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椭圆中的焦点三角形


椭圆中的焦点三角形
定义:椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中,我们把椭圆的 两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形

考点 1

有关周长和距离问题:

x2 y2 ? ?1 F 例 1.(08 浙江)已知 F1 , F2 为椭圆 25 9 的两个焦点,过 1 的直线交椭圆于 A, B 两点,


F2 A ? F2 B ? 12

,则

AB ?

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 变式(06 年四川)如图把椭圆 a 的长轴分成 8 等分,过每个点作 x 轴的垂线交椭
圆的上半部分于

P 1, P 2,

, P7 七个点。 F 是椭圆的一个焦点,则 PF1 ? PF2 ?

PF7 ?

1

x2 y2 ? ?1 PF PF2 变式 2 已知 F1 , F2 是椭圆 25 16 的左,右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 1 的最大

值是

考点 2

有关角的问题:

x2 y2 ? ?1 ?F1PF2 为钝角 4 例 2(2000 全国)椭圆 9 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当
时,点 P 横坐标的取值范围是

x2 y2 ? ?1 ?F1PF2 为直角时,点 P 横 4 变式:椭圆 9 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 为其上的动点,当
坐标的取值范围是

2

性质一:当点 P 从右至左运动时,

?F1PF2 由锐角变成直角,又变成钝角,过了 y 轴之后, ?F1PF2 达到最大

对称地由钝角变成直角再变成锐角,并且发现当点 P 与短轴端点重合时,

x2 y2 ? ?1 PF ? PF2 的点 P 的 4 变式: (2004 湖南卷) F1 , F2 是椭圆 C : 8 的焦点,在 C 上满足 1
个数

考点 3

有关离心率的问题:

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 例 3 已知椭圆 a , (a ? b ? 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 ,若椭圆上存在一点 P ,使得

?F1PF2 ? 1200 ,求椭圆离心率 e 的取值范围

3

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 性质二:已知椭圆方程为 a , (a ? b ? 0) 的两焦点分别为 F1 , F2 ,设焦点三角形

F1PF2 中, ?F1PF2 ? ? ,则 cos? ? 1 ? 2e2 (当且仅当动点为短轴端点时取等号)
变式(09 江西)已知 F1 , F2 是椭圆的两个焦点,满足 则椭圆离心率的取值范围

MF1 MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,

考点 4

有关面积的问题: (

S?F1PF2 ? b 2 tan

?
2) ( ? 为焦点三角形顶角)

? x2 y2 ? ?1 ? ? F PF 4 1 2 6 ,则 PF1F2 的面积 例 4 P 是椭圆 5 上的点, F1 , F2 是椭圆的焦点,若
等于

4

? x2 ? y2 ? 1 ? ? F PF 1 2 3 ,则 PF1F2 的 变式: P 是椭圆 4 上的点, F1 , F2 是椭圆的焦点,若
面积等于

x2 y2 ? ?1 P, F1 , F2 9 变式: (04 湖北) 已知椭圆 16 的左右焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上, 若
是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为( )

A

9 5

B 3

C

9 4

D

9 9 7 4或 7

5

2b 2 性质 4 过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦矩的弦) ,最短,通径为 a

(2007 天津)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,A 是椭圆上的一 a 2 b2
1 OF1 . 3

O 到直线 AF1 的距离为 点, AF2 ? F 1F 2 ,原点
(Ⅰ)证明 a ?

2b ;

(Ⅱ)设 Q1,Q2 为椭圆上的两个动点, OQ1 ? OQ2 ,过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂线 OD , 垂足为 D ,求点 D 的轨迹方程.

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考 查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.满分 14 分. (Ⅰ)证法一:由题设 AF2 ? F , 0) , F2 (c, 0) ,不妨设点 A(c,y) ,其中 1F 2及F 1 (?c

y ? 0 .由于点 A 在椭圆上,有

c2 y 2 a 2 ? b2 y 2 ? ? 1 ? 2 ? 1. ,即 a 2 b2 a2 b

? b2 ? b2 解得 y ? ,从而得到 A ? c, ? . a ? a?
直线 AF1 的方程为 y ?

b2 ( x ? c) ,整理得 b2 x ? 2acy ? b2c ? 0 . 2ac
1 c b2c OF1 ,即 ? , 3 3 b4 ? 4a 2c 2
2

由题设,原点 O 到直线 AF1 的距离为
2 2 2 2

将 c ? a ? b 代入上式并化简得 a ? 2b ,即 a ?

