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高中数学(人教A版选修1-1)作业2.2.2双曲线的简单几何性质(二)

技能演练 1.已知双曲线 9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线 1 的距离为 ,则 m 等于( 5 A.1 C.3 解析 由 9y2-m2x2=1(m>0), ) B.2 D.4 y2 x 2 1 得 - =1,知顶点(0, ). 1 1 3 2 9 m m 渐近线方程为 y= x, 3 1 | | 3 1 = . 2 5 m +1 9 则顶点到该渐近线的距离 d= 解得 m2=16,∴m=4. 答案 D x 2 y2 2.双曲线 2- 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,已知 a b 线段 F1F2 被点(b,0)分成 5?1 两段,则此双曲线的离心率为( 3 A. 2 3 5 C. 5 解析 9 B. 5 D. 6 2 ) 由题可知 b+c=5(c-b),∴3b=2c. ∴9b2=4c2=9(c2-a2). 9 3 ∴5c2=9a2,∴e2= ,e= 5. 5 5 答案 C 3. (2010· 北京西城)已知方程 ax2+by2=ab 和 ax+by+c=0(其中 ab≠0,a≠b,c>0),它们所表示的曲线可能是( ) 解析 x 2 y2 方程 ax +by =ab 可化为 b + a =1, 2 2 a 直线 ax+by+c=0 的斜率为-b. a c A 中,直线的斜率-b<0,纵截距-b>0,∵c>0,∴b<0,a<0, x 2 y2 ∴方程 b + a =1 表示双曲线,其中 b>0,a<0,矛盾,A 错. x 2 y2 a c B 中,由方程 b + a =1 可知,b<0,a>0,直线中-b>0,-b>0, 则 b<0,a>0,故 B 正确. 答案 B x 2 y2 4.(2010· 福建福州月考)已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过点 F 且垂直于 x 轴的直线 与双曲线交于 A,B 两点,若△ABE 是钝角三角形,则该双曲线的离 心率的取值范围是( A.(1, 2) C.(1,2) 解析 ) B.( 2,+∞) D.(2,+∞) c2 y2 b4 0 2 设 A(c,y0)代入双曲线方程得 2- 2=1,∴y0= 2. a b a b2 b2 ∴|y0|= a ,∴|AF|= a . ∵△ABE 是钝角三角形, ∴∠AEF>45° . b2 则只须|AF|>|EF|,即 a >a+c,∴b2>a2+ac, 即 c2-a2>a2+ac,c2-ac-2a2>0. ∴e2-e-2>0,解得 e>2,e<-1(舍去).故选 D. 答案 D 5.(2010· 北京西城)设 e1,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭 →· → 圆和双曲线的离心率, P 为两曲线的一个公共点, 且满足PF 1 PF2=0, 1 1 + 2的值为( e2 e2 1 A.2 C.4 解析 ) 3 B. 2 5 D. 2 设椭圆与双曲线的半焦距为 c,椭圆的长半轴为 a,双曲 线的实半轴为 m,不妨设 P 在第一象限,由题可得 |PF |+|PF |=2a, ? ?① ?|PF |-|PF |=2m, ?② ?|PF | +|PF | =4c , ? ?③ 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ①2+②2 得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2, ∴a2+m2=2c2. 2 2 1 1 a 2 m 2 a +m 又 2+ 2=(c) +( c ) = =2.故选 A. e1 e2 c2 答案 A 9 6. 若动点 P(x, y)到定点 F(5,0)的距离是它到直线 x= 的距离的 5 5 倍,则动点 P 的轨迹方程为________. 3 解析 ?x-5?2+y2 5 设 P(x,y),则 = , 9 3 |x- | 5 化简整理得 16x2-9y2=144. 答案 16x2-9y2=144 x 2 y2 7.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其 2 b →· → 一条渐近线方程为 y=x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则PF 1 PF2= ________. 解析 因为渐近线方程为 y=x,∴b= 2. ∴双曲线方程为 x2-y2=2. ∴点 P 的坐标为( 3,± 1). 又易知 F1(-2,0),F2(2,0),不妨取 P( 3,1). →· → ∴PF (2- 3,-1)=0. 1 PF2=(-2- 3,-1)· 答案 0 x 2 y2 8.(2010· 广东月考)已知 P 是双曲线 2- =1 右支上的一点,双 a 9 曲线的一条渐近线的方程为 3x-y=0.设 F1,F2 分别为双曲线的左、 右焦点.若|PF2|=3,则|PF1|=________. 解析 由双曲线的一条渐近线的方程为 3x-y=0,且 b=3 可得 a=1,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a?|PF1|-3=2?|PF1|=5. 答案 5 9.已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144,F1,F2 是其左、右焦 点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小. 解 x 2 y2 双曲线的方程可化为 - =1, 9 16 ∴a2=9,b2=16,∴c=5. 由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=6. |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 ∴cos∠F1PF2= 2|PF1|· |PF2| ?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1|· |PF2|-4c2 = . 2|PF1|· |PF2| 又|PF1|· |PF2|=32, 62+2×32-4×25 ∴cos∠F1PF2= =0. 2×32 ∴∠F1PF2 的大小为 90° . 10.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为( 7,0),直线 y=x 2 -1 与其相交于 M,N 两点,MN 的中点的横坐标为- ,求此双

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