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2012-2013高一年上学期月考数学试卷及答案(推荐)


2012—2013 学年度高一上学期期中考试

数 学 试 题
(满分:150 分,时间:120 分钟)

说明:请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷. 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的)
1.已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7? , A ? ?2, 4,5? ,则 CU A ? ( A. ? B. ?1,3,6,7? C. ) D. ?1,3,5,7?

?2,4,6?


2.下列函数中,与函数 y ? x 相同的函数是( A. y ?

x x

2

B. y ?

? x?

2

C. y ? lg10x ) C. ?2,??? )个. D.3 )
y

D. y ? 2

log 2 x

3.函数 f ( x) ? A、 ?1,2?

lg( x ? 1) 的定义域为( 2? x B. ?1,2?
x

D. ?? ?,2?

?1? 2 4.函数 f ( x) ? ? ? ? 3x ? 2 的零点有( ?2?
A.0 B.1 C.2

5.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是(
y 1 o x o x y

y

o

x

o

x

A 6.已知函数 f ( x) ? ?
x

B

C

D

?3 ( x ? 0) 1 ,那么 f [ f ( )] 的值为( ) 8 log2 x( x ? 0) ? 1 1 A. 27 B. ? 27 C. ? D. 27 27 7.已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 b ? a ) ,若 f ( x ) 的图象如图(1)所示,
则函数 g ( x) ? a ? b 的图象是(
x

)

图(1)

8.函数 f (x) ? x ? (3a ?1)x ? 2 在 (??,4) 上为减函数,则实数 a 的取值范围是(
2



A. (??,3]

B. (??,?3]

C. (??,5]
1

D. ?3, ?? ?

9.设 a >l,则 log 0.2 a 、 a 与 a 0.2 的大小关系是( 0.2

)

A. log0.2 a ? 0.2a ? a0.2 B. log0.2 a ? a0.2 ? 0.2a C. 0.2a ? log0.2 a ? a0.2 D. 0.2a ? a0.2 ? log0.2 a 10.若函数 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 在区间 [?1,1] 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 ( )

1 1 1 C. ? 1 ? a ? D. a ? 或a ? ?1 B. a ? ?1 5 5 5 x 2 11.在 y ? 2 , y ? log2 x, y ? x , 这三个函数中,当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, A. a ?
使 f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( )? 2 2
B. 1 个
?

). D. 3 个

A. 0 个

C. 2 个
x ?1

12.设定义域为 R 的函数 f (x) ? ?lg | x ? 1|, x ? 1 , ?
0,

若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 5 个不同实数解,那么正确的是( A. b ? 0 且 c ? 0 B. b ? 0 且 c ? 0 C. b ? 0 且 c ? 0



D. b ? 0 且 c ? 0

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡上)
13.当 a>0,且 a≠1 时,函数 f(x)=ax-1-3 的图像必过定点 1 1 14. 已知 f(x+ )=x2+ 2,则函数 f(3)=________. x x 15.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 3 x ? 2) 的递增区间是
2

.

.

16.已知函数 f M ( x) 的定义域为实数集 R,满足 f M ( x) ? ?

?1, x ? M , ( M 是 R 的非空真子集) ?0, x ? M
f A? B ( x) ? 1 f A ( x) ? f B ( x) ? 1
的值域为____

在 R 上有两个非空真子集 A,B,且 A ? B ? ?, 则F ( x) ?

一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 C 5 C 6 D 7 A 8 D 9 A 10 11 D C 12 A

二、填空题: (每题 4 分,共 16 分) 13、____ (1,-2)_____;14、____7_________; 15、__ (??,1) _____; 16、___ {1}_________。

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. ( 本题满分 12 分)不用计算器求下列各式的值. (1) (lg 2)2 ? lg 2 ? lg50 ? lg 25 ; (2) 64 3 ? ? ? 解: (1)
1 1 ? 7? + 0.75+252 ; 16 ? ? 8? 0

原式

? (lg 2)2 ? (1 ? lg 5) lg 2 ? lg 52 ? (lg 2 ? lg 5 ? 1) lg 2 ? 2lg 5
? (1 ? 1) lg 2 ? 2lg 5 ? 2(lg 2 ? lg 5) ? 2 ;……..6
解: (2)原式=4-1+8+5=16………………6 18.( 本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?

?log2 x, x ? [1,4]
2 ?( x ? 5) ? 1, x ? (4,7]

(1)在给定的直角坐标系内画出 f (x) 的图象; (2)写出 f (x) 的单调递增区间(不需要证明) ; (3)若函数 f(x)在区间[4,a-2]上单调递减,求实数 a 的取值范围. 解:

(1) 作 图. (2) 单调递增区间 [1, 4] , [5, 7] . (3) 要使 f(x)在[4,a-2]上单调递增,

4分 8分

?4 结合 f(x)的图象知 a ? 2 ? 5 a?2
所以 6<a≤7,故实数 a 的取值范围是(6 ,7].12 分

?

