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创新设计2016_2017学年高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数3.2.1对数第2课时对数的运算性质课时作业

3.2.1 对数(二)
课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、 求值和 证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数.

1.对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(MN)=________;

M N n (3)logaM =__________(n∈R).
(2)loga =___________; 2.对数换底公式 logcb logab= (a>0,且 a≠1,b>0,c>0,且 c≠1); logca 特别地:logab·logba=____(a>0,且 a≠1,b>0,且 b≠1).

一、填空题 1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________.(填序号) ①logax·logay=loga(x+y); n ②(logax) =nlogax; ③ logax n =loga x;

n

logax ④ =logax-logay. logay 2.计算:log916·log881 的值为__________. 1 3.若 log5 ·log36·log6x=2,则 x=________. 3 1 1 a b 4.已知 3 =5 =A,若 + =2,则 A=________.

a b 5.已知 log89=a,log25=b,则 lg 3=________(用 a、b 表示). a 2 2 6.若 lg a,lg b 是方程 2x -4x+1=0 的两个根,则(lg ) 的值为________. b
3 4 7.2log510+log50.25+( 25- 125)÷ 25=______________. 2 8.(lg 5) +lg 2·lg 50=________. 9.2008 年 5 月 12 日,四川汶川发生里氏 8.0 级特大地震,给人民的生命财产造成了 巨大的损失.里氏地震的等级最早是在 1935 年由美国加州理工学院的地震学家里特判 2 定的. 它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关. 震级 M= lg E-3.2, 其中 E(焦 3 耳)为以地震波的形式释放出的能量.如果里氏 6.0 级地震释放的能量相当于 1 颗美国 在二战时投放在广岛的原子弹的能量,那么汶川大地震所释放的能量相当于________ 颗广岛原子弹. 二、解答题 1 5 10.(1)计算:lg -lg +lg 12.5-log89·log34; 2 8

1

2 1 a b (2)已知 3 =4 =36,求 + 的值.

a b

11.若 a、b 是方程 2(lg x) -lg x +1=0 的两个实根,求 lg(ab)·(logab+logba)的 值.

2

4

能力提升 x 12.下列给出了 x 与 10 的七组近似对应值: 组号 一 二 三 四 五 六 七 0.301 0.477 0.698 0.778 0.903 1.000 1.079 x 03 11 97 15 09 00 18 x 10 2 3 5 6 8 10 12 假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第________组. 13.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年的剩余质量约是原来的 75%,估 1 计约经过多少年,该物质的剩余量是原来的 ?(结果保留 1 位有效数字)(lg 2≈0.301 3 0,lg 3≈0.477 1)

2

1.在运算过程中避免出现以下错误: loga(MN)=logaM·logaN. M logaM loga = . N logaN n n logaN =(logaN) . logaM±logaN=loga(M±N). 2.根据对数的定义和运算法则可以得到对数换底公式: logcb logab= (a>0 且 a≠1,c>0 且 c≠1,b>0). logca 由对数换底公式又可得到两个重要结论: (1)logab·logba=1; (2) logan b = logab. 3.对于同底的对数的化简常用方法:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商) 的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成两对数的和(差).对于常用对数的化简要创 设情境,充分利用“lg 5+lg 2=1”来解题. 第 2 课时 对数运算
m

m n

知识梳理 1.(1)logaM+logaN (2)logaM-logaN (3)nlogaM 2.1 作业设计 1.③ 8 2. 3 lg 16 lg 81 4lg 2 4lg 3 8 解析 log916·log881= · = · = . lg 9 lg 8 2lg 3 3lg 2 3 1 3. 25 -lg 3 lg 6 lg x 解析 由换底公式,得 · · =2, lg 5 lg 3 lg 6 1 -2 lg x=-2lg 5,x=5 = . 25 4. 15 a b 解析 ∵3 =5 =A>0, ∴a=log3A,b=log5A. 1 1 由 + =logA3+logA5=logA15=2,

a b 2 得 A =15,A= 15. 3a 5. 2?b+1?

lg 9 解析 ∵log89=a,∴ =a. lg 8 3 ∴log23= a. 2 log23 log23 3a lg 3= = = . log210 1+log25 2?b+1? 6.2
3

