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高一数学正弦定理余弦定理典例讲解


第四课时 正弦定理、余弦定理 教学目标: 熟练掌握正、余弦定理应用,进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质,综合运用正、余弦定理、 三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题;通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三 角形有关性质的功能,反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.? 教学重点: 正、余弦定理的综合运用.? 教学难点: 1.正、余弦定理与三角形性质的结合; 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.? 教学过程: Ⅰ.复习回顾 上一节课,我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用, 这一节,我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先,我们一起回顾 正、余弦定理的内容. Ⅱ.讲授新课 [例 1]在△ABC 中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的 2 倍,求此三角形的三边长. 分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系,故需利用正弦定理建立边角关系.其中 sin2α 利 用正弦二倍角展开后出现了 cosα,可继续利用余弦定理建立关于边长的方程,从而达到求边长的目的. 解:设三角形的三边长分别为 x,x+1,x+2,其中 x∈N*,又设最小角为 α,则
x+2 x+2 x+2 x = = ,∴cosα= sinα sin2α 2sinαcosα 2x ①

又由余弦定理可得 x2=(x+1)2+(x+2)2-2(x+1) (x+2)cosα ② 2 将①代入②整理得 x -3x-4=0 解之得 x1=4,x2=-1(舍) 所以此三角形三边长为 4,5,6. 评述: (1)此题所求为边长,故需利用正、余弦定理向边转化,从而建立关于边长的 方程; (2)在求解过程中,用到了正弦二倍角公式,由此,要向学生强调三角公式的工具性作用,以引起学生 对三角公式的重视. [例 2]如图,在△ABC 中,AB=4 cm,AC=3 cm,角平分线 AD=2 cm,求此三角形面积. 分析:由于题设条件中已知两边长,故而联想面积公式 S△ABC= 积可以转化为 S△ADC+S△ADB,而 S△ADC= S△ADB 建立关于含有 sinA,sin 1 AB·AC·sinA,需求出 sinA,而△ABC 面 2

1 A 1 A AC·ADsin ,S△ADB= AB·AD·sin ,因此通过 S△ABC=S△ADC+ 2 2 2 2

A A A A A 的方程,而 sinA=2sin cos ,sin2 +cos2 =1,故 sinA 可求,从而三角 2 2 2 2 2

形面积可求. 解:在△ABC 中,S△ABC=S△ADB+S△ADC, ∴ ∴ 1 1 A 1 A AB·ACsinA= ·AC·AD·sin + ·AB·ADsin 2 2 2 2 2 1 1 A A ·4·3sinA= ·3·2sin ,∴6sinA=7sin 2 2 2 2

A A A ∴12sin cos =7sin 2 2 2

∵sin ∴sin

A A 7 A π ≠0,∴cos = ,又 0<A<π,∴0< < 2 2 12 2 2 A = 2 A 1-cos2 2 = 95 , 12

A A 7 95 ∴sinA=2sin cos = , 2 2 72 ∴S△ABC= 1 7 95 ·4·3sinA= (cm2). 2 12

评述:面积等式的建立是求 sinA 的突破口,而 sinA 的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在 重视三角形性质运用的同时,要熟练应用三角函数的公式.另外,在应用同角的平方关系 sin2α+cos2α=1 时, 应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍. [例 3]已知三角形的一个角为 60°,面积为 10 3 cm2,周长为 20 cm,求此三角形的各边长. 分析:此题所给的题设条件除一个角外,面积、周长都不是构成三角形的基本元素,但是都与三角形的 边长有关系,故可以设出边长,利用所给条件建立方程,这样由于边长为三个未知数,所以需寻求三个方程, 其一可利用余弦定理由三边表示已知 60°角的余弦,其二可用面积公式 S△ABC= 长条件应用. 解:设三角形的三边长分别为 a、b、c,B=60°,则依题意得 1 absinC 表示面积,其三是周 2

?cos60 =a +c -b 2ac ? ?1 ac·sin60 =10 3 2 ?a+b+c=20 ?
0 0

2

2

2

?b =a +c -ac ? ∴?ac=40 ? ?a+b+c=20

2

2

2

① ② ③ ④

由①式得 b2=[20-(a+c) 2=400+a2+c2+2ac-40(a+c) ] 将②代入④得 400+3ac-40(a+c)=0 再将③代入得 a+c=13