3

19. (本题满分 12 分)已知集合 A ? ?x | 3 ? x ? 7?,

B ? ?x | 2 ? x ? 10?, C ? ?x | 5 ? a ? x ? a?.
(1)求 A ? B , ?C R A? ? B ; (2)若 C ? ? A ? B ?,求 a 的取值范围.

4

20.( 本题满分 12 分) 已知幂函数 f(x)=x

m2 ?m?2

(m∈Z)为偶函数,

且在区间(0,+∞)上是单调减函数.? (1)求函数 f(x); (2)讨论 F(x)=a f(x) ? 解(1) ∵f(x)在(0,+∞)上是单调减函数,? ∴m -m-2<0, ∴-1<m<2. 又 m∈Z,∴m=0,1,? 又∵f(x)是偶函数,∴m -m-2 应为偶数. 当 m=0 或 1 时, m -m-2=-2;? ∴m=0 或 1, (2)F(x)= 即 f(x)=x .
-2 2 2 2

b 的奇偶性.? xf(x)

3分

6分

a ? bx , ……8 分 |x| a ? bx |x|
……9 分 ……10 分

∴F(-x)=

①当 a=0,b≠0 时,F(x)为奇函数; ②当 a≠0,b=0 时,F(x)为偶函数

③当 a=0,b=0 时,F(x)既是奇函数,又是偶函数.…11 分 ④当 a≠0,且 b≠0 时, F(x)为非奇非偶函数 …12 分

5

21. (本题满分 12 分) 某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天) 的函数关系用右图的两条线段表示: 该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的 关系如下表所示: 第t天 Q(件) 5 35 15 25 20 20 30 10

(I)根据提供的图像,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (II)根据表中提供的数据确定日销售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式; (III)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天? (日销售金额=每件的销售价格×日销售量) 解:①由图象可得 P ?

?t ? 20 , 0 ? t ? 25 ? ??t ? 100 , 25 ? t ? 30 ?

…………4 分

②由表格可得销售量随各时面均匀变化 ∴销量与时间 t 的一个关系式可为一次函数 Q ? ?t ? 40 ………6 分 ③由①②可得销售金额

?(t ? 20)(?t ? 40) 0 ? t ? 25 ? f (t ) ? ? ?(?t ? 100)(?t ? 40) 25 ? t ? 30 ?
2 当 0 ? t ? 25 时, f (t ) ? ?t ? 20t ? 800

∴ t ? 10 时 f max ? 900 元) 当 25 ? t ? 30 时, f (t ) ? t ?140t ? 400
2

∴ t ? 25 时 f max ? 1125 (元) ∴当第 25 天时销售金额最大为 1125 元 ……………12 分

6

22. (本题满分 14 分)已知奇函数 f (1)求 a, b, c 的值;

? x? ?

ax 2 ? 1 ? a, b ? N *,c ? R ? ; f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 bx ? c

(2)判断 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上的单调性,并用单调性定义加以证明; (3)设函数 g ( x ) ? x ?

1 ? 6 ( 1 ? x ? 2 ) u( x) ? x3 ? 3? 2 x ? 2? ,当 ? ? 1 时, , x

若对任意 x1 ?[1, 2] ,总存在 x2 ? [0,1] ,使得 u( x2 ) ? g ( x1 ) 成立,求实数 ? 的取值范围. 解: (1)? f ? x ? 为奇函数? f ? ?x ? ? ? f ? x ?

?

ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? ?bx ? c bx ? c ?bx ? c

比较系数得 c ? ?c ? c ? 0 ; (用 f ? ?1? ? ? f ?1? 也可)……2 分

? f ? x? ?
? f ? 2? ?

a ?1 ax 2 ? 1 ? f ?1? ? ? 2 ? 2b ? a ? 1 b bx 4a ? 1 4a ? 1 ? ? 3? a ? 2, 2b a ?1

? a ? N * ,?a ? 1,
? f ? x? ?
(2) f ? x ?=x ?

?b ? 1 .

x2 ? 1 1 ? x ? ……………5 分 x x

1 在 ?1, ?? ? 上的单调递增. ……………6 分 x

证明:任取 x1, x2 ? ?1, ??? 且x1 ? x2 ,

? ?1 1? 1? ? 1? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? x1 x2 ? ? ?x ? x ? ? x1 x2 ? 1? 1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 2 1 ? ? x1 ? x2 ? ?1 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 x1 x2 ? x1 x2 ?
?1 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0且1 ? x1x2 ? x1x2 ?1 ? 0

? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,
即 f ? x ?=x ?

1 在 ?1, ?? ? 上的单调递增.……………9 分 x

7

(3) y ? t ? ? 6 ;由(2)可知 y ? t ? ? 6在 ?1, 2? 上递增 ,

1 t

1 t

7 ?当t=1时,y min =-4;当t=2时,y max ? ? , 2
即 g ( x) 的值域为 ? ?4, ? ? ……………10 分 2

? ?

