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偏微分方程数值解试题06B


信息与计算科学专业 一 ( 10 分 )、 设 矩 阵 A 对 称 , 定 义 J ( x) ?
1 ( Ax , x) ? (b, x) ( x ? R n ) , 2

? (? ) ? J ( x0 ? ?x) .若 ? ' (0) ? 0 ,则称称 x0 是 J ( x) 的驻点(或稳定点).矩阵 A 对
称(不必正定) ,求证 x0 是 J ( x) 的驻点的充要条件是: x0 是方程组 Ax ? b 的解

d du ? ? Lu ? ? ( p ) ? qu ? f 二(10 分) 、 对于两点边值问题: ? dx dx ? u ( a ) ? 0, u ' (b) ? 0 ?
x?[ a ,b ]

x ? ( a, b)

其中 p ? C 1 ([a, b]), p( x) ? min p( x) ? pmin ? 0, q ? C ([a, b]),q ? 0, f ? H 0 ([a, b]) 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式: 求泛函极小的 Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。

第一页(共五页) 三(20 分) 、对于边值问题

? ? 2u ? 2u ? ? 0 , ( x, y) ? G ? (0,1) ? (0,1) ? ? ?x 2 ?y 2 ? u | x ?0 ? 1, u | x ?1 ? 0, u | y ?0 ? u | y ?1 ? 1 ? x ?
(1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式) ,推导截 断误差的阶。 (2)取 h ? 1 / 3 ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) (3)就 h ? 1 / 5 和 h ? 1 / N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵 表示) 。

第二页(共五页)

? ?u ? 2u ? a ? bu, 0 ? x ? 1,0 ? t ? T ? ?x 2 ? ?t 四(20 分) 、对于初边值问题 ? u ( x,0) ? ? ( x), 0 ? x ? 1 ? u (0, t ) ? u (1, t ) ? 0,0 ? t ? T ? ?
(1)建立向前差分格式(最简显格式) ,推导截断误差的主项,指出误差阶 ; (2)写出差分格式的矩阵形式(即 AU k ?1 ? BU k ? ?F 的形式) ,用矩阵方法分析 格式的稳定性 (3)建立六点对称格式( Crank ? Nicolson 格式) 并写出计算形式,应用 Fourier 方法(分离变量法)分析格式的稳定性。

第三页(共五页)

?1 ?1 n un ? un un ?u ?u j j j ?1 ? u j ?1 ? ? 0 的三层差分格式 五(10 分) 、逼近 ? ?0 ?t ?x 2? 2h

分析格式的稳定性

六(10 分) 、建立波动方程 推导格式稳定的必要条件.

2 ? 2u 2 ? u ? a 的初值问题的显格式,推导截断误差, ?t 2 ?x 2

第四页(共五页)

七(10 分) 、对于二维抛物型方程

?u ? 2u ? 2u ? a( 2 ? 2 ) 建立 Crank ? Nicolson 差分 ?t ?x ?y

格式,指出截断误差阶,分析格式的稳定性。

八(10 分).用 Ritz ? Galerkin 方法求边值问题

?? u " ? u ? x 2 0 ? x ? 1 ? ? u (0) ? 0, u (1) ? 1
的第 n 次近似 un ( x) ,基函数 ?i ( x) ? sin(i?x),i ? 1,2,...,n

第五页(共五页)

偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准
信息与计算科学专业 一 ( 10 分 )、 设 矩 阵 A 对 称 , 定 义 J ( x) ?
1 ( Ax , x) ? (b, x) ( x ? R n ) , 2

? (? ) ? J ( x0 ? ?x) .若 ? ' (0) ? 0 ,则称称 x0 是 J ( x) 的驻点(或稳定点).矩阵 A 对
称(不必正定) ,求证 x0 是 J ( x) 的驻点的充要条件是: x0 是方程组 Ax ? b 的解 解: 设 x0 ? R n 是 J ( x) 的驻点,对于任意的 x ? R n ,令

? (? ) ? J ( x0 ? ?x) ? J ( x0 ) ? ? ( Ax0 ? b, x) ?

?2
2

( Ax, x) ,

(3 分)

? ' (0) ? 0 , 即 对 于 任 意 的 x ? R n , ( Ax0 ? b, x) ? 0 , 特 别 取 x ? Ax0 ? b , 则 有
( Ax0 ? b, Ax0 ? b) ?|| Ax0 ? b || 2 ? 0 ,得到 Ax0 ? b . (3 分)
反 之 , 若

x0 ? R n





Ax0 ? b

,













1 x , J ( x0 ? x) ? ? (1) ? ? (0) ? ( Ax , x) ? J ( x0 ) ,因此 x0 是 J ( x) 的最小值点. (4 分) 2

评分标准: ? (? ) 的展开式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分
d du ? ? Lu ? ? ( p ) ? qu ? f 二(10 分) 、 对于两点边值问题: ? dx dx ? u ( a ) ? 0, u ' (b) ? 0 ?
x?[ a ,b ]

x ? ( a, b)