?ac=40 ?a1=5 ?a2=8 ,解得? 由? 或? ?a+c=13 ?c1=8 ?c2=5 ∴b1=7,b2=7 所以,此三角形三边长分别为 5 cm,7 cm,8 cm. 评述: (1)在方程建立的过程中,应注意由余弦定理可以建立方程,也要注意含有正弦形式的面积公式 的应用; (2)由条件得到的是一个三元二次方程组,要注意要求学生体会其求解的方法和思路,以提高自己的解 方程及运算能力. [例 4]在△ABC 中,AB=5,AC=3,D 为 BC 中点,且 AD=4,求 BC 边长. 分析:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设 BC 为 x 后,建立关于 x 的方程.而正弦定理涉及到两 个角,故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为 D 为 BC 中点,所以 BD、DC 可表示为

x ,然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程. 2 x 解:设 BC 边为 x,则由 D 为 BC 中点,可得 BD=DC= , 2 AD2+BD2-AB2 在△ADB 中,cosADB= = 2AD·BD x 42+( )2-52 2 x 2×4× 2

x 42+( )2-32 2 AD +DC -AC 在△ADC 中,cosADC= = 2AD·DC x 2×4× 2
2 2 2

又∠ADB+∠ADC=180° ∴cosADB=cos(180°-∠ADC)=-cosADC. x x 42+( )2-52 42+( )2-32 2 2 ∴ =- x x 2×4× 2×4× 2 2 解得,x=2 所以,BC 边长为 2. 评述:此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能,体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用, 并注意总结这一性质的适用题型. 另外,对于本节的例 2,也可考虑上述性质的应用来求解 sinA,思路如下: 由三角形内角平分线性质可得 BD 5 AB = = ,设 BD=5k,DC=3k,则由互补角∠ADC、∠ADB 的余弦 AC DC 3

值互为相反数建立方程,求出 BC 后,再结合余弦定理求出 cosA,再由同角平方关系求出 sinA. 为巩固本节所学的解题方法,下面我们进行课堂练习. Ⅲ.课堂练习 1.半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25,求此三角形三边长的乘积. 解:设△ABC 三边为 a,b,c. 则 S△ABC= ∴ 又 ∴ 1 acsinB 2

S△ABC acsinB sinB = = 2abc 2b abc b =2R,其中 R 为三角形外接圆半径 sinB S△ABC 1 = abc 4R

∴abc=4RS△ABC=4×1×0.25=1 所以三角形三边长的乘积为 1. 评述:由于题设条件有三角形外接圆半径,故联想正弦定理: 形外接圆半径,与含有正弦的三角形面积公式 S△ABC= a b c = = =2R,其中 R 为三角 sinA sinB sinC

1 acsinB 发生联系,对 abc 进行整体求解. 2

2.在△ABC 中,已知角 B=45°,D 是 BC 边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,求 AB. 解:在△ADC 中, AC2+DC2-AD2 72+32-52 11 cosC= = = , 2AC·DC 2×7×3 14 5 3 又 0<C<180°,∴sinC= 14 AC AB 在△ABC 中, = sinB sinC 5 3 5 6 sinC AC= · 2 ·7= . ∴AB= 14 2 sinB

评述:此题在求解过程中,先用余弦定理求角,再用正弦定理求边,要求学生注意正、余弦定理的综合 运用. 3.在△ABC 中,已知 cosA= 3 5 ,sinB= ,求 cosC 的值. 5 13

2 3 解:∵cosA= < =cos45°,0<A<π 2 5 4 ∴45°<A<90°,∴sinA= 5 ∵sinB= 1 5 < =sin30°,0<B<π 13 2

∴0°<B<30°或 150°<B<180° 若 B>150°,则 B+A>180°与题意不符. 12 ∴0°<B<30° cosB= 13 5 16 3 12 4 = ∴cos(A+B)=cosA·cosB-sinA·sinB= · - · 5 13 5 13 65 又 C=180°-(A+B). 16 ∴cosC=cos[180°-(A+B) ]=-cos(A+B)=- . 65 评述:此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时,应根据已知的三角函数值具体确定角的范围, 以便对正负进行取舍,在确定角的范围时,通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较. Ⅳ.课时小结 通过本节学习,我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,综合运用了正、余弦定理求解三 角形的有关问题,要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结,不断提高三角形问题的求解能力. Ⅴ.课后作业 1.在三角形中,三边长为连续自然数,且最大角是钝角,那么这个三角形的三边长分别为 . 答案:2,3,4 2.已知方程 a(1-x2)+2bx+c(1+x2)=0 没有实数根,如果 a、b、c 是△ABC 的三条边的长,求证 △ABC 是钝角三角形.

