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2012高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习)1026数列的前n项和


2012 高考数学第一轮总复习 100 讲 g3.1026 数列的前 n 项和
一、知识回顾 (一)数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

? c ? 2.裂项相消法:适用于 ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无理数 ? a n a n+1 ?
列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 {a n bn }其中{ a n }是等差数列, {bn }是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法.
5.分组求和法、 6.累加(乘)法等

(二).常用结论 1) ∑ k = 1+2+3+...+n =
k =1 n

n(n + 1) 2

2)

∑ (2k ? 1) = 1+3+5+...+(2n-1) = n 2
k =1

n

n ? ?1 3) ∑ k 3 = 13 + 2 3 + L + n 3 = ? n(n + 1)? k =1 ?2 ?

2

4)

∑k
k =1

n

2

= 12 + 2 2 + 3 2 + L + n 2 =

1 n(n + 1)(2n + 1) 6

5)

1 1 1 = ? n(n + 1) n n + 1

1 1 1 1 = ( ? ) n ( n + 2) 2 n n + 2

6)

1 1 1 1 = ( ? ) ( p < q) pq q ? p p q

二、基本训练 1.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2 -1,则 a1 + a 2 + a 3 + L + a n =________________.


2

2

2

2

2.设 Sn = ?1 + 3 ? 5 + 7 ? L + (?1) n (2n ? 1) ,则 Sn =_______________________. 3.求和:

1 1 1 + +L + = 1× 4 4 × 7 (3n ? 2) × (3n + 1)

.

4. 数列 1×4,2×5,3×6,…,n×(n+3),…则它的前 n 项和 Sn = 5. 数 列 1,(1 + 2),(1 + 2 + 22 ),L,(1 + 2 + 22 + L + 2n?1 ),L 的 通 项 公 式 an =

. ,前 n 项和

Sn =

.

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三、例题分析 例 1 、求下列各数列前 n 项的和 Sn ①

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 , L, n , L; 2 2 2 2

② Cn + 2Cn + 3Cn + L + ( n ? 1)Cn
1 2 3

n ?1

n + nCn

例 2、在数列 {an } 中, a n = ?2[n ? ( ?1) ] ,求 S10 和 S99
n

? ? n2 1 ?2   n为奇数 an = ? n 例3、已知数列 {an } 中, ?2 ? 2   n为偶数 ,试求前 2n 项的和 ?

例4、 已知函数 f ( x) = x 2 ? 4 ( x ≤ ?2 ) , (1)求 f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) ; (3)若 b1 = (2)若 a1 = 1 , an = ? f ?1 (an ?1 ) ,求 an ;

1 1 1 , b2 = ,…, bn = ,…,求数列 {bn } 前 n 项和 Sn 。 a1 + a2 a2 + a3 an + an +1

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四、作业 g3.1026 数列的前 n 项和 1、设等差数列 {a n } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,则下列结论中正确的是 A. S n = na n ? 3n( n ? 1) C. S n = na n ? n( n ? 1) B. S n = na n + 3n( n ? 1) D. S n = na n + n( n ? 1)

2、数列 1,x,x2,…,xn?1,…的前 n 项之和是 (A)

xn ? 1 x ?1

(B)

x n+1 ? 1 x ?1

(C)

x n+ 2 ? 1 x ?1

(D)以上均不正确

3、数列{an}前 n 项的和 Sn=3n+b(b 是常数),若这个数列是等比数列,那么 b 为 (A)3 (B) 0 (C)-1 (D)1 4、等比数列{an}中,已知对任意自然数 n,a1+a2+a3+…+an=2n-1,则 a12+a22+a32+…+an2 等于
n 2 (A) ( 2 ? 1)

(B) ( 2 ? 1)
n

1 3

(C) 4 n ? 1

(D)

1 n (4 ? 1) 3

5、等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 (A)130 (B)170 (C)210 (D)260

1 1 1 + +L + = 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 +L + n 1 1 1 1 7、数列 1 ,2 ,3 , 4 ,L 的前 n 项和是 . 3 9 27 81 4 8、 数列1+3q+5q2+7q3+9q = _______.
6、求和: 1 + 9、 数列 {an } 满足 a1 = 2 , an +1 = an + 2n ,则通项公式 an =
2 2 2 2 2 2 2 2

.

,前 n 项和 S n =

.

10、 1 ? 2 + 3 ? 4 + 5 ? 6 + L + 99 ? 100 =________________________. 11、在数列 {an } 中,已知 a1 = ?20,a n +1 = a n + 4, 则 a1 + a 2 + a 3 + L a 20 = ______. 12、已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 = 2 , a1 + a2 + a3 = 12 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn = an x n ( x ∈ R ),求数列 {bn } 前 n 项和 Sn 的公式.

13、等比数列 {an } 的首项为a,公比为q,Sn 为其前n项和,求 S1+S2+S3+…+Sn

14、已知数列 {an } 的通项公式 an = ?

?6n ? 5(n为奇数) ? ,求数列 {an } 的前 n 项的和 Sn . n ?2 (n为偶数) ?

2012 高考数学第一轮总复习 100 讲

1 15、非等比数列 {an } 中,前 n 项和 Sn = ? (an ? 1)2 , 4
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn = 设

m 1 (n ∈ N *) , n = b1 + b2 + L + bn , T 是否存在最大的整数 m, 使得对任意的 n 均有 Tn > n(3 ? an ) 32

总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由。

答案: 基本训练: 1、

4n ? 1 3

2、 ( ?1) n ? n

3、

n 3n + 1

4、

n(n + 1)(n + 5) 3

5、 2n ? 1; 2 n +1 ? 2 ? n

6、

3 2 ? 2 ? ( )n 4
例题分析: 例 1、 (1) S n = 3 ?

2n + 3 n ?1 (2) n ? 2 2n
(2) an =

例 2、 S10 = ?110, S99 = ?9902

例 3、 2 ? ( )
n

1 2

n



4、 (1) f ?1 ( x ) = ? x 2 + 4( x ≥ 0)

4n ? 3

(3) S n =

1 ( 4n + 1 ? 1) 4

作业:g3.1025 数列的前 n 项和 1—5、CACDC
2n 6、 n +1 n2 + n + 1 1 7、 ? 2 2 ? 3n

? 9q 6 ? 11q 5 + q + 1 (q ≠ 1) ? 8、 ? (1 ? q)2 ?25(q = 1) ?

9、 2n ; 2n +1 ? 2

10、

-5050 11、480

12、(1) an = 2n

?n(2n + 1)( x = 1) ? (2) S n = ? 2 x(1 ? x n ) 2nx n +1 ? (1 ? x) 2 ? 1 ? x ( x ≠ 1) ?

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? n(n + 1)a (q = 1) ? 2 ? 13、 ? n ? na ? aq (1 ? q ) (q ≠ 1) ?1 ? q (1 ? q )2 ?
15、 (1) an = -2n+1

?3 2 5 4 2n+ 2 n ? n? + (n为偶数) ? ?2 2 3 3 14、 S n = ? n +1 ? 3 n 2+ 1 n ? 7 + 2 (n为奇数) ?2 2 3 3 ?

(2)最大整数为 8


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