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2017-2018学年天津市河西区高三(上)期末数学试卷(理科)

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2017-2018 学年天津市河西区高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0},B={x|y= A.[ ,+∞) B.[ ,1] C.[ ,1] D.[0,1] 2. (5 分)下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是( A.y=﹣2x+1 B.y=x3 C.y=lgx D.y= 为纯虚数”的( ) ) },则 A∩B=( )

3. (5 分)设 a∈R,i 是虚数单位,则“a=1”是“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为(



A.2

B.﹣3 C.

D. )

5. (5 分)已知 a>b>0,则下列命题成立的是( A.sina>sinb B.log2a<log2b C.a

D. ( )a<( )b

6. (5 分)已知双曲线 C:

(a>0,b>0)与抛物线 y2=4

的准线相

交于 A、B 两点,双曲线的一条渐近线方程为 y=

,点 F 是抛物线的焦点,且

1页

.

△FAB 是正三角形,则双曲线 C 的方程为( A. B.x2 C.

) D. , =( ,BC=2,点 E 为 AB 的 )

7. (5 分)如图所示,在梯形 ABCD 中,∠B= 中点,若向量 在向量 上的投影为 ,则

A.﹣2 B.

C.0

D. ,若关于 x 的方程 ) D. 恰有

8. (5 分)已知函数

四个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是( A. B. C.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200, 400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 10. (5 分)已知 x,y 满足约束条件 ,则 z= 件.

的最大值是



11. (5 分)若正四棱锥 P﹣ABCD 内接于球 O,且底面 ABCD 过球心 O,设正四 棱锥 P﹣ABCD 的高为 1,则该正四棱锥的体积为 12. (5 分)已知 x>1,且 x﹣y=1,则 的最小值是 . .

13. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的 面积,S= (a2+b2﹣c2) ,则角 C= .

14. (5 分)若函数 f(x)=alnx﹣x 在区间(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值
2页

.

范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15. (13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣π<φ<0,x∈R) 的部分图象如图所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[﹣2π,0]上的最大值和最小值.

16. (13 分)甲、乙两人按如下规则进行射击比赛,双方对同一目标轮流射击, 若一方未击中,另一方可继续射击,甲先射,直到有人命中目标或两人总射击次 数达 4 次为止.若甲击中目标的概率为 ,乙击中目标的概率为 . (Ⅰ)求甲在他第二次射击时击中目标的概率; (Ⅱ)求比赛停止时,甲、乙两人射击总次数 X 的分布列和期望. 17. (13 分)如图,在空间几何体 ABCDPQ 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD, AD∥BC,四边形 APQD 为矩形,且平面 APQD⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=2,AD=4, 点 M 为 AB 中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 CDQ; (Ⅱ)求直线 QC 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)已知点 H 在线段 PA 上,使得 MH∥平面 PCD,求 的值.

18. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=

+



3页

.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=an+2﹣an+ Tn<2n+ . + =1(a>b>0)过点(2,0) ,且椭圆 C 的离心 ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:

19. (14 分)已知椭圆 C: 率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)若动点 P 在直线 x=﹣1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M,N 两点,且 P 为线 段 MN 中点,再过 P:作直线 l⊥MN.求直线 l 是否恒过定点,如果是则求出该 定点的坐标,不是请说明理由. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x3﹣ax2+10. (Ⅰ)若 a=1 时,求函数 y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在区间[1,2]内至少存在一个实数 x,使得 f(x)<0 成立,求实数 a 的 取值范围.

4页

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2017-2018 学年天津市河西区高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0},B={x|y= A.[ ,+∞) B.[ ,1] C.[ ,1] D.[0,1] 【解答】解:∵集合 A={x|3x2﹣4x+1≤0}={x| B={x|y= ∴A∩B={x| 故选:B. }={x|x≥ }, }=[ ]. }, },则 A∩B=( )

2. (5 分)下列四个函数中,在定义域上不是单调函数的是( A.y=﹣2x+1 B.y=x3 C.y=lgx D.y=



【解答】解:函数 y=﹣2x+1,则 y′=﹣2,在定义域上单调递减; 数 y=x3,则 y′=3x2≥0 恒成立,在定义域上单调递增; 函数 y=lgx,则 y′= 函数 y= ,则 y′=﹣ 域上不是单调函数; 故选:D. >0 恒成立,在定义域上单调递增; ,在(﹣∞,0)和(0,+∞)上均为减函数,但在定义

3. (5 分)设 a∈R,i 是虚数单位,则“a=1”是“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

为纯虚数”的(



5页

.

