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1[1].2.2组合.ppt1_图文

从甲、乙、丙三名同学中选两名同学担任正 副班长,共有多少种不同的方法。 思考:若从甲、乙、丙三名同学中选出两名 班长候选人有多少种方法? 2 A3 ? 6 共3种
班长候选人 无 顺 序 正副 正副

甲乙
甲丙 乙丙

甲乙 乙甲
甲丙 丙甲 乙丙 丙乙

有 顺 序

概括为

从3个不同的元素中取出2个合成一组,一共有 多少个不同的组?

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫 做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合

从政治、历史、地理、生物这四门学科中任 选两门,有哪些不同的选法? 不同的选法有: 政治 历史,历史 地理, 政治 地理 ,历史 生物, 政治 生物, 地理 生物,

排列与组合之间的联系与区别 排列 组合

从n个不同元素中取出 相同点 m(m≤n)个元素 不同点 与元素的 顺序有关 与元素的 顺序无关

组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不 同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数 记C m n

从a:拙政园,b:西园,c:留园,d:狮子林这四 个风景点中任选三个景点,有多少种方法? 选三个景点
a b c a b d a c d
3 C4 ?4

b c d

从a, b, c, d这四个风景点中任选三个景点,并确 定游览顺序,有多少种不同的方法?

确定游览顺序

A ? 24
3 4

abc acb

bac bca

cab cba

abd adb
acd adc bcd bdc

bad bda
cad cda cbd cdb

dab dba
dac dca dbc dcb

第一步 组合
a b c a b d a c d

第二步 排列
abc acb abd adb bac bca bad bda cab cba dab dba

acd adc
bcd bdc

cad cda
cbd cdb

dac dca
dbc dcb

b c d

C

3 4

×

A

3 3

=

A

3 4

求从n个不同元素中取出m个元素的排列数,可看 作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有 Cnm种不同的取法; 第2步,将取出的m个元素做全排列,共有Amn种 不同的排法.

A ?C ?A
m n m n

m m

A C ? A
m n

m n m m

组合数公式

A n?n ? 1??n ? 2???n ? m ? 1? C ? ? A m!
m n m n m m

n,m∈N*,并且m≤n.

n! A ? ?n ? m?!
m n

n! C ? m!?n ? m ?!
m n

例1

7 利用计算器计算 C10

10

7 =120

例 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们 中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则, 比赛时一个足球队的上场队员是11人.问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学 员上场方案?
解 (1)没有角色差异
11 17

C ? 12376?种?

例 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们 中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则, 比赛时一个足球队的上场队员是11人.问: (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的 守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
解 (2)分两步完成这件事
11 有 C 第1步,从17名学员中选出11人上场 17 种
1 11

第2步,从上场的11人中选1名守门员 有C 种 共有

?种? C ? C ? 136136
11 17 1 11

例 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点 的线段共有多少条? 10个不同元素中取2个元素的组合数
10 ? 9 C ? ? 45?条? 2
2 10

(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点 的有向线段共有多少条? 10个不同元素中取2个元素的排列数
2 A10 ? 10? 9 ? 90?条?

例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法? 100个不同元素中取3个元素的组合数
C
3 100

100 ? 99 ? 98 ? ? 161700 ?种? 3? 2

例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种? 从2件次品中抽出1件次品的抽法有 从98件合格品中抽出2件的抽法有

C C

1 2 2 98

C ? C ? 9506
1 2 2 98

例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1
含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 ?种? C2 ? C98 ? C2 ? C98 ? 9604

法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 ?种? C100 ? C98 ? 9604

课堂小结:
①主要学习了组合、组合数的概念。
②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。 第一步 n个不同元素 第二步

组合

m个元素

排列

m个元素 的全排列


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