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福建省诏安县桥东中学2014—2015学年高二数学上学期期中试题 理

福建省诏安县桥东中学 2014—2015 学年高二数学上学期期中试题 理
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若命题“p?q”为真, “?p”为真,则 ( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 真 C.p 真 q 假 D.p 假 q 假 2.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( ) A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的数不是偶数 3.命题“若 a>b,则 a-8>b-8”的逆否命题是( ) A.若 a<b,则 a-8<b-8 B.若 a-8>b-8,则 a>b 开始 C.若 a≤b,则 a-8≤b-8 D.若 a-8≤b-8,则 a≤b 4.U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A?C,B?CUC”是“A ∩B=?”的( ) S=0,n=1 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 S=S+2n+n 5.下列说法正确的是( ) A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 。 2 2 B.命题“?x0∈R,x0+x0-1<0”的否定是“?x∈R,x +x-1>0” 。 C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题。 D.若“p?q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题。 6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 S 的值等于 ( )
2 2

n=n+1 否

S≥15? 是

输出 S A. 18 B.20 C.21 D.40 7.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、 结束 系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中 的概率分别为 p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3 8.把十进制数 11 化为二进制数的结果是( ) A.1011(2) B.1101(2) C.1110(2) D.1111(2) 9.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰 有两次命中的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,用 1,2,3,4 表示命中, 用 5,6, ,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。经随机 模拟产生了 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( ) A.0.35 B.0.30 C.0.25 D.0.20 2 2 10.如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( ) A.(0, +∞) B.(0, 2) C.(0, 1) D. (1, +∞)

1

11. 椭圆

x2
25



y2
9

=1 的两个焦点分别为 F1、 F2, P 为椭圆上的一点, 已知 PF1 ? PF2, 则 Δ PF1F2 ) B.12

C. 10 D. 8 → → 12.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 · MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心 率的取值范围是( ) 1 2 2 A.(0,1) B.(0, ] C.(0, ) D.[ ,1) 2 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 13.根据辗转相除法可知,65 与 169 的最大公约数是 14.设样本数据 x1,x2,?,xn 的平均值为 1,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,?, n),则 y1,y2,?,yn 的平均值等于 15.一箱产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件,下列四组事件: ①恰有一件次品和恰有两件次品; ②至少有一件次品和全是次品; ③至少有一件正品和至少有一件次品;④至少有一件次品和全是正品. 其中两个事件互斥的组是 (填上序号) 16. 已知 F1、 F2 为椭圆 + =1 的两个焦点, 过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点 若|F2A|+| F2B| 25 9 =12,则|AB|= 。

的面积为( A.9

x2

y2

17.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点分别是 F1、F2,上顶点为 B2, 若 △F1 B2F2 是等边三角形,则椭圆的离心率 e = =1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点 25 16 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点, 则| P1F|+| P2F|+| P3F|+| P4F|+| P5F|+| P6F|+| P7F|=__________ 三、解答题(共 60 分) 18.如图,把椭圆 + 19(本小题满分 14 分)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解 答.试求所取的 2 道题都是甲类题的概率.

x2 y2 a b

x2

y2

20. (本小题满分 14 分) 2 已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根; 2 q: ?x∈R,4x +4(m-2)x +1>0; (1) 若 p 为真,求实数 m 的取值范围; (2) 若 q 为真,求实数 m 的取值范围; (3)若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。

21. (本小题满分 16 分) 从某校随机抽取 100 名学生, 获得了他们一周课外阅读时间 (单位: 小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 组号 分组 频数

1 2 3 4 5 6 7 8 9

[0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10, 12) [12, 14) [14, 16) [16, 18) 合 计

6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 a b

频率 组距

0 2 4

6

8 10 12 14 16 18 阅读时间

(1)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (2)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率。;

22. (本小题满分 16 分) 2 2 已知椭圆 C:x +2y =4. (1) 求椭圆 C 的离心率; (2)已知 O 为原点,点 A(t,2)(t∈R),点 B 在椭圆 C 上,若 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最 小值.

桥东中学 2014~2015 学年度上学期期中考试 高 二 数 学 (理 ) 答 卷 题号 一 二 19 得分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中有且仅有一项是符合题目要求的.把答案填涂在答题卡的相应位置 题号 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 三 21 22 总分

考试号



13.

14.

15.

16.

17.

18.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

答 请
试求所取

算步骤 . 19(本小题满分 14 分) 现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答,. 的 2 道题都是甲类题的概率。.

