(-4,2),

∴| |=2 ,| |=2

=8+8=16.

设 与 的夹角为 θ ,

则 cos θ =

.

故矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为 .

6.如图,在△ABC 中, 上异于 D 的任意一点.

=0,| |=8,| |=6,l 为线段 BC 的垂直平分线,l 与 BC 交于点 D,E 为 l

(1)求

的值;

(2)判断

的值是否为一个常数,并说明理由.

解(1)以点 D 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴,直线 l 为 y 轴建立平面直角坐标系,

由题意易知|BC|=10,

则 D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A

,

此时

--

=(-10,0),

所以

=- ×(-10)+ - ×0=14.

(2)是一个常数.理由如下:设点 E 的坐标为(0,y)(y≠0),此时

--,

所以

=- ×(-10)+ - ×0=14,为常数,故

的值是一个常数.


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