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第20课 频率分布


第 20 课 频率分布
[考点透视] 考查频数、频率的概念;确定一组数 据分布在某小组中的频数或频率;对一组 数据进行整理和分布;补全频率分布表或 频率分布直方图. [课前回顾] 1. 频数: 落在各个小组内的数据个数. 频率:每一小组的频数与数据总数 的比值. 2. 对一组数据进行整理 (即频率分布) 的一般步骤是:①计算最大值与最小值的 差;②决定组距与组数;③决定分点;④ 列频率分布表;⑤画频率分布直方图. 3. 决定分点时必须比数据多取一位小 数,并且把第 1 组的起点稍微减小一点. 4.各小数的频数之和等于数据总数; 各小组频数之和等于 1;频率分布直方图 中,各小长方形面积之和等于 1;各小长 方形面积等于相应各组的频率;小长方形 的高与该组频数成正比。 [课堂选例] 例 1 已知一个样本 78,79,76,81,75,78,74,72,79,80 76,77,75,75,73,74,72,75,76,77 (1)计算这组数据的极差; (2)决定组距与组数; (3)决定分点; (4)列出频率分布表; (5)画出频率分布直方图. 解: 最大值与最小值的差为 81-72=9 (1) (2)取组距为 2,共分 5 组. (3)决定分点: 71.5~73.5,73.5~75.5,75.5~77.5, 77.5~79.5,79.5~81.5. (4)列频率分布表:
1 分 组 频数累计 频数 3 正 正 6 5 4 2 20 频率 0.15 0.30 0.25 0.20 0.10 1.00 71.5~73.5 73.5~75.5 75.5~77.5 77.5~79.5 79.5~81.5 合 计

(5)画频率分布直方图
频率 组距

数据 71.5 73.5 75.5 77.5 79.5 81.5

评注 (3)统计各组数据频数及计算各组频 率时应特别细心认真, 最后应验证: 各组频数之和是否等于数据总数, 各组频率之和是否等于 1. (4)画频率分布直方图时应首先确 定频数为 1 的小组的小长方形的高 为单位高度,则各小组的小长方形 的高便是其高的整数倍. 例 2 观察下图,回答下列问题 (1)这组数据共分了几组? (2)组距是多少? (3)第几组频率最小第几组频率最大? (4)若第二组的小长方形和第四组的 小长方形的高之比为 3∶5,且第二 组的频率为 0.15,则第四组的频率 是多少?
频率 组距

数据 161.5 164.5 167.5 170.5 173.5 176.5 179.5

解: (1)这组数据共分了 6 组.(2)组距是 3.(3)第 6 组频率最小,第三组频 率最大. (4) 4 组的频率是 0.25. 第 例 3 在某中学举行的电脑知识竞赛中, 将初三两个班参赛学生的成绩(得 分均为整数) 进行整理后分成五组, 绘制出如下的频率分布直方图(如 图 19—2).已知图中从左到右的第 一、第三、第四、第五小组的频率 分别是 0.30、0.15、0.10、0.05, 第二小组的频数是 40.
频率
组距

(2) 初三两个班参赛学生的成绩的中 位数应落在第二小组内. 例 4 当今,青少年视力水平下降已引起 全社会的关注,为了了解某中学毕 业年级 300 名学生的视力情况,从 中抽测了一部分学生的视力,数据 整理如下,频率分布表:
分 组 频 2 6 4.55~4.85 4.85~5.15 5.15~5.45 合 计 1 0.02 1.00 23 数 频 率 3.95~4.25 0.04 0.12

分数 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5

(1) 求第二小组的频率, 并补全这个 频率分布直方图; (2)这两个班参赛学生人数是多少. (3) 这两个班参赛学生的成绩的中位 数应落在第几小组内?(不必说明 理由) 解: (1)∵各小组的频率之和为 1.00, 第一、三、四、五组的频率分别是 0.30、0.15、0.10、0.05, ∴第二小组的频率为 1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40 又∵第二小组的频率为 0.40 ∴落在 59.5~69.5 的第二小组的 小长方形的高= 频率
组矩 ? 0.40 0.04 10

由此可补全直方图,如图所示 (2) 设初三两个班参赛的学生人数为 x 人,∵第二小组的频数为 40,频 率为 0.40, ∴ 40 ? 0.40
x

∴x=100(人)