【解答】解:∵ ∴“

=



为纯虚数”?“a=±1”, 为纯虚数”的充分不必要条件,

故“a=1”是“ 故选:A.

4. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为(



A.2

B.﹣3 C.

D.

【解答】解:模拟程序的运行,可得 k=1,S=2 满足条件 k≤2018,执行循环体,S=﹣3,k=2 满足条件 k≤2018,执行循环体,S=﹣ ,k=3 满足条件 k≤2018,执行循环体,S= ,k=4 满足条件 k≤2018,执行循环体,S=2,k=5 … 观察规律可知,S 的取值周期为 4,由于 2018=504×4+2,可得: 满足条件 k≤2018,执行循环体,S=﹣3,k=2018 满足条件 k≤2018,执行循环体,S=﹣ ,k=2019

6页

.

此时,不满足条件 k≤2018,退出循环,输出 S 的值为﹣ . 故选:C.

5. (5 分)已知 a>b>0,则下列命题成立的是( A.sina>sinb B.log2a<log2b C.a



D. ( )a<( )b

【解答】解:由 a>b>0, y=sinx 在(0,+∞)不具单调性,则 sina>sinb 错误; y=log2x 在(0,+∞)单调递增,则 log2a>log2b,B 错误; 由于 y=x 在(0,+∞)单调递增,可得 a >b ,则 C 错误;

由于 y=( )x 在(0,+∞)单调递减,可得( )a<( )b,则 D 正确. 故选:D.

6. (5 分)已知双曲线 C:

(a>0,b>0)与抛物线 y2=4

的准线相

交于 A、B 两点,双曲线的一条渐近线方程为 y= △FAB 是正三角形,则双曲线 C 的方程为( A. B.x2 C. x 的焦点为 F( ) D.

,点 F 是抛物线的焦点,且

【解答】解:抛物线 y2=4 ∵△FAB 为正三角形, ∴|AB|=4, 将(﹣ ,2)代入双曲线

,0) ,其准线方程为 x=﹣



可得 x,∴ ,



∵双曲线的一条渐近线方程是 y= ∴a=1,b= , .

∴双曲线 C2 的方程为 x2

7页

.

故选:B.

7. (5 分)如图所示,在梯形 ABCD 中,∠B= 中点,若向量 在向量 上的投影为 ,则

, =(

,BC=2,点 E 为 AB 的 )

A.﹣2 B.

C.0

D.

【解答】解:以 B 为原点,BC 为 x 轴,AB 为 y 轴建系如图,



,BC=2,∴

,B(0,0) ,C(2,0) ,D 的纵坐标为 ,若向量 在向量 上的投影为

, ,设向量

∵点 E 为 AB 的中点,∴ 与向量 的夹角为 θ,所以

,过 D 作 DF⊥BC,垂足为 F,在 ,所以 ,所以 ,所以 . ,所以

Rt △ DFC 中 , , 故选:A.

8. (5 分)已知函数

,若关于 x 的方程 )

恰有

四个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是(
8页

.

A.

B.

C.

D. ,若关于 x 的方程 恰有

【解答】解:∵函数 四个不相等的实数根, ∴f(x)的图象和直线 y=kx﹣ 有 4 个交点.

做出函数 f(x)的图象,如图,故点(1,0)在直线 y=kx﹣ 的下方, ∴k?1﹣ >0,解得 k> . 再根据当直线 y=kx﹣ 和 y=lnx 相切时,设切点横坐标为 m,

则 k=

= ,∴m=

,此时,k= =

,f(x)的图象和直线 y=kx﹣ 有 3

个交点,不满足条件, 故要求的 k 的范围是( , 故选:D. ) ,

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为 200, 400,300,100 件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取 60 件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 18 件.

【解答】解:产品总数为 200+400+300+100=1000 件,而抽取 60 件进行检验, 抽样比例为 = ,
9页

.

则应从丙种型号的产品中抽取 300× 故答案为:18

=18 件,

10. (5 分)已知 x,y 满足约束条件

,则 z=

的最大值是



【解答】解:画出 x,y 满足约束条件

的平面区域,

如图示: 由 z= ,解得:A(3,4) , 的几何意义是可行域内的点与(0,﹣1)连线的斜率的一半,由题意可知

可行域的 A 与(0,﹣1)连线的斜率最大. ∴z= 的最大值是: ,

故答案为: .

