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《3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数》 教案

适用学科 数学

任意角和弧度制及任意角的三角函数

适用年级

高三

适用区域 新课标

课时时长(分钟)

60

知识点 教学目标

任意角的概念;象限角的概念及表示;同终边角的概念及表示 弧度的概念;角度与弧度的互化;扇形的弧长和面积公式 任意角的三角函数的定义;任意角的三角函数的的求法 三角函数值在各个象限的符号;诱导公式一(同终边角);有向线段与三角函数线 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

教学重点 三角函数的定义及应用,三角函数值符号的确定

教学难点 三角函数的定义及应用

教学过程 一、课堂导入
在花样滑冰比赛中,运动员的动作是那么优美!尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止.运动员在原地 转身的动作中,仅仅几秒内就能旋转十几圈,甚至二十几圈,因此,花样滑冰美丽而危险.
我们利用以前学的角的范围是 0°≤α≤180°,你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗?

二、复习预习
1.初中我们已经学习过角,那么初中对角的定义是什么呢?所谓角就是________________. 2.角按大小进行分类,可分为锐角、钝角和直角.锐角的范围为________,钝角的范围为________,直角的度数 为________.

三、知识讲解 考点 1 角的有关概念

角的特点

角的分类

从运动的角度看

角可分为正角、负角和零角

从终边位置来看

可分为象限角和轴线角

α 与 β 角的终边相同

β=α+k·360°(k∈Z) (或 β=α+k·2π,k∈ Z)

考点 2 弧度的概念与公式

在半径为 r 的圆中

分类

定义(公式)

1 弧度的角
角 α 的弧度数公式 角度与弧度的换


把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
角,用符号 rad 表示 |α|=rl(弧长用 l 表示) ①1°=18π0rad ②1 rad=???1π80???°

弧长公式 扇形的面积公式

弧长 l=|α|r S=12lr=12|α|·r2

考点 3 任意角的三角函数 三角函数

定义

各象限 符号

Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀

正弦

余弦

正切

设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么

y 叫做 α 的正弦,记 x 叫做 α 的余 yx叫做 α 的正切,记作

作 sin α

弦,记作 cos α

tan α

























一全正,二正弦,三正切,四余弦

三角函数线

有向线段 MP 为正弦 有向线段 OM 有向线段 AT 为正切

线

为余弦线

线

四、例题精析

【例题 1】

【题干】 (1)已知角 α=2kπ-π5(k∈Z),若角 θ 与角 α 的终边相同,则 y= s|siinnθθ|+|ccooss θθ|+|ttaann θθ|的值为(

)

A.1

B.-1

C.3

D.-3

(2)已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】(1)选 B 由 α=2kπ-π5(k∈Z)及终边相同角的概念知,α 的终边在第四象限,又 θ 与 α 的终边相同,所以角

θ 是第四象限角,所以 sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0. 因此,y=-1+1-1=-1. (2)选 B ∵点 P(tan α,cos α)在第三象限,

?tan α<0,

∴? ?cos

α<0,

∴α 是第二象限角.

【例题 2】 【题干】已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α,cos α,tan α 的值.

【解析】∵角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上, ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠0),则 x=4t,y=-3t, r= x2+y2= ?4t?2+?-3t?2=5|t|. 当 t>0 时,即 x>0 时,r=5t,sin α=yr=-53t t=-35,cos α=xr=45tt=45,tan α=xy=-43t t=-34; 当 t<0 时,即 x<0 时,r=-5t,sin α=yr=--35tt=35,cos α=xr=-4t5t=-45,tan α=xy=-43t t=-34. 综上可知,当角 α 的终边在直线 3x+4y=0 的 x>0 部分时,sin α=-35,cos α=45,tan α=-34; 当角 α 的终边在直线 3x+4y=0 的 x<0 部分时,sin α=35,cos α=-45,tan α=-34.

【例题 3】 【题干】已知在半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10, (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.

【解析】 (1)如图所示,过 O 作 OC⊥AB 于点 C,则 AC=5,在 Rt△ACO 中, sin∠AOC=AAOC=150=12, ∴∠AOC=30°,∴α=2∠AOC=60°. (2)∵60°=π3, ∴l=|α|r=130π. S 扇=12lr=12×103π×10=530π. 又 S△AOB=12×10×10sin 3π=25 3, ∴S 弓形=S 扇-S△AOB=503π-25 3=50???3π- 23???.

【例题 4】 【题干】
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上 沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为________.

