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例谈用数学归纳法证明数列不等式的加强命题法 (2)_图文

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例谈用数学归纳法 证明数列不等式的加强命题法
唐志忠 江苏常熟市中学215500

硼髓脚雌堋科

一一一~~~ 狲刖;叁一一~㈣黼脚臻黜御 融肿洲槭稽题 ~一一一一一 一一一一一一
或边法侧咧桕

谢栅躲膨!;|啾簖稽弛酶 ! 删科瓤媛礴法等式醵弘 知扎悯悯撕

~一一一一
从上述分析可知,g(n)必须同时满 (3)明gg(n)应满足的条件后,我

数列不等式在高等数学尤其是在 分析数学的极限、级数中有着广泛的应 用,因而这类问题在近几年的高考、自 主招生考试、数学竞赛中屡见不鲜,成 为考试的热点:但是数列不等式的证明 经常要用到放缩法.而放缩法需要学生 有敏捷的数学观察力和熟练的代数变 形能力.同时还要注意恰当的放缩度, 技巧性强且难以操控,因而成为学生学 习和考试的难点. 数列不等式是与正整数有关的命
题.故很自然地可考虑用学生容易掌握

_…1+- 1+...+赤(2n+l
9 25

+…+——≤:——一——.U【J
)2 譬(n)

04一者?①

命题①. 足②④两式.
们就可以“确定”g(n)的表达式了.观

接着思考的问题自然是:要使加强 命题成立,g(n)应满足什么条件呢? (2)既然加强命题①成立,则可以
利用数学归纳法加以证明:

察(多式的结构,不等式右边分母是二次
多项式,于是我们考虑到,如果g(n)是 一次多项式。则不等式左边通分后也是

当凡:1时。一1<1一—L.② 9 4

归纳假设上+上+…+—L≤


g(1)

一个二次多项式,这样(鸯式就转化为两
个二次多项式的比较,从而可以通过

25(2k+1)2

1一上.接下来要证


g(凡)的系数控制使④式成立.设g(n)=
an+b(o,6为待定的常数),将g(n)=art+ 6代入④式-知a(2k+3)2≥(ak+b)(ak+a+
b)对%∈N‘恒成立,整理得4ak2+12ak+ 9口≥孑%2+(2ab+孑)k+6(a+b)对k∈N‘ 恒成立. 比较各项系数得n≤4。b≤4.


g(k)

的数学归纳法来加以处理,当然,有些 数列不等式可直接采用数学归纳法证 明.但有时需要证明的数列不等式的一

! ! 上+上+.-.+ ——+——+…+——+——≤ 25(2k+1)2(2k+3)2
≤ 9

丢一赤-③
而由归纳假设只能得到上+上+…+

边(或两边)为常数(形如∑啦≤c),用
数学归纳法证明无法实现归纳过渡.但 通过对归纳过渡过程的研究.可以放缩 一边的常数。将命题转化为一个加强不


——J-—— ≤上一上+


又因为g(n)=吼+6同时满足(函式,代

(2J}+1)2

——————————一-

(2k+3)2



g(k)

入得口+6≥孚.所以不妨取赳,b:4,即
得g(n)--4n+4,从而原不等式可以加强


等式(∑峨≤c一—妥),然后实现对原 、氓 碍【n J/
不等式的证明,这样的证明称为加强命
题法.

(2k+3)2

如果能证得土4一承1百+i丽1
g(尼)

为:

(2后+3)2

倒1求证:吉+}..+上(2n+1)2<
如洲.
分析:(1)首先假设命题可以强化为

上一


.即 g(k+1)1



! ——+——+…+——≤——一—— 土+上”.+ ≤上一j一 4n“
9 25

(2n+1)2



(n∈N’). ( 2k+3,④ )2




击一赤≥丽19(k

证明:先用数学归纳法证明原不等
) g(k+l )

式的一个加强不等式⑤

则可以由不等式的传递性知道③
式成立.从而由归纳法原理证明了加强

(I)当n=1时,左边=吉,右边=了1一

万方数据

试题研究,懈题技巧’。一一一^_-‘‘一_

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妻:一1,左边<右边,加强不等式⑤成 8 8。


不等式。实施数学归纳法的证明.