11. (5 分)若正四棱锥 P﹣ABCD 内接于球 O,且底面 ABCD 过球心 O,设正四 棱锥 P﹣ABCD 的高为 1,则该正四棱锥的体积为 .

【解答】解:∵正四棱锥 P﹣ABCD 内接于球 O,且底面 ABCD 过球心 O, 正四棱锥 P﹣ABCD 的高为 1, ∴PO=AO=CO=1,
10 页

.

设正方形 ABCD 的边长为 a,则 2a2=4,解得 a= ∴该正四棱锥的体积: V= 故答案为: . = = .



12. (5 分)已知 x>1,且 x﹣y=1,则

的最小值是

3



【解答】解:根据题意,若 x﹣y=1,则 y=x﹣1, 则 即 =x+ =(x﹣1)+ +1≥2 +1=3,

的最小值是 3;

故答案为:3.

13. (5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ABC 的 面积,S= (a2+b2﹣c2) ,则角 C= . ,则 a2+b2﹣c2=2abcosC,

【解答】解:由余弦定理可知:cosC= 由 S= absinC, ∴ ×2abcosC= absinC,则 tanC= ,

由 0<C<π, 则 C= ,

11 页

.

故答案为:



14. (5 分)若函数 f(x)=alnx﹣x 在区间(1,2)上单调递增,则实数 a 的取值 范围是 [2,+∞) .

【解答】解:∵f(x)=alnx﹣x,∴f′(x)= ﹣1. 又∵f(x)在(1,2)上单调递增, ∴ ﹣1≥0 在 x∈(1,2)上恒成立, ∴a≥xmax=2,∴a∈[2,+∞) . 故答案为:[2,+∞)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 15. (13 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣π<φ<0,x∈R) 的部分图象如图所示. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[﹣2π,0]上的最大值和最小值.

【解答】解: (Ⅰ)由图象得 A=1, 再把点( ,﹣1)代入可得 sin(

=π﹣

,∴ω= . +φ=2kπ﹣ ) . ,﹣ ], ,

+φ)=﹣1,

结合 π<φ<0,可得 φ=﹣

,∴f(x)=sin( x﹣ ﹣ ∈[﹣

(Ⅱ)解:在区间[﹣2π,0]上, 故当 当 ﹣ ﹣ =﹣ =﹣

时,函数 f(x)取得最大值为 1; 时,函数 f(x)取得最小值为﹣ .

12 页

.

16. (13 分)甲、乙两人按如下规则进行射击比赛,双方对同一目标轮流射击, 若一方未击中,另一方可继续射击,甲先射,直到有人命中目标或两人总射击次 数达 4 次为止.若甲击中目标的概率为 ,乙击中目标的概率为 . (Ⅰ)求甲在他第二次射击时击中目标的概率; (Ⅱ)求比赛停止时,甲、乙两人射击总次数 X 的分布列和期望. 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设甲在他第二次射击时击中目标为事件 A, 则 P(A)=(1﹣ ) (1﹣ ) = .…(4 分)

(Ⅱ)由题意 X 的可能取值为 1,2,3,4, P(X=1)= , P(X=2)= P(X=3)= P(X=4)= = , = , ,…(8 分)

所以随机变量 X 的分布列为: X P 所以 E(X)= +4× = .…(13 分) 1 2 3 4

17. (13 分)如图,在空间几何体 ABCDPQ 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD, AD∥BC,四边形 APQD 为矩形,且平面 APQD⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=2,AD=4, 点 M 为 AB 中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 CDQ; (Ⅱ)求直线 QC 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅲ)已知点 H 在线段 PA 上,使得 MH∥平面 PCD,求 的值.

13 页

.