【答案】(2-sin 2,1-cos 2)
【解析】因为圆心移动的距离为 2,所以劣弧 PA =2,即∠PCA=2,则∠PCB=2-π2,所以 PB=sin???2-2π???=-cos 2, CB=cos???2-2π???=sin 2,所以 xP=2-CB=2-sin 2,yP=1+PB=1-cos 2,所以 OP =(2-sin 2,1-cos 2).

五、课堂运用

【基础】 1.若 α=k·180°+45°(k∈Z),则 α 在( )

A.第一或第三象限

B.在第一或第二象限

C.第二或第四象限

D.在第三或第四象限

解析:选 A 当 k 为偶数时,α 的终边与 45°角的终边相同,是第一象限角平分线;当 k 为奇数时,α 的终边与 45° 角的终边在同一条直线上,是第三象限角平分线.

2.已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围是( )

A.(-2,3]

B.(-2,3)

C.[-2,3)

D.[-2,3]

??3a-9≤0, 解析:选 A 由 cos α≤0,sin α>0 可知,角 α 的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴上,所以有?
??a+2>0, 即-2<a≤3.

3.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐标为( )

A.???-12, 23???

B.???- 23,-12???

C.???-12,- 23???

D.???- 23,12???

解析:选 A

由三角函数定义可知

Q

点的坐标(x,y)满足

x=cos23π=-12,y=sin23π=

3 2.

【巩固】 4.若点 P(x,y)是 300°角终边上异于原点的一点,则xy的值为________.

解析:yx=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3. 答案:- 3

5.已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α=-45,则 m 的值为________.

解析:∵r= 64m2+9,∴cos α= 6-4m8m2+9=-45, ∴m>0,∴644mm2+2 9=215,∴m=±12. ∵m>0,∴m=12. 答案:12

【拔高】 6.已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R.若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇
形有最大面积?

解:∵扇形周长 C=2R+l=2R+αR, ∴R= C ,
2+α ∴S 扇=12α·R2=12α·???2+C α???2 =C22α·4+41α+α2=C22·4+α1+α4≤C162, 当且仅当 α2=4,即 α=2 时,扇形面积有最大值C162.

7.角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin α·cos α+ sin β·cos β+tan α·tan β 的值.

解:由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a),点 Q 的坐标为(2a,a).

所以,sin α=

-2a

=- 2 ,

a2+ -2a 2

5

cos α=

a

=1,

a2+ -2a 2 5

-2a tan α= a =-2,

sin β=

a

=1,

a 2+a2 5

cos β=

2a

=2,

a 2+a2 5

tan β=2aa=12,

故有 sin α·cos α+sin β·cos β+tan α·tan β

=-2·1 + 55

15·25+(-2)×12=-1.

课程小结
1.对任意角的理解 (1)“ 小 于 90°的 角 ” 不 等 同 于 “ 锐 角 ”“0°~ 90°的 角 ” 不 等 同 于 “ 第 一 象 限 的 角 ” . 其 实 锐 角 的 集 合 是 {α|0°<α<90°},第一象限角的集合为{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同,终边相同的角的同一三角函数值相等. 2.三角函数定义的理解 三角函数的定义中,当 P(x,y)是单位圆上的点时有 sin α=y,cos α=x,tan α=yx,但若不是单位圆时,如圆的半 径为 r,则 sin α=yr,cos α=xr,tan α=xy.

这就像我们身处喧嚣的闹市,却在渴望山清水秀的僻静之地。心若静,何处都是水云间,都是世外桃源,都是僻静之所,心若浮躁,不管你居所何处,都难宁静。 其实,很多人惧怕喧嚣,却又怕极了孤独,人实在是矛盾的载体。然而,人的最高境界,就是孤独。受得了孤独,忍得了寂寞,扛得住压力,才能成为生活的强者,才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。 常常喜欢静坐,没有人打扰,一个人,也有一个人的宿醉。面对这喧嚣尘世,安静下来的时光,才是最贴近心底的那一抹温柔,时光如水,静静流淌。 即便独自矗立夜色,不说话,也很美。这恬淡时光,忘却白日的伤感,捡起平淡,将灵魂在宁静的夜色里放空。 回头看看曾经走过的路,每一个脚印,都是丰富而厚重的,是对未来的希望,是对生活的虔诚。 我们都是生活里的平凡之人,不管一天中多么努力,多么辛苦,老天总是会给你时不时的开个玩笑,可能有些玩笑,来的有点猛,有点不知所措,但是又怎么样呢? 你要知道,人的能力和智慧是无穷的。面对生活的暗礁,我们只能用坦然的心态去接受它,然后尽量去改变它,让它激起生命的浪花。即使改变不了,只要努力了,就不言后悔。 有时候,难过了,想哭就哭出来,哭又不是罪,哭完了继续努力,总有一天,时间会告诉你,你的眼泪是不会白流的。没有苦难的人生,它一定是不完美的。 生命里,没有一帆风顺,总有一些看不见的暗礁等着你,既然注定要撞上,那就努力寻找岸的方向。