姓名 座号 班级
20. (本小题满分 14 分) 2 已知命题 p:方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根; 2 q: ?x∈R,4x +4(m-2)x +1>0;





线





(1) 若 p 为真,求实数 m 的取值范围; (2) 若 q 为真,求实数 m 的取值范围; (3)若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。

频率 组距 b

a

0 2 18

4

6

8

10

12

14 16 阅读时间

座 位 号 21. (本小题满分 16 分) 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整

理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10, 12) [12, 14) [14, 16) [16, 18) 合 计 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100

(1)直方图中的 a,b 的值; (2)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率;

22. (本小题满分 16 分) 2 2 已知椭圆 C:x +2y =4.. (2) 求椭圆 C 的离心率; (2)已知 O 为原点,点 A(t,2)(t∈R),点 B 在椭圆 C 上,若 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最

小值.

密 封 线 内 请 勿 答 题

桥东中学 2014~2015 学年度上学期期中考试 高二数学 (理) 答案与评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

B

D

D

C

D

B

D

A

C

C

A

C

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 13. 13 14.1+a 15. ①④ 16. 8 1 17. 18. 35 2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 19(本小题满分 14 分) 解:将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4;2 道一类题依次编号为 5.6,任取 2 道题,基本 事件为: {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {1,6}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {2,6}, {3,4}, {3,5}, {3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共 15 个,而且这些基本事件的出现是等可能的. ···· 8 分 用 A 表示“都是甲类题”这一事件,则 A 包含的基本事件有: {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共 6 个, ············ 10 分 所以 P(A)=

6 2 ? . ·························· 12 分 15 5

2 答:所取的 2 道题都是甲类题的概率为 ···················· 14 分 5 20. (本小题满分 14 分) 2 解:(1)∵方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实根, 2 所以 Δ 1=m – 4>0, ························ ∴m>2 或 m <-2 ··························· ∴若 p 为真,实数 m 的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞) ··········· 2 (2)因为不等式 4x +4(m – 2)x+1>0 的解集为 R, 2 所以 Δ 2=16(m – 2) – 16<0, ····················· ∴1<m<3 ····························· ∴若 q 为真,实数 m 的取值范围是(1,3)···················· (3)因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 为一真一假, ··········· (i)当 p 为真 q 为假时,?
?m>2或m<-2 ?m≤1或m≥3

2分 3分 4分 6分 7分 8分 9分

∴m<-2 或 m≥3 ············ 10 分 ·············· 12 分

?-2≤m≤2 (ii)当 p 为假 q 为真时,? ∴ 1<m≤2 ?1<m<3

综上所述得:m 的取值范围是 m<-2 或 1<m≤2 或 m≥3 ············ 14 分 21. (本小题满分 16 分) 6) 的有 17 人,频率为 0.17 , ········· 2 分 解: (Ⅰ)课外阅读时间落在组 [4 ,

频率 0.17 ? ? 0.085 . ······················· 4 分 组距 2 10) 的有 25 人,频率为 0.25 , ············· 6 分 课外阅读时间落在组 [8 ,
所以 a ?

频率 0.25 ? ? 0.125 . ······················· 8 分 组距 2 (Ⅱ)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6+2+2=10 名, ····························· 10 分 所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 10 1? ? 0.9 . ······························· 14 分 100
所以 b ? 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9 . ······ 16 分

22. (本小题满分 16 分) 解: (Ⅰ)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1.················· 2 分 4 2 所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =2. ··················· 3 分 因此 a=2,c= 2. ···························· 4 分 c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = .························ 6 分 a 2 (Ⅱ)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. ·········· 8 分 因为 OA⊥OB, 所以 tx0+2y0=0 2y0 解得 t=- .······························ 10 分
2 2 2 2 2

x2 y2

x0

4-x0 又 x0 +2y0 =4,∴y0 = ························ 12 分 2 2y0 2 2 2 2 2 所以|AB| =(x0-t) +(y0-2) =(x0+ ) +(y0-2)
2 2 2

2

x0

4y0 4-x0 2(4-x0 ) 2 2 2 =x0 +y0 + 2+4=x0 + + +4 x0 2 x02 x02 8 2 = + 2+4(0<x0 ≤4).························ 14 分 2 x0 x02 8 2 2 2 因为 0<x0 ≤4,所以 + 2≥4,当且仅当 x0 =4 时等号成立,所以|AB| ≥8. 2 x0 故线段 AB 长度的最小值为 2 2.······················· 16 分

2

2

2


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