2b .

? b2 ? 证法二:同证法一,得到点 A 的坐标为 ? c, ? . ? a?
过点 O 作 OB ? AF1 ,垂足为 B ,易知 △F 1 BO ∽ △F 1 F2 A ,故

BO OF1

?

F2 A F1 A



BO ? 由椭圆定义得 AF 1 ? AF 2 ? 2a ,又

1 OF1 , 3

y B A

6

F1 O

F2

x

所以

F2 A 1 F2 A , ? ? 3 F1 A 2a ? F2 A
a b2 b2 a ? ,即 a ? 2b . ,而 F2 A ? ,得 2 a 2 a

解得 F2 A ?

(Ⅱ)解法一:设点 D 的坐标为 ( x0,y0 ) . 当 y0 ? 0 时,由 OD ? Q1Q2 知,直线 Q1Q2 的斜率为 ?

x0 ,所以直线 Q1Q2 的方程为 y0

y??

x0 x x2 ( x ? x0 ) ? y0 ,或 y ? kx ? m ,其中 k ? ? 0 , m ? y0 ? 0 . y0 y0 y0

点 Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组 ? 将①式代入②式,得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 2b2 , 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2b2 ? 0 , 于是 x1 ? x2 ? ?

? y ? kx ? m,
2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b .

4km 2m 2 ? 2b x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

由①式得 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? k 2

? k2 ·

2m2 ? 2b2 ?4km m2 ? 2b 2 k 2 2 ? km · ? m ? . 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

3m2 ? 2b2 ? 2b2 k 2 ?0, 由 OQ1 ? OQ2 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .将③式和④式代入得 1 ? 2k 2

3m2 ? 2b2 (1 ? k 2 ) .
2 2 2 x0 x0 2 2 将 k ? ? ,m ? y0 ? 代入上式,整理得 x0 ? y0 ? b . 3 y0 y0

当 y0 ? 0 时,直线 Q1Q2 的方程为 x ? x0 , Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的坐标满足方程组

? x ? x0, ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2b .
所以 x1 ? x2 ? x0 , y1, 2 ??
2 2b2 ? x0 . 2

7

由 OQ1 ? OQ2 知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 x0 ?
2

2 2b 2 ? x0 ? 0, 2

解得 x0 ?
2

2 2 b . 3
2

这时,点 D 的坐标仍满足 x0 ? y0 ?
2

综上,点 D 的轨迹方程为

2 2 b . 3 2 x2 ? y 2 ? b2 . 3

解法二: 设点 D 的坐标为 ( x0,y0 ) , 直线 OD 的方程为 y0 x ? x0 y ? 0 , 由 OD ? Q1Q2 ,
2 2 垂足为 D ,可知直线 Q1Q2 的方程为 x0 x ? y0 y ? x0 . ? y0 2 2 记 m ? x0 (显然 m?0 ) , 点 Q1 ( x1,y1 ),Q2 ( x2,y2 ) 的 坐 标 满 足 方 程 组 ? y0

? ? x0 x ? y0 y ? m, ? 2 2 2 ? ? x ? 2 y ? 2b .
由①式得 y0 y ? m ? x0 x .

① ②
③ ④

2 2 2 2 2 2 由②式得 y0 x ? 2 y0 y ? 2 y0 b .

2 2 2 2 将③式代入④式得 y0 x ? 2(m ? x0 x)2 ? 2 y0 b . 2 2 2 整理得 (2x0 ? y0 ) x2 ? 4mx0 x ? 2m2 ? 2b2 y0 ?0,
2 2m2 ? 2b2 y0 于是 x1 x2 ? . 2 2 2 x0 ? y0



由①式得 x0 x ? m ? y0 y .



8


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