立:

当+去+...+去<2,则有 22 32 k2

2.异侧加强

立,一9-25”.+赤≤L4
f2矗+1)2

(Ⅱ)假设当n=k(k≥1)时不等式成

例4设o<畎l,定义口1-l+a,铲上+
儡卜l


?+虿1+歹1+…+丢k+百斋<2+
22 32

(后+1)2

口(n≥2),证明:对一切自然数凡,都有%> 1.(第9届加拿大数学奥林匹克)

÷_,则当n=k+l时, 4】jI“’


面石1丁,无法推出乃瑚+1时命题成立.
由此在常数的同一侧采用上述加

分析:本题直接用数学归纳法无法

左边:—1—+—L+…+——L+
9 25

证得◇1,可对它的另外一侧实施加强,

强命题法得出一个加强不等式

(2k+1)2









1+.-S+妻+...+三<2一!(n≥2). 2 32


得加强不等式l<%<击.①
证明:(1)"-3 n=l时,O,l=1+口,由0<0<

n2

n。

(2k+3)2

4舭“(2k+3)2

因为~1一—1-+
4 1 4k+8 l 4k+4 1


(2k+3)2


<土一


证明:当n=2时,1+壶<2一丢,结论
成,3-.

1,有1<1托<击,即当乃=l时,加强不等
式成立:

(2k+3)2

4k+4戤+8’

假设当n瑚时结论成立,即1+吉+
去+… <2一—1,m'l-3


(2)假设当n=k时式①成立,即1<啦<

甘舭2+l妣+8<4k2+12k+9甘8<9.恒
成立.所以

——一——+——<——一——.从 上一上+!<三一上.从


k2



n=七+?时,?+吉+
— 22
一 一

了三,则当n=||}+1时,一方面有

4^+4(2J}+3)2



4k+8’

——+…+——+——< 土”.+土+—L<2—1+—L:22一 +——=
32

qI+l:j一+口>÷+口:(1一口)+口:1,另 ‰2i托>T忙(1一口)协’另
1-a

七2(k+1)2



(k+1)2

而土+土”.+
9 1 4k+8’ 25







<上一


(2k+1)2(2k+3)2

器k<2_器k k+l_2-上k+l,即孙
(七+1) ( )2 k+l时结论成立. 由数学归纳法得对一切nt>2不等

一方面有"去愀?忙鲁<击,
吼 I—咀
l—口

因此,当n=k+l时式①也成立,由(1) (2)可知不等式l奶‘_L对一切自然数 1吨
都成立.

说明加强不等式当/7,矗+1时也成

立,所以加强不等式(p恒成立,

从而—1—+—1—+…+——L≤三一
9 25

式1+-3-+当+…+—妥<2一!成立,又当凡: 2 32


n2

rt

1时,原不等式显然成立,从而不等式1+

评注:从表面上看。加强命题使原 问题变复杂了。而实际上通过加强命题 可以得到一个较强的归纳假设.从而为
归纳过渡的顺利完成奠定坚实的基础. 反而有利于原问题的解决.另外。这种 异侧加强有广泛的适用性.

(2n+1)2



1 4n+4

1 4

壶+吉+..‘+去<2(n≥?且n∈N+,得证.
倒3设n是正整数,证明:(1+÷)? (t+壶)..?(?+毒)<2(2012年北方数学
奥林匹克) 证明:根据所证不等式的结构特 征。可设加强不等式为

由上例可得出处理此类问题的一
般步骤是:

首先假设加强不等式∑ai≤c一

倒5已知数列{%f满足关系式:a。= 2,nr。1=2+二L(n∈N‘).


嘉成立’接着利用归纳递推关系明确
g(n)应满足的条件,然后确定g(n)的表 达式,得出要证的加强不等式(一般不 唯一),最后用数学归纳法(也可用其他 方法)证明这一加强不等式。从而完成 原不等式的证明. 构建加强不等式是证明数列不等 式问题的一种有效方法.从不等式的结 构形式可分为三类:同侧加强,异侧加 强与双向加强.这也是利用数学归纳法 证题的精髓所在.
1.同侧加强

(1)求a2,a3,m;

(?+÷)(?+歹1).I-(-+去)<2一多,
为了利用数学归纳法.则需证明

(2)求证:眯1+、/丽.

简析:(1)易得Ⅱ2=了5,d3=孚,啦=
—4—3. 14’

兰,所以只要矗≥1即可,取矗=1,由
’ ’

峙”刍)一刍,得后≥
2?3“+1。

(2)由%+l=2+旦,吼=2知%>O,要证

数学归纳法可证得不等式(1+÷)?
(?+壶)...(,+专)<2一去成立,从而原不
等式得证. 说明:利用所证不等式的结构特 征捅对待窜系数法丌有糟抽.得到加强

口I<1+俪,



则有%+l=2+旦>24.—旦一:1+ 1+、/n+1
(k

例2求证:1+去+13:+…+i1<2
(n≥l至t_n∈N+).