【解答】 (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)因为四边形 APQD 为矩形,且平面 APQD⊥平面 ABCD, 所以 AP⊥平面 ABCD,…(1 分) 以 A 为原点,以 AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系, 由题意得,A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,4,0) ,P(0,0, 2) , Q(0,4,2) ,M(1,0,1) , 则 =(2,2,0) ,设平面 CDQ 的一个法向量 =(x,y,z) ,…(2 分) =(2,﹣2,0) , 由 因为 =(0,0,2) ,

,取 x=1,得 =(1,1,0) ,…(3 分) ∥ ,所以 AC⊥平面 CDQ.…(4 分) =(2,﹣2,﹣2) ,…(5 分)

解: (Ⅱ)

设平面 PCD 的一个法向量 =(a,b,c) , =(2,2,﹣2) , 由 =(0,4,﹣2) , ,取 b=1,得 =(1,1,2) ,…(6 分)

设直线 QC 与平面 PCD 所成角为 θ, 则 sinθ=|cos< , >|= = = ,

所以直线 QC 与平面 PCD 所成角的正弦值为 (Ⅲ)设

.…(8 分)

=λ(0≤λ≤1) ,则 H(0,0,2λ) ,…(9 分)
14 页

.

=(1,0,﹣2λ) , =(1,1,2) ,…(10 分) 因为 MH∥平面 PCD, 所以 所以 ? =0,即 1×1+0×1+(﹣2λ)×2=0,解得 的值为 .…(13 分) ,

18. (13 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=an+2﹣an+ Tn<2n+ . + ,

+



,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:

【解答】 (1)解:∵Sn= ∴n=1 时,a1=S1=2; n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= ∴an=n+1. (2)证明:bn=an+2﹣an+ ∴ Tn=2n+ =2n+ 数 列 + +



=n+1.

=2+ {bn} + 的 +…+ 前

=2+ n + 项

, 和 为

15 页

.

<2n+

, .

∴Tn<2n+

19. (14 分)已知椭圆 C: 率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)过点(2,0) ,且椭圆 C 的离心

(Ⅱ)若动点 P 在直线 x=﹣1 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M,N 两点,且 P 为线 段 MN 中点,再过 P:作直线 l⊥MN.求直线 l 是否恒过定点,如果是则求出该 定点的坐标,不是请说明理由. 【解答】解: (Ⅰ)因为点(2,0)在椭圆 C 上, 所以 ,所以 a2=4, (1 分) ,即 , (2 分)

因为椭圆 C 的离心率为 ,所以 解得 b2=3, 所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设 P(﹣1,y0) ,

. (4 分) ,

①当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y﹣y0=k(x+1) , M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由 得 所以 , , ,

因为 P 为 MN 中点,所以

,即



16 页

.

所以

, (8 分)

因为直线 l⊥MN,所以



所以直线 l 的方程为





,显然直线 l 恒过定点

. (10 分)

②当直线 MN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x=﹣1, 此时直线 l 为 x 轴,也过点 综上所述直线 l 恒过定点 . . (12 分)

20. (14 分)已知函数 f(x)=x3﹣ax2+10. (Ⅰ)若 a=1 时,求函数 y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在区间[1,2]内至少存在一个实数 x,使得 f(x)<0 成立,求实数 a 的 取值范围. 【解答】解: (Ⅰ) :当 a=1 时,f′(x)=3x2﹣2x, 由 f′(x)>0,得 x<0 或 x> , 所以函数 y=f(x)的单调递增区间(﹣∞,0)和( ,+∞) , (Ⅱ)解法一:f′(x)=3x2﹣2x=3x(x﹣ a) 当 a≤1,即 a≤ 时,f′(x)≥0 在[1,2]上恒成立,f(x)在[1,2]上为增函 数, 故 f(x)min=f(1)=11﹣a, 所以 11﹣a<0,a≥11,这与 a≤ 矛盾. 当 1< a<2,即 <a<3 时, 若 1≤x< a,则 f′(x)<0;

17 页

.

若 a<x≤2,则 f′(x)>0, 所以当 x= a 时,f(x)取得最小值, 因此 f( a)<0,即 可得 a>3 a3﹣ a3+10=﹣ a3+10<0,

,这与 <a<3 矛盾.

当 a≥2,即 a≥3 时,f′(x)<0 在在[1,2]上恒成立,f(x)在[1,2]上为减 函数, 所以 f(x)min=f(2)=18﹣4a,所以 18﹣4a<0,解得 a> ,满足 a≥3, 综上所述,实数 a 的取值范围是( ,+∞) , 解法二:因为区间[1,2]内至少存在一个实数 x,使得 f(x)<0 成立, 所以 a> 设 g(x)=x+ g′(x)=1﹣ =x+ , ,

因为 1≤x≤2, 所以 g′(x)<0 所以 g(x)在[1,2]上是减函数. 所以 g(x)min=g(2)= , 所以 a> , 实数 a 的取值范围是( ,+∞) ,

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