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函数的极值与导数 Word版含解析

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 y=x3-3x2-9x(-2<x<2)的极值情况是( A.极大值为 5,极小值为-27 B.极大值为 5,极小值为-11 C.极大值为 5,无极小值 D.极小值为-27,无极大值 【解析】 y′=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), ) 令 y′=0,得 x=-1 或 x=3. 当-2<x<-1 时,y′>0; 当-1<x<2 时,y′<0. 所以当 x=-1 时,函数有极大值,且极大值为 5;无极小值. 【答案】 C 2.已知函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值,则该函数的一个递 增区间是( A.(2,3) C.(2,+∞) ) B.(3,+∞) D.(-∞,3) 【解析】 因为函数 f(x)=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值, 所以有 f′(2) =0,而 f′(x)=6x2+2ax+36,代入得 a=-15.现令 f′(x)>0,解得 x>3 或 x <2,所以函数的一个递增区间是(3,+∞). 【答案】 B ) 3.设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 【解析】 ∵f(x)=xex, ∴f′(x)=ex+xex=ex(1+x). ∴当 f′(x)≥0 时, 即 ex(1+x)≥0,即 x≥-1, ∴x≥-1 时,函数 f(x)为增函数. 同理可求,x<-1 时,函数 f(x)为减函数. ∴x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 【答案】 D ) 1 4.(2016· 邢台期末)函数 f(x)=3ax3+ax2+x+3 有极值的充要条件是( A.a>1 或 a≤0 C.0<a<1 B.a>1 D.a>1 或 a<0 【解析】 f(x)有极值的充要条件是 f′(x)=ax2+2ax+1=0 有两个不相等的 实根,即 4a2-4a>0,解得 a<0 或 a>1.故选 D. 【答案】 D ) 5.已知 a∈R,且函数 y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则( A.a<-1 1 C.a<-e B.a>-1 1 D.a>-e 【解析】 因为 y=ex+ax,所以 y′=ex+a. 令 y′=0, 即 ex+a=0, 则 ex=-a, 即 x=ln(-a), 又因为 x>0, 所以-a>1, 即 a<-1. 【答案】 二、填空题 6.(2016· 临沂高二检测)若函数 y=-x3+6x2+m 的极大值为 13,则实数 m A 等于__________. 【解析】 y′=-3x2+12x=-3x(x-4). 由 y′=0,得 x=0 或 4. 且 x∈(-∞,0)∪(4,+∞)时,y′<0;x∈(0,4)时,y′>0. ∴x=4 时函数取到极大值.故-64+96+m=13,解得 m=-19. 【答案】 -19 7.函数 f(x)=aln x+bx2+3x 的极值点为 x1=1,x2=2,则 a=________,b =________. 【解析】 【导学号:26160089】 2bx2+3x+a a f′(x)=x +2bx+3= , x ∵函数的极值点为 x1=1,x2=2, 2bx2+3x+a ∴x1=1, x2=2 是方程 f′(x)= =0 的两根, 也即 2bx2+3x+a=0 x 的两根. ?-23b=1+2, ∴由根与系数的关系知? a ?2b=1×2, ? ?a=-2, 解得? 1 b =- ? 2. ? 【答案】 1 -2 -2 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+c,其导数 f′(x)的图象如图 3-3-7 所示,则 函数的极小值是________. 图 3-3-7 【解析】 由图象可知, 当 x<0 时,f′(x)<0, 当 0<x<2 时,f′(x)>0, 故 x=0 时,函数 f(x)取到极小值 f(0)=c. 【答案】 三、解答题 9.设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求 f(x)的单调区间与极值. 【解】 由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R,知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln 2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln 2) - ln 2 0 2(1-ln 2+ a) (ln 2,+∞) + c 故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,+∞). 所以 f(x)在 x=ln 2 处取得极小值, 极小值为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2+2a=2(1-ln 2+a). 10.函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象如图 3-3-8 所示,且与 y=0 在原点相 切,若函数的极小值为-4,求 a,b,c 的值. 图 3-3-8 【解】 ∵函数的图象经过(0,0)点,∴c=0. 又图象与 x 轴相切于(0,0)点,且 f′(x)=3x2+2ax+b. ∴f′(0)=0,即 0=3×02+2a×0+b,得 b=0. ∴f(x)=x3+ax2. 令 f(x)=x3+ax2=0,得 x=0 或 x=-a,由图象知 a<0. 令 f′(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)=0, 2 ∴当 0<x<-3a 时,f′(x)<0; 2 当 x>-3a 时,f′(x)>0. 2 ∴当 x=-3a 时,函数有极小值-4. ? 2 ? ? 2 ? 即?-3a?3+a?-3a?2=-4,解得 a=-3. ? ? ? ? ∴a=-3,b=0,c=0. [能力提升] 1.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正 确的是( ) A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是

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