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高中数学不等式证明常用的方法

高中数学不等式证明常用的几种方法
不等式在中学数学中占有重要地位,因此在历年高考中颇为重视。由于不等 式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循,技巧多样,方法灵活,因此有关 不等式的证明是中学数学的难点之一。下面介绍几种证明不等式常用的方法。 一.比较法 所谓比较法, 就是通过两个实数 a 与 b 的差或商的符号 (范围) 确定 a 与 b 大 小关系的方法,即通过“ a ? b ? 0 , a ? b ? 0 ,a ? b ? 0 ;或
a a a ? 1, ? 1, ? 1” b b b

来确定 a , b 大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法。 例 1 已知: a ? 0 , b ? 0 ,求证:
a?b ? ab . 2

分析:两个多项式的大小比较可用作差法 证明 故得 例2
a?b a ? b ? 2 ab ( a ? b ) 2 ? ab ? ? ? 0, 2 2 2
a?b ? ab . 2

设 a ? b ? 0 ,求证: a a b b ? a b b a .

分析:对于含有幂指数类的用作商法 证明 所以 而 故 因为
a ?b ? 0,

a ? 1, a ? b ? 0 . b

a abb ? a ? ?? ? a bb a ? b ?

a ?b

?1,

a abb ? a bb a

二.分析法 从求证的不等式出发, 分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式 的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备, 那么就可以判定所证的不等式成立,这种方法叫做分析法。 例 3:求证 3 ? 6 ? 2 2 ? 7

证明:

9 ? 6 ? 0, 8 ? 7 ? 0

1

?为了证明原不等式成立,只需证明 (
即 15 ? 2 54 ? 15 ? 2 56 , 只需证明 54 ? 56,54 ? 56
54 ? 56 成立

9 ? 6)2 ? ( 8 ? 7)2

?原不等式成立
运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无 目的的乱碰,从而加强针对性,较快地探明解题途。 三.综合法 从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等 式,这种证明方法叫做综合法。
1 1 25 例 4:已知 a, b ? R? , a ? b ? 1 ,求证: (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? a b 2

证明:∵ a ? b ? 1 ∴ a 2 ? b2 ? 又 ∵ ∴
1 2

∴ 1= (a ? b)2 ? a2 ? b2 ? 2ab ? 2(a2 ? b2 )

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? (a ? b)2 ( 2 ? 2 ) ? (2 ab )2 ? 2 2 ? 2 ? 8 2 a b a b a b

王新敞
奎屯

新疆

1 25 1 1 1 1 (a ? ) 2 ? (b ? ) 2 ? (a 2 ? b 2 ) ? 4 ? ( 2 ? 2 ) ? ? 4 ? 8 ? . 2 2 a b a b 四.反证法

从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从 而肯定原结论是正确的,这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时,必 须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。 反证法证明一个命题的思路及步骤: 1) 假定命题的结论不成立; 2) 进行推理,在推理中出现下列情况之一:与已知条件矛盾;与公理或定理矛 盾; 3) 由于上述矛盾的出现,可以断言,原来的假定“结论不成立”是错误的; 4) 肯定原来命题的结论是正确的。 例 5:已知 0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1, 0 ? c ? 1 ,求证: (1 ? a)b, (1? b)c, (1? c )a 至少有

2

一个小于等

1 4

分析:本题从正面考虑情况较多,可考虑选用反证法, “小于等于”的反面 是“大于” “至少有一个”的反面是“一个也没有” 。 证明:假设 (1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a 都大于
1 ,则 4

∵ 0 ? a ? 1, 0 ? b ? 1, 0 ? c ? 1 ∴ 1 ? a ? 0,1 ? b ? 0,1 ? c ? 0 根据平均值不等 式,有
(1 ? b) ? c 1 (1 ? c) ? a 1 (1 ? a) ? b 1 1 ? , ? ? (1 ? a)b ? ? ,同理 2 2 2 2 2 4 2

? (1 ? a) ? b ? (1 ? b) ? c ? (1 ? c) ? a ? 1 ? 1 ? 1 ? 3
2 2 2 2 3 3 ∴ ? 2 2 ,显然矛盾.所以结论成立。 2 2

2

五.放缩法 放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明 比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明 .放缩法的目的性强,必须恰到 好处, 同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度,放不能过头,缩不能不及.否则 不能达到目的。 例 6:设 a 、 b 、 c 是三角形的边长,求证
a b c ? ? ?3 b?c ?a c ? a ?b a ?b ?c