备课资料 1.正、余弦定理的综合运用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理,若将正弦定理代入得 sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA. 这是只含有三角形三个角的一种关系式,利用这一定理解题,简捷明快,下面举例说 明之. [例 1]在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3 sinAsinC,求 B 的度数. 解:由定理得 sin2B=sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB ∴-2sinAsinCcosB= 3 sinAsinC ∵sinAsinC≠0,∴cosB=- 3 2

∴B=150° [例 2]求 sin210°+cos240°+sin10°·cos40°的值. 解:原式=sin210°+sin250°+sin10°·sin50°

在 sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA 中, 令 B=10°,C=50°,则 A=120°. sin2120°=sin210°+sin250°-2sin10°sin50°·cos120° =sin210°+sin250°+sin10°sin50°=( 3 2 3 )= . 2 4

[例 3]在△ABC 中,已知 2cosBsinC=sinA,试判定△ABC 的形状. 解:在原等式两边同乘以 sinA 得 2cosBsinAsinC=sin2A, 由定理得 sin2A+sin2C-sin2B=sin2A, ∴sin2C=sin2B ∴B=C 故△ABC 是等腰三角形. 2.一题多证 [例 4]在△ABC 中已知 a=2bcosC,求证:△ABC 为等腰三角形. 证法一:欲证△ABC 为等腰三角形.可证明其中有两角相等,因而在已知条件中化去边元素,使只剩含角 bsinA 的三角函数.由正弦定理得 a= sinB bsinA ∴2bcosC= ,即 2cosC·sinB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC. sinB ∴sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0,∴B-C=nπ(n∈Z). ∵B、C 是三角形的内角, ∴B=C,即三角形为等腰三角形. 证法二:根据射影定理,有 a=bcosC+ccosB, 又∵a=2bcosC ∴2bcosC=bcosC+ccosB ∴bcosC=ccosB,即 cosB b = . cosC c

b sinB sinB cosB 又∵ = . ∴ = ,即 tanB=tanC sinC sinC cosC c ∵B、C 在△ABC 中,∴B=C ∴△ABC 为等腰三角形. a2+b2-c2 a 证法三:∵cosC= 及 cosC= , 2b 2ab ∴ a2+b2-c2 a = ,化简后得 b2=c2. 2ab 2b ∴b=c

∴△ABC 是等腰三角形. 3.参考例题 cosA b = ,试判断△ABC 的形状. [例 1]在△ABC 中,若 cosB a cosA b cosA sinB 解:由已知 = 及正弦定理得 = cosB a cosB sinA ∴sin2A=sin2B π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= , 2 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. [例 2]已知△ABC 的三个内角 A、B、C 依次成等差数列,又三边 a、b、c 依次成等比数列,求证:该 三角形为正三角形. 证法一:∵A、B、C 成等差数列,则 2B=A+C, 又 A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°,

再由 a、b、c 成等比数列,可得 b2=ac, 因此用余弦定理 b2=a2+c2-2accosB,∴ac=a2+c2-2ac· 1 , 2

即(a-c)2=0,∴a=c,A=C 又 B=60°,∴△ABC 为正三角形. 证法二:∵A、B、C 成等差数列,则 2B=A+C, 又 A+B+C=180°,∴3B=180°,∴B=60°, 再由 a、b、c 成等比数列,设公比为 q, 于是 b=aq,c=aq2, a2+c2-b2 a2+(aq2)2-(aq)2 1 ∵cosB= ,即 = 2ac 2 2a(aq2) 整理得 q4-2q2+1=0,解得 q2=1,q=1 ∵q=1,∴三边长相等 故三角形为正三角形. [例 3]在△ABC 中,若 a2tanB=b2tanA,试判断△ABC 的形状. 解法一:∵a2tanB=b2tanA, ∴ a2 tanA sinA cosB = = b2 tanB sinB cosA ① ②

sinA a 由正弦定理得 = sinB b 由余弦定理得 a2+c2-b2 cosB= , 2ac b2+c2-a2 cosA= , 2bc 把②③④式代入①式得

③ ④

a2+c2-b2 2ac a2+c2-b2 a2 a , 2 = 2 2 2 = 2 b b b +c -a b +c2-a2 2bc 整理得(a2-b2) 2-a2-b2)=0, (c 2 2 ∴a=b 或 a +b =c2. ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解法二:由已知及正弦定理可得 (ksinA)2 sinB sinA =(ksinB)2 , cosB cosA ∴sin2A=sin2B