答: 初三两个班参赛的学生人数为 100 人.
2

(1)在这个问题中,总体是 (2)填写频率分布表中未完成的部分; (3)若视力为 4.9,5.0,5.1 均居正常, 不需矫正,试估计该校毕业年级学 生视力正常的人数约为多少? 解: (1)总体是某中学毕业年级 300 名 学生视力的全体. (2)相应表格中的数据分别是; 4.25~4.55;18.50;0.46;0.36 (3)∵300×0.36=108(名) ∴可以估计,该校毕业年级学生视 力正常的约为 108 名. [课堂小结] 1. 列频率分布表和画频率分布直方图 是对一组数据进行整理分析的最有效方法 之一,两者都能够准确、直观地反映各数 据段内数据的分布情况和所占比例大小. 2. 列频率分布表的关键是确定合适的 组距和组数,细心而准确地分类统计是列 好频率分布表的根本保证. 3. 画频率分布直方图是解频率分布这 类题的难点,但只要抓住每小组的小长方 形的高与该小组的频数成正比,先确定频 数为 1 的小正方形的高为 h,则频数为 k 的 小长方形的高为 kh,问题就变得简单多了.

[课后测评] 一.选择题 1.在统计初步中频率分布的主要作用是( ) A.可以反映总体的平均水平 B.可以反映总体的波动大小 C.可以估计总体的分布情况 D.可以看出总体的最大值和最小值 2.在频率分布直方图中,每个小长方形的面积等于( ) A.组距 B.组数 C.每个组的频数 D.每个小组频率 3.下列说法不正确的是( ) A.在数据的多少一定时,组距与组数成反比 B.频率分布直方图中,小长方形的面积等于频率 C.频率分布直方图中,小长方形的面积与频率成反比 D.用样本来估计总体时,样本容量越大越精确 二.填空题 4.在对某班的一次数学测验成绩进行统计中,各分数段的人数如图 19—3 所示(分 数取正整数,满分 100 分) ,请观察图形并回答下列问题:
人数 0.175 0.125 频率 组距

分数 39.5 49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 99.5 图 19-3

0。05 0.025 0

次数 0.5 2.5 4.5 6.5 8.5 10.5 图 19-4

(1)该班有 名学生 (2)69.5~79.5 这一组的频数是 ,频率是 . (3)请估算该班这次测验的平均成绩是 . 5.为了了解某中学学生的体能情况,抽了 100 名学生进行引体向上次数测试,将所 得数据整理后,画出频率分布直方图(如图 19—4).图中从左到右依次为第 1,2,3,4, 5 组. (1)第一小组的频数为 ,频率为 ; (2)若次数在 5 次(含 5 次)以上为达标,则达标率为 ; (3)这 100 个数据的众数一定落在第三组吗? . 三.解答题 6.某班 50 名同学参加一次科技知识竞赛,将竞赛成绩(成绩均为 50.5~100.5 之 间的整数)整理后,画出部分频率分布直方图,如图所示,已知图中从左到右前四个小 组的频率依次是 0.04,0.16,0.32 和 0.28 (1)求第五小组的频率,并补全频率分布直方图; 频率 (2)求竞赛成绩大于 80.5 分且小于 90.5 分的学生数; 组距 (3)竞赛成绩的中位数落在哪个小组内?并说明理由.
成绩(分)

3

7.某市有初三男学生有 3600 人,为了了解这地区初三男生的身高的情况,从中随 机抽取 50 名,取得他们的身高(单位:cm)数据后,整理成如下的频率分布表. 分组
147.5~151.5 151.5~155.5 155.5~159.5 159.5~163.5 163.5~167.5 正正 12 0.32

频数 累计

频数
2 3

频率

分组
167.5~171.5 171.5~175.5

频数 累计


频数

频率

4 0.04 50 1.00

0.1

175.5~179.5 合计

(1)完成频率分布表中空格部分,并画出频率分布直方图. (2)指出身高在哪一组内的男学生人数所占的比最大? (3)请估计该市初三男学生身高在 167.5cm 以上的约有多少人?

8.从一种零件中抽取了 80 件,尺寸数据如下: (单位:毫米) 362.5×1 362.6×2 362.7×2 362.3×3 362.9×2 363.0×3 363.1×5 363.2×6 363.3×8 363.4×9 363.5×9 363.6×7 363.7×6 363.8×4 363.9×3 364.0×3 364.1×2 364.2×2 364.3×1 364.4×2 请按照频率分布的一般步骤,列出频率分布表和画出频率分布直方图.

4


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