解析 由根与系数的关系可知 lg a+lg b=2, 1 lg alg b= . 2 于是(lg ) =(lg a-lg b)

a b

2

2

1 2 2 =(lg a+lg b) -4lg alg b=2 -4× =2. 2 6 7. 5-3 3 解析 原式=2(log510+log50.5)+(
2 1 ? 2 3 1 ? 2

25 125 - ) 4 4 25 25

=2log5(10×0.5)+ 5 3
1

? 52

6 =2+ 5 6 -5= 5-3. 8.1 2 2 解析 (lg 5) +lg 2·lg 50=(lg 5) +lg 2(lg 5+lg 10) 2 =(lg 5) +lg 2·lg 5+lg 2=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2 =lg 5+lg 2=1. 9.1 000 解析 设里氏 8.0 级、6.0 级地震释放的能量分别为 E2、E1, 2 E2 则 8-6= (lg E2-lg E1),即 lg =3. 3 E1 ∴ =10 =1 000, 即汶川大地震所释放的能量相当于 1 000 颗广岛原子弹. 1 5 10.解 (1)方法一 lg -lg +lg 12.5-log89·log34 2 8 1 8 2lg 3 2lg 2 4 1 =lg( × ×12.5)- · =1- =- . 2 5 3lg 2 lg 3 3 3 1 5 方法二 lg -lg +lg 12.5-log89·log34 2 8 1 5 25 lg 9 lg 4 =lg -lg +lg - · 2 8 2 lg 8 lg 3 2lg 3 2lg 2 =-lg 2-lg 5+3lg 2+(2lg 5-lg 2)- · 3lg 2 lg 3 4 4 1 =(lg 2+lg 5)- =1- =- . 3 3 3 a b (2)方法一 由 3 =4 =36 得:a=log336,b=log436, 2 1 2 所以 + =2log363+log364=log36(3 ×4)=1.

E2 E1

3

a b

1
a b

1

方法二 因为 3 =4 =36,所以 36 a =3, 36 b =4,
1
2

1
2

所以( 36 a ) · 36 b =3 ×4, 即 36 a
2 1 ? b

2 1 =36,故 + =1.

a b

11.解 原方程可化为 2(lg x) -4lg x+1=0. 2 设 t=lg x,则方程化为 2t -4t+1=0,
4

2

1 ∴t1+t2=2,t1·t2= . 2 2 4 又∵a、b 是方程 2(lg x) -lg x +1=0 的两个实根, ∴t1=lg a,t2=lg b, 1 即 lg a+lg b=2,lg a·lg b= . 2 ∴lg(ab)·(logab+logba) lg b lg a =(lg a+lg b)·( + ) lg a lg b 2 2 ?lg b? +?lg a? =(lg a+lg b)· lg a·lg b 2 ?lg a+lg b? -2lg a·lg b =(lg a+lg b)· lg a·lg b 1 2 2 -2× 2 =2× =12, 1 2 即 lg(ab)·(logab+logba)=12. 12.二 解析 由指数式与对数式的互化可知, x 10 =N?x=lg N, 将已知表格转化为下表: 组号 一 二 三 四 五 六 七 N 2 3 5 6 8 10 12 0.301 0.477 0.698 0.778 0.903 1.000 1.079 lg N 03 11 97 15 09 00 18 ∵lg 2+lg 5=0.301 03+0.698 97=1, ∴第一组、第三组对应值正确. 又显然第六组正确, ∵lg 8=3lg 2=3×0.301 03=0.903 09, ∴第五组对应值正确. ∵lg 12=lg 2+lg 6=0.301 03+0.778 15=1.079 18, ∴第四组、第七组对应值正确. ∴只有第二组错误. x 13.解 设这种放射性物质最初的质量是 1,经过 x 年后,剩余量是 y,则有 y=0.75 . 1 lg 3 1 x 依题意,得 =0.75 ,即 x= 3 lg 0.75 -lg 3 lg 3 = = lg 3-lg 4 2lg 2-lg 3 0.477 1 = ≈4. 2×0.301 0-0.477 1 1 ∴估计约经过 4 年,该物质的剩余量是原来的 . 3

5


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