其中 p ? C 1 ([a, b]), p( x) ? min p( x) ? pmin ? 0, q ? C ([a, b]),q ? 0, f ? H 0 ([a, b]) 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式: 求泛函极小的 Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。
1 解 : 设 HE ? {u | u ? H 1 (a, b), u(a) ? 0} 为 求 解 函 数 空 间 , 检 验 函 数 空 间 . 取 1 v ? HE (a, b) ,乘方程两端,积分应用分部积分得到

(3 分)

b du dv 1 . ? quv )dx ? ? fvdx ? f (v) , ? v ? H E (a, b) a a dx dx 即变分问题的 Galerkin 形式. (3 分) 1 1 b du 令 J (u ) ? a(u, u ) ? ( f , u ) ? ? [ p( ) 2 ? qu 2 ? fu ]dx ,则变分问题的 Ritz 形式 2 2 a dx

a(u, v) ? ? ( p

b

1 为求 u * ? H E J (u ) (a, b) ,使 J (u * ) ? min 1
u?H E

(4 分)

评分标准:空间描述与积分步骤 3 分,变分方程 3 分,极小函数及其变分问题 4 分, 三(20 分) 、对于边值问题

? ? 2u ? 2u ? ? 0 , ( x, y) ? G ? (0,1) ? (0,1) ? ? ?x 2 ?y 2 ? u | x ?0 ? 1, u | x ?1 ? 0, u | y ?0 ? u | y ?1 ? 1 ? x ?
(1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式) ,推导截 断误差的阶。 (2)取 h ? 1 / 3 ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式,并求解) (3)就 h ? 1 / 5 和 h ? 1 / N 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵 表示) 。 解: (1) 区域离散 x j ? jh, yk ? kh ,差分格式为
u j ?1,k ? 2u jk ? u j ?1,k h
2

?

u j ,k ?1 ? 2u jk ? u j ,k ?1 h2

?0

(5 分)

应用 Tayloy展开得到,截断误差为

h 2 ? 4u ? 4u [ 4 ? 4 ] jk ? O(h 4 ) ,其阶为 O(h 2 ) (3 分) 12 ?x ?y

(2) 未知量为 U ? (u11 , u12 , u21 , u22 )T ,矩阵形式为 AU ? F ,其中

? 4 ?1 ?1 0 ? ?1 ? 2 / 3 ? ? 5 / 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 0 ? 1? ? 1/ 3 ? ?1/ 3 ? A?? ,F ? ? ? ? 1 0 4 ? 1? 1 ? 2 / 3? ? 5 / 3? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?1 ?1 4 ? ? 1/ 3 ? ?1/ 3 ? ? ? ? ? ? ? 求解得到解为 (3 分) ? ? ? ? ? 52 / 15 ? ? A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4] L=
2.0000 0 0 0 u= 0.6667 -0.5000 -0.5000 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 1.9322 -0.5521 0 0 1.8516 0.3333 0.6667 0.3333

(4 分)

? 2 ? 15 / 2 ? ? 1/ 2 L?? 1/ 2 0 15 / 2 ? ? 0 ? 2 / 15 ? 2 / 15 ?

? B ?I ? ? 4 ?1 ? ? ? ? ? ?? I B ? I ? ? ?1 4 ?1 ? (3) 矩阵为 ? (5 分) ?,B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? I B ? 1 4 ? ? ? ? 评分标准:第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形 式 3 分,B 的形式 2 分
? ?u ? 2u ? a ? bu, 0 ? x ? 1,0 ? t ? T ? 2 ? t ? x ? 四(20 分) 、对于初边值问题 ? u ( x,0) ? ? ( x), 0 ? x ? 1 ? u (0, t ) ? u (1, t ) ? 0,0 ? t ? T ? ?
(1)建立向前差分格式(最简显格式) ,推导截断误差的主项,指出误差阶 ; (2)写出差分格式的矩阵形式(即 AU k ?1 ? BU k ? ?F 的形式) ,用矩阵方法分析 格式的稳定性 (3)建立六点对称格式( Crank ? Nicolson 格式) 并写出计算形式,应用 Fourier 方法(分离变量法)分析格式的稳定性。
?1 uk ? uk j j

解:(1) 区域离散,格式为

?

?a

1 2 k ? x u j ? bu k j h2

,

(5 分)

应 用 Taylor 展 开 得 到 , 误 差 主 项 为

1 ? 2u k ah2 ? 4 u k ( 2 ) j? ? ( 4 ) j ? O(? 2 ? h 4 ) , 阶 为 2 ?t 12 ?x

O(? ? h 2 )
(2) A ? E, B ? diag{r ,1 ? 2r , r} , 稳定条件为 r ? 1 / 2 (3) 格式为
?1 uk ? uk j j

(3 分)

(4 分) (3 分)

?

?

a 2 b k ?1 ?1 ? x (?u k ? (1 ? ? )u k (u j ? u k j j)? j ), 2 2 h
(2 分)

(3 分)

低阶项归入 O(? ) 中,格式是无条件稳定的.