、/而r,可得加强不等式1+订<%<l+
、/斛1,然后用数学归纳法易证,本文从


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3.双向加强

'-3n=l时,、/呵<%=2<V呵+1,不等
式(+)成立;

!也成立


倒6

已知数列{a}满足a。=2,%+。=

≥+去舳:?<眯寻+÷.
分析:注意到数列{a}的递归函数为

假设当n=k时,有、/丁<吼<、/‘虿十

故不等式(+)成立,因此,1<、/2<

三,当n:后+l时,一方面由均值不等式有

%<、/丁+土<昙+土.
n Z n

,(髫)=要+土,町(茹)≈求得其不动点
Z 戈

由上可知。利用数学归纳法证明数

为±x/2,因此,可先求出通项公式再进 行放缩证明.当然,也可不求通项公式,

嚷+t-号+去≥2\/吉=V虿,当_E6t当
吼=、/可时等号成立,故诹+。>、/‘虿.另一

列不等式.可以使很多复杂的数列不等 式的证明题迎刃而解,具有较广泛的适 用性.这样处理不等式问题既适应新课 改的需求(新课程标准已将不等式证明 这块内容纳为理科选修内容)。又符合 “淡化特殊技巧.注重通性通法”的新高 考理念.且能有效提高学生的思维能力 和解题能力,促进数学的高效学习,值 得在教学和解题训练中加以推广使用.

直接证明其双向均加强的不等式订<
眯、/丁+三.
证明:先用数学,13纳法证明:对一

枫机2詈+去<孚+去2
订+去≤订+击,
所以当n矗+1时.订<瓯<订+

订+土

切正整数,有X/Z-<尔、/可+上.(+)

(上接第44页)

题的方法.教师要精心选择熟悉的题

助学生在考试前有的放矢,及时复习,

目。挑选一些代表性的试题.帮助学生 提高有效性的实践和研究。使高三学生 养成合理规划和自我调节的习惯.从而 提升学习效率,提升学习成绩呢?笔者 有以下建议:
1.重视及时反馈.加强统计 教师在给高三学生布置作业的时 候,要养成让学生独立思考的习惯,形

组织学生在学习过程中.教会学生深刻 领会知识,让学生由薄变厚地学习知 识。从而能够灵活运用。提出关键性的
问题. (2)纠后再测

理解解题的关键点.寻找解题的突破 1:3,重视知识点、技巧、通法的掌握和数 学思想的掌握.使学生形成书面的理
解.掌握一些变化. 3.重视行动。纠正巩固。纠后再测 、(1)纠错巩固 教师可以进行模仿性练习.初步检

教师要重视检测后再测。重视提高 学习效果的考查,选择作业中错误率 较高的问题,学会变换角度设计出具 有针对性的练习。学会有意识地重现 考试中的题目,实现反复强化,巩固讲 评效果,使得学生的学习能力真正得 以提高.教师要针对学生变式题型的 使用,重视思想方法的渗透,提高学生
发现问题和解决问题的能力.提升学 生的学习能力. 此外,教师还要优化学生的思维模 式,重视将新的知识融入旧的知识中.

成学生自己学习的念头和想法.在作业 讲评的时候,教师要帮助学生建立习题 库.帮助学生形成记录错题的习惯.教
师也要将作业进行统计和分析.为作业

测学习效果,针对各种题型增加对题目 的了解,教会学生考什么,学什么,怎么 考,怎么教,根据高考容易出现的题目 选择解题的方法,对考试的信息要及时
的沟通. 教师要带领学生进行纠错性巩固. 查找缺点和缺漏,针对学生试卷中出现 的问题,突破学习的重点和难点.教师

讲评做好准备。建立起班级的错题集. 记录错误率高的题目.统计错误率,找 到错误的根源,分析错误的原因。让讲
评具有针对性. 2.重视讲解,熟悉解法,书面规范

在每次讲评后.都要针对学生的错题进 行纠正,做好错误记录,建立错误的档 案,注明正确的答案和解题的思路.帮

教师要及时反馈。给予准确统计,
了解学生产生错误的原因.找到解决问

形成新的知识结构,这样高三数学作业 的布置才更有实效.更高效.

47

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