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高中数学第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义课件新人教A版必修1

第一章

集合与函数概念

1.1 集 合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义

学习目标 : 1. 通过实例了解集合的含义. ( 难点 )2. 掌握集合中元素的三个特 性. (重点)3.体会元素与集合的“属于”关系, 记住常用数集的表示符号并会应 用.(重点、易混点)

[自 主 预 习· 探 新 知]
1.元素与集合的相关概念 (1)元素:一般地,把 研究对象 统称为元素,常用小写的拉丁字母 a a, ,b b, ,c c… …表 示. (2)集合:一些元素组成的总体,简称集,常用大写拉丁字母 A,B,C… 表示. (3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样 的. (4)集合中元素的特性: 确定性、互异性 互异性和无序性 .

思考:(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合? (2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合? [提示] (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合, 因为“帅哥”没有明确的标准.

(2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合,因为标准确定.

2.元素与集合的关系
a∈ ∈A A. a属于集合 属于集合 A A,记作 a (1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a

a A . a 不属于集合 不属于集合 A,记作______ (2)不属于:如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a
3.常见的数集及表示符号 数集 符号 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集
实数集 实数集

N _____

N*或 N+ _______

Z

Q ___

R

[基础自测] 1.思考辨析 (1)接近于 0 的数可以组成集合.( ) ) ) (2)分别由元素 0,1,2 和 2,0,1 组成的两个集合是相等的.( (3)一个集合中可以找到两个相同的元素.(

[答案] (1)× (2)√ (3)×

2.用“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( A.1 C.3 B.2 D.4

)

C

[由集合中元素的互异性可知,该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元

素.]

3.用“∈”或“ ”填空: 1 ________N;-3________Z; 2________Q;0________N*; 5________R. 2 【导学号:37102009】

[答案]





4.已知集合 M 有两个元素 3 和 a+1,且 4∈M,则实数 a=________. 3 [由题意可知 a+1=4,即 a=3.]

[合 作 探 究· 攻 重 难]
集合的基本概念
考察下列每组对象,能构成集合的是( ①中国各地最美的乡村; ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于 3 的自然数; ④2016 年第 31 届奥运会金牌获得者. A.③④ C.②③ B.②③④ D.②④ ) 【导学号:37102010】

B [①中“最美”标准不明确,不符合确定性,②③④中的元素标准明确,均 可构成集合,故选 B.]

[规律方法] 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象 满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素 的互异性、无序性.

[跟踪训练] 1.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)大于 3 小于 5 的所有自然数构成一个集合. (2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合. (3)方程(x-1)2(x+2)=0 所有解组成的集合有 3 个元素.

[解]

(1)正确,(1)中的元素是确定的,互异的,可以构成一个集合.

(2)不正确.“一些点”标准不明确,不能构成一个集合. (3)不正确,方程的解只有 1 和-2,集合中有 2 个元素.

元素与集合的关系
(1)下列所给关系正确的个数是( ①π∈R;② 2 Q;③0∈N*;④|-5| N*. A.1 C.3 A.2 C.4 B.2 D.4 ) B.2 或 4 D.0 )

(2)已知集合 A 含有三个元素 2,4,6,且当 a∈A,有 6-a∈A,那么 a 为(

(1)B

(2)B [(1)①π 是实数,所以 π∈R 正确;

② 2是无理数,所以 2 Q 正确;③0 不是正整数,所以 0∈N*错误;④|-5| =5 为正整数,所以|-5| N*错误.故选 B. (2)集合 A 含有三个元素 2,4,6,且当 a∈A,有 6-a∈A,a=2∈A,6-a=4∈A, 所以 a=2, 或者 a=4∈A,6-a=2∈A, 所以 a=4, 综上所述,a=2 或 4.故选 B.]

[规律方法] 判断元素与集合间关系的方法 判断一个对象是否为某个集合的元素,就是判断这个对象是否具有这个集合的 元素的共同特征.如果一个对象是某个集合的元素,那么这个对象必具有这个 集合的元素的共同特征.

[跟踪训练] 2.已知集合 A 中元素满足 2x+a>0,a∈R,若 1 A,2∈A,则( A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 ) 【导学号:37102011】

D [由题意可知
? ?2×1+a≤0, ? ? ?2×2+a>0,

解得-4<a≤-2.]

集合中元素的特性及应用
[探究问题] 1.若集合 A 中含有两个元素 a,b,则 a,b 满足什么关系?

提示:a≠b 2.若 1∈A,则元素 1 与集合中的元素 a,b 存在怎样的关系? 提示:a=1 或 b=1.

已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2,若 a∈A,求实数 a 的值. a∈A a=1或a2=a ―――→ 求a的值 思路探究: A中含有元素:1和a2 ――→ 检验集合中元素的互异性

[解] 由题意可知,a=1 或 a2=a, (1)若 a=1,则 a2=1,这与 a2≠1 相矛盾,故 a≠1. (2)若 a2=a,则 a=0 或 a=1(舍去),又当 a=0 时,A 中含有元素 1 和 0,满足 集合中元素的互异性,符合题意. 综上可知,实数 a 的值为 0.

母题探究:1.(变条件)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数 a 的 取值范围.

[解] 由集合中元素的互异性可知 a2≠1,即 a≠± 1.
2.(变条件)已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2,若 1∈A,求实数 a 的值.

[解] 若 1∈A,则 a=1 或 a2=1,即 a=± 1. 当 a=1 时,集合 A 有重复元素, 所以 a≠1; 当 a=-1 时,集合 A 含有两个元素 1,-1,符合集合中元素的互异性,所以 a=-1.

[规律方法] 1.解决含有字母的问题,常用到分类讨论的思想, 在进行分类讨论 时,务必明确分类标准. 2.本题在解方程求得 a 的值后,常因忘记验证集合中元素的互异性,而造成过 程性失分. 提醒:解答此类问题易忽视互异性而产生增根的情形.

[当 堂 达 标· 固 双 基]
1.下列结论不正确的是( A.0∈N C.0 Q ) B. 2 Q D.-1∈Z

C [0 是有理数,故 0∈Q,所以 C 错误.]

2.已知集合 A 由 x<1 的数构成,则有( A.3∈A C.0∈A B.1∈A D.-1 A

) 【导学号:37102012】

C [∵0<1,∴0 是集合 A 中的元素,故 0∈A.]

3.下列各组对象不能构成一个集合的是( A.不超过 20 的非负实数 B.方程 x2-9=0 在实数范围内的解 C. 3的近似值的全体 D.某校身高超过 170 厘米的同学的全体

)

C [A.不超过 20 的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一 个集合.B.方程 x2-9=0 在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序 性,能构成一个集合.C. 3的近似值的全体,元素不具有确定性,不能构成一 个集合.D.某校身高超过 170 厘米的同学,同学身高具有确定性、互异性、无 序性,能构成一个集合.故选 C.]

4.a,b,c,d 为集合 A 的四个元素,那么以 a,b,c,d 为边长构成的四边形 可能是( A.矩形 C.菱形 ) 【导学号:37102013】 B.平行四边形 D.梯形

D [由于集合中的元素具有“互异性”,故 a,b,c,d 四个元素互不相同,即 组成四边形的四条边互不相等. ]

5.已知集合 A 含有两个元素 a-3 和 2a-1,若-3∈A,试求实数 a 的值.
[解] ∵-3∈A,∴-3=a-3 或-3=2a-1, 若-3=a-3, 则 a=0, 此时集合 A 中含有两个元素-3,-1,符合题意; 若-3=2a-1,则 a=-1, 此时集合 A 中含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,a=0 或 a=-1.

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