7? ?

设 x1 , x2 ? ?0,1?,且 x1 ? x 2 ,
3 3 2 2 则 u( x1 ) ? u( x2 ) ? x1 ? x2 ? 3? 2 ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x1x2 ? x2 ? 3? 2 ) (*)

? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0 ;
又? 0 ? x1 ? x2 ? 1 , ? ? 1 ,
2 2 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ? 3 , 3? 2 ? 3 ,? x12 ? x1 x2 ? x2 ? 3? 2 ? 0 ,

所以(*)式 ? 0 ,即 u( x1 ) ? u( x2 ) ,所以 u ( x) 单调递减;…..11
2 对于 x ? [0,1] , u (1) ? u ( x) ? u (0) ,所以 u ( x) ? ?1 ? 3? ? 2? , ?2? ? ;……………………..12 ? ?

由题意,即要 g ( x) 的值域是 u ( x) 的值域的子集,……………13 所以只需: 1 ? 3? ? 2? ? ?4 ? ?
2

7 ? ?2? , 2

解得 1 ? ? ?

7 .…………………………………14 分 4

8



稿



9

10. 函数 y ? lg ? A. x 轴对称

? 2 ? ?1? 的图像关于( ? 1? x ?
B. y 轴对称 C.原点对称
2

) D.直线 y ? x 对称 .

13、已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为[ a ? 1, 2a ] ,则 a ? b ?
3 15.已知 f ( x ) 为 R 上的奇函数,当 x??0, ??? 时, f ( x) ? x 1 ? x ,

?

?

则当 x? ? ??,0? 时, f ( x) ? _________. 22、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) = x2 + bx + c ( b, c ? R )是偶函数且 f (0) ? 0 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)是否存在实数 ? ?

1 17 ,使函数 g ( x) ? 1 ? ? f ( x) ? (2? ? 1) x 在区间 [?1, 2] 上的值域为 [?4, ] ? 4 8

若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.
g 21. (本题 14 分)设 f ( x) ? loga ( x) (a ? 0且a ? 1)

(1)若 f (x) 在定义域 D 内是奇函数,求证: g ( x) ? g (? x) ? 1 ; (2)若 g ( x) ? ax 且在[1,3]上, f (x) 的最大值是

3 ,求实数 a 的值; 2

(3)若 g ( x) ? ax2 ? x ,是否存在实数 a,使得 f (x) 在区间 I=[2,4]上是减函数?且对任意的 x 1 ,x 2 ∈I 都有 f(x 1 )> a 21.(本题 14 分) 解: (1)? f (x) 在定义域 D 内是奇函数
x2 ? 2

,如果存在,说明 a 可以取哪些值;如果不存在,请说明理由。

? f (x) + f (? x) =0
g g g loga ( x ) + loga (? x) =0 即 loga ( x)?g ( ? x) =0

…………………1 分 …………………2 分 …………………3 分

? g ( x) ? g ( ? x) ? 1

(2)①若 a>1,则 f ( x) ? logax 在[1,3]上是增函数,则有 f(3)= a

3 2

? f ( x) ? log3a = a ? a=9

3 2

…………………4 分 ……………………5 分

②若 0<a<1,则 f ( x) ? log ax 在[1,3]上是减函数,则有 f(1)= a

3 2

10

3 ? f ( x) ? loga = ,解得:a 不存在 a 2
综上所述:a=9

…………………7 分 ……………………8 分

(3)①若 a>1 时,要满足题设,则有 g ( x) ? ax2 ? x 在[2,4]上是减函数。

? 而函数 g ( x) ? ax2 ? x ? 0 仅在 ?? ?,0? 上是减函数,
故 a>1 不符合题意 ………………………10 分

另解:①当 a>1 时,可知 g ( x) ? ax2 ? x 在[2,4]上是增函数,而函数 y ? loga t 是增函数,故 f (x) 在区间 I=[2,4]上是增函数,与已知矛盾,舍去。……………………10 分 ②若 0<a<1 时,要满足题设,则有 g ( x) ? ax2 ? x 在[2,4]上是增函数,并且 g ( x) ? 0 在[2,4]上成 立,?

1 1 ? 2 ,∴a﹥ a 2
x2 ? 2

……………………11 分 ,只要求 f(x)的最小值大于 a
x ?2

要对任意的 x 1 ,x 2 ∈I 都有 f(x 1 )> a

的最大值即可。

? f (x) 在区间 I=[2,4]上是减函数,
0 ? f ( x)min = f (4) = log(16a?4) , a x?2 的最大值为 a =1 a

……………………13 分

? log(16a?4) >1,? a< a

4 1 ,这与 a﹥ 矛盾,舍去 15 2
………………………14 分

综上所述:满足题设的实数 a 不存在

11


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