?1 ?1 n un ? un un ?u ?u j j j ?1 ? u j ?1 ? ? 0 的三层差分格式 五(10 分) 、逼近 ? ?0 ?t ?x 2? 2h

分析格式的稳定性
?1 n n?1 解:计算形式为 u n ? ?r(u n j j ?1 ? u j ?1 ) ? u j

(2 分)

?1 此为三层格式,化为两层格式.令 v n ? un j j ,则有

n ?1 n n n ? ? u j ? ?r (u j ?1 ? u j ?1 ) ? v j ? n ?1 ? un ? j ?v j

(4 分)

n i?jh n i?jh 令 un ,代入格式,消去公因子,得到 , vn j ?w 1e j ? w2 e

? w1n?1 ? ? ? 2ir sin ?h 1 ?? w1n ? ? n?1 ? ? ? ? ?? ?w ? ? ? n? 1 0? ?? w2 ? ? 2 ? ?

(2 分)

? ? 2r sin ?hi ? 1 ? ? 2r sin ?hi 1 ? ? 放大矩阵为 G ? ? , 特征方程为 | ? E ? G | ? ? 1 0? ?1 ? ? ?
? 2r sin ?h ? 4 ? 4r 2 sin 2 ?h i 2

? ?2 ? 2r sin ?hi? ? 1 ? 0 , ?1, 2 ?

?1?2 ? 1 , max{|?1 |, | ?2 |} ? 1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根 ,即
? ? 4 ? 4r 2 sin 2 ?h ? 0 .考虑到 ? 的变化,稳定条件为 r ? 1

(2 分)

六(10 分) 、建立波动方程 推导格式稳定的必要条件.

2 ? 2u 2 ? u ? a 的初值问题的显格式,推导截断误差, ?t 2 ?x 2

解:差分格式为

?1 n ?1 un ? 2u n j j ?uj

?

2

? a2

1 2 n ?xuj , h2

(3 分)

4 1 ? ? 4u ? 2 2? ? u ? ? ? ? h 2 ? O(? 4 ? h 4 ) ,阶为 O(? 2 ? h 2 ) 截断误差为 ? ? ? a 4 ? 4 ? ? 12 ? ? ?t ? j ? ?x ? j

n

n

(3 分)

分析稳定性必要条件

(4 分)

?u ? 2u ? 2u 七(10 分) 、对于二维抛物型方程 ? a( 2 ? 2 ) 建立 Crank ? Nicolson 差分 ?t ?x ?y
格式,指出截断误差阶,分析格式的稳定性。 解: 差分格式为
?1 n un jk ? u jk

?

?

a 2 n?1 2 n ?1 (? x u jk ? ? y u jk ) h2

(4 分)

误差阶为 O(? ? h 2 ) (3 分)

1 ,恒稳定. 2 ?h 2 ?h 1 ? 4r sin ? 4r sin 2 2 八.用 Ritz ? Galerkin 方法求边值问题
放大因子为 G(? , ? ,? ) ?

(3 分)

?? u " ? u ? x 2 0 ? x ? 1 ? ? u (0) ? 0, u (1) ? 1
的第 n 次近似 un ( x) ,基函数 ?i ( x) ? sin(i?x),i ? 1,2,...,n 解:(1)边界条件齐次化:令 u0 ? x , w ? u ? u0 ,则 w 满足齐次边界条件,且

Lw ? Lu ? Lu0 ? x 2 ? x w(0) ? 0, w(1) ? 0
n

(3 分)

第 n 次近似 wn 取为 wn ? ? ci?i ,其中 ci (i ? 1,2,...n) 满足的 Ritz ? Galerkin 方程为
i ?1 n

? a(? ,? )c
i ?1 i j

i

? ( x 2 ? x,? j )

j ? 1,2,...,n

(3 分)


a(?i , ? j ) ? ? (?i'? 'j ? ?i? j )dx ? ij? 2 ? cos(i?x) cos( j?x)dx
0 0 1 1

? ? sin(i?x) sin( j?x)dx ?
0

1

ij? 2

? ? cos(ix) cos( jx)d x
?

?

1 ? sin ix sin jx 2? ??? 由三角函数的正交性,得到 ?

? i 2? 2 1 ? a (?i ,? j ) ? ? 2 ? 2 , i ? j ? i? j ?0,

而 ( x 2 ? x, ? j ) ? ? x( x ? 1) sin( j?x)dx ?
0

1

2 ( j? )
3

[(?1) j ? 1]

于是得到
?8 ? j为奇数 ? 3 cj ? ? ? ( j? ) (1 ? j 2? 2 ) a(? j ,? j ) ? j为偶数 ?0 ( x 2 ? x, ? j )

最后得到
[

un ( x) ? x ?

? (2k ? 1) ?
k ?1

n?1 ] 2

? 8 sin[(2k ? 1)?x] 3 3 [1 ? (2k ? 1) 2 ]

(4 分)


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