∴2sinAcosA=2sinBcosB ∴2A=2B 或 2A=π-2B π 即 A=B 或 A+B= 2 ∴△ABC 是等腰或直角三角形. 4.参考练习题

sinB+sinC ,试判断△ABC 的形状. 1.在△ABC 中,若 sinA= cosB+cosC

解:∵sinA=

sinB+sinC sinB+sinC ,∴cosB+cosC= , sinA cosB+cosC

a2+c2-b2 a2+b2-c2 b+c 应用正、余弦定理得 + = , a 2ac 2ab ∴b(a2c2-b2)+c(a2-b2c2)=2bc(b+c) , 2 2 2 (b ∴a (b+c)-(b+c) -2bc+c )=2bc(b+c) 2 2 2 即 a =b +c 故△ABC 为直角三角形. a2-b2 sin(A-B) 2.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,求证: 2 = . c sinC 证明:由 a2=b2+c2-2bccosA. b2=a2+c2-2accosB 两式相减得 a2-b2=c(acosB-bcosA) , a2-b2 acosB-bcosA ∴ 2 = . c2 c 又 ∴ a sinA b sinB = , = , c sinC c sinC a2-b2 sinAcosB-sinBcosA sin(A-B) = = . c2 sinC sinC

3.在△ABC 中,若(a+b+c) (b+c-a)=bc,并且 sinA=2sinBcosC,试判断△ABC 的形状. 解:由已知条件(a+b+c) (b+c-a)=bc 及余弦定理得 (a+b+c)(b+c-a) b2+c2-a2 1 = = cosA= 2bc 2(a+b+c)(b+c-a) 2 ∴A=60° 又由已知条件 sinA=2sinBcosC 得 sin(B+C)=sin(B+C)+sin(B-C) ∴sin(C-B)=0,∴B=C 于是有 A=B=C=60°, 故△ABC 为等边三角形.

正弦定理、余弦定理
1.在△ABC 中,已知 A=1050,B=300,b=2 2 ,则 c 等于 C.4 A.2 B.2 2 2.一个三角形的三边之长分别是 3、5、7,则最大角为 11 A.arccos 14 B.150° 13 C.arccos 14 ( D.4 2 ( D.120° ( ) ) )

3.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 A.b=10,A=45°,C=70° B.a=60,c=48,B=60° C.a=7,b=5,A=80° D.a=14,b=16,A=45° 2 2 2 4.在△ABC 中,若 sin A=sin B+sin C+sinB·sinC,则角 A 等于 A. π 3 B. 2π 3 C. 3π 4 D. 5π 6





5.在△ABC 中,若 acosA=bcosB,则△ABC 的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 20 3 6.在△ABC 中,已知 c=10 2 ,C=60°,a= ,则∠A= 3 7.在△ABC 中,已知三边满足(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则∠C 等于 8.在△ABC 中,若 a tanA = ,则△ABC 是 b2 tanB
2





. .

. .

9.在△ABC 中,已知 B=135°,C=15°,a=5,那么此三角形的最大边的长是 10.在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A,C 及 c.

11.已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=( 3 +1)∶( 3 -1)∶ 10 ,求最大角.

12.已知△ABC 中,a=2,c=1,求角 C 的取值范围.

正弦定理、余弦定理答案
1.C 2.D 3.D 4.B 5.D 6.45° 7.60° 8.等腰或直角三角形 9.5 2 10.在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A,C 及 c. a 3 sin450 3 b a sinB = ,∴sinA= = = sinA sinB b 2 2 ∵b<a 且 b>asinB ∴A 有两解:A=60°或 120°. (1)当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75° 解:∵ c= 6+ 2 b sinC 2 sin750 = = sinB sin450 2 6- 2 b sinC 2 sin150 = = . sinB sin450 2 a b c = = =k sinA sinB sinC

(2)当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15° c=

11.已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=( 3 +1)∶( 3 -1)∶ 10 ,求最大角. 解:∵

∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=( 3 +1)∶( 3 -1)∶ 10 设 a=( 3 +1)k,b=( 3 -1)k,c= 10 k (k>0) a2+b2-c2 则最大角为 C.cosC= 2ab ( 3 +1)2+( 3 -1)2- 10 2×( 3 +1) ( 3 -1) ∴C=120°. =
2

1 =- 2

12.已知△ABC 中,a=2,c=1,求角 C 的取值范围. 解:由三角形三边关系得 b<a+c=3 b>a-c=1 ∴1<b<3 由 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2-4bcos2C+3=0 3 由 Δ≥0,得 cos2C≥ 4 π ∴0<C≤ . 6


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