只要不放弃,一定有抵达岸边的希望,若选择放弃,那么岸依然是岸,死神只会离你越来越近。能和灾难抗衡,能珍惜生命的人,那么他的人生一定不会太灰暗。只要你不放弃自己,生活就不会放弃你,成功的希望就会被实现。 凡事成功的人,经历生活的暗礁,那是必然途径。生命路上的灾难和创伤,会让你更好的前进。 行走尘世间,保持好心态,一切都有可能被改变,当别人在为你呐喊助威时,自己千万不要放弃,不要半途而废,前功尽弃。只要坚持,生命一定会被你改写。 人生何其短,千万不要让过往和未来,羁绊住今天的心情,应该尊重生命,珍惜时光,活好每一天。 林清玄说:“今天扫完今天的落叶,明天的树叶不会在今天掉下来,不要为明天烦恼,要努力地活在今天这一刻。”还有一句话叫,昨天的太阳晒不干今天的衣裳。 假若有人问,你的一生有多长?请告诉他,只有三天,昨天,今天和明天。在这三天的生命里,昨天我们已经浪费掉了,明天不一定属于你,那你的时间就只有今天,所以不珍惜今天的人,就不配拥有明天。

这就像我们身处喧嚣的闹市,却在渴望山清水秀的僻静之地。心若静,何处都是水云间,都是世外桃源,都是僻静之所,心若浮躁,不管你居所何处,都难宁静。 其实,很多人惧怕喧嚣,却又怕极了孤独,人实在是矛盾的载体。然而,人的最高境界,就是孤独。受得了孤独,忍得了寂寞,扛得住压力,才能成为生活的强者,才不会因为生活的暗礁而失去对美好事物的追求。

常常喜欢静坐,没有人打扰,一个人,也有一个人的宿醉。面对这喧嚣尘世,安静下来的时光,才是最贴近心底的那一抹温柔,时光如水,静静流淌。 即便独自矗立夜色,不说话,也很美。这恬淡时光,忘却白日的伤感,捡起平淡,将灵魂在宁静的夜色里放空。 回头看看曾经走过的路,每一个脚印,都是丰富而厚重的,是对未来的希望,是对生活的虔诚。 我们都是生活里的平凡之人,不管一天中多么努力,多么辛苦,老天总是会给你时不时的开个玩笑,可能有些玩笑,来的有点猛,有点不知所措,但是又怎么样呢? 你要知道,人的能力和智慧是无穷的。面对生活的暗礁,我们只能用坦然的心态去接受它,然后尽量去改变它,让它激起生命的浪花。即使改变不了,只要努力了,就不言后悔。 有时候,难过了,想哭就哭出来,哭又不是罪,哭完了继续努力,总有一天,时间会告诉你,你的眼泪是不会白流的。没有苦难的人生,它一定是不完美的。

生命里,没有一帆风顺,总有一些

的方向。

看不见的暗礁等着你,既然注定要撞上,那就努力寻找岸

只要不放弃,一定有抵达岸边的希望,若选择放弃,那么岸依然是岸,死神只会离你越来越近。能和灾难抗衡,能珍惜生命的人,那么他的人生一定不会太灰暗。只要你不放弃自己,生活就不会放弃你,成功的希望就会被实现。

凡事成功的人,经历生活的暗礁,那是必然途径。生命路上的灾难和创伤,会让你更好的前进。

行走尘世间,保持好心态,一切都有可能被改变,当别人在为你呐喊助威时,自己千万不要放弃,不要半途而废,前功尽弃。只要坚持,生命一定会被你改写。

人生何其短,千万不要让过往和未来,羁绊住今天的心情,应该尊重生命,珍惜时光,活好每一天。

林清玄说:“今天扫完今天的落叶,明天的树叶不会在今天掉下来,不要为明天烦恼,要努力地活在今天这一刻。”还有一句话叫,昨天的太阳晒不干今天的衣裳。 假若有人问,你的一生有多长?请告诉他,只有三天,昨天,今天和明天。在这三天的生命里,昨天我们已经浪费掉了,明天不一定属于你,那你的时间就只有今天,所以不珍惜今天的人,就不配拥有明天。


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