证明:由不等式的对称性,不妨设 a ? b ? c ,则 b ? c ? a ? c ? a ? b ? a ? b ? c 且 2c ? a ? b ? 0 , 2a ? b ? c ? 0
a b c a b c ? ? ?3 ? ?1? ?1? ?1 b?c ?a c ? a ?b a ?b?c b?c?a c ? a ?b a ?b?c 2a ? b ? c 2b ? a ? c 2c ? a ? b 2a ? b ? c 2b ? c ? a 2c ? a ? b ? ? ? ? ? ? ?0 c ? a ?b c ? a ?b c ? a ?b b?c?a c ? a ?b a?b?c a b c ? ? ?3 ∴ b?c ?a c ? a ?b a ?b ?c



六.数学归纳法 对于含有 n(n ? N ) 的不等式,当 n 取第一个值时不等式成立,如果使不等式 在 n ? k (n ? N ) 时成立的假设下,还能证明不等式在 n ? k ? 1 时也成立,那么肯 定这个不等式对 n 取第一个值以后的自然数都能成立.

3

例7

已知: a, b ? R ? , n ? N , n ? 1 ,求证: a n ? b n ? a n?1b ? abn?1 .

证明 (1)当 n ? 2 时, a 2 ? b 2 ? ab ? ab ? 2ab ,不等式成立; (2)若 n ? k 时, a k ? b k ? a k ?1b ? abk ?1 成立,则

a k ?1 ? b k ?1 ? a(a k ? b k ) ? abk ? b k ?1 ? a(a k ?1b ? abk ?1 ) ? abk ? b k ?1
= a k b ? abk ? (a 2b k ?1 ? 2abk ? b k ?1 ) ? a k b ? abk ? b k ?1 (a ? b) 2 ? a k b ? abk , 即 a k ?1 ? b k ?1 ? a k b ? abk 成立. 根据(1) 、 (2) , a n ? b n ? a n?1b ? abn?1 对于大于 1 的自然数 n 都成立. 七.换元法 在证题过程中,以变量代换的方法,选择适当的辅助未知数,使问题的证明 达到简化.
1 例 8: 已知: a ? b ? c ? 1 ,求证: ab ? bc ? ca ? . 3 1 1 1 证明 设 a ? ? t , b ? ? at (t ? R) ,则 c ? ? (1 ? a)t , 3 3 3

? 1 ?? 1 ? ?1 ?? 1 ? ? 1 ?? 1 ? ab ? bc ? ca ? ? ? t ?? ? at ? ? ? ? at ?? ? (1 ? a)t ? ? ? ? t ?? ? (1 ? a)t ? ? 3 ?? 3 ? ?3 ?? 3 ? ? 3 ?? 3 ?
? 1 1 ? (1 ? a ? a 2 )t 2 ? , 3 3
ab ? bc ? ca ? 1 3

所以

例 9:已知 a 2 ? b2 ? 1 ,求证: (a 2 ?

1 1 25 )(b 2 ? 2 ) ? 。 2 a b 4

本题在前面综合法中证明过,但观察到已知条件中的 a 2 ? b2 ? 1 ,可考虑用换 元法,设 a ? sin ? , b ? cos ? . 证明:∵ a 2 ? b2 ? 1 , ab ? 0 (求证式中分母含 a 2、b 2 ) 可设 a ? sin ? , b ? cos ? ,其中 0 ? ? ? 2? ,其中 ? ?

?

3 , ? , ? ,于是: 2 2

4

(a 2 ?

1 1 )(b 2 ? 2 ) 2 a b 1 1 ? (sin 2 ? ? 2 )(cos 2 ? ? ) sin ? cos 2 ? sin 4 ? cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ? ? 1 ? sin 2 ? cos 2 ? sin 4 ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? cos 2 ? (sin 2 ? cos 2 ? ? 1) 2 ? 1 ? sin 2 ? cos 2 ?
1 ( sin 2 2? ? 1) 2 ? 1 ? 4 1 2 sin 2? 4

∴当 sin 2 2? 时,分子取最小值,分母取最大值.

1 ( ? 1)2 ? 1 1 1 25 ∴ (a 2 ? 2 )(b 2 ? 2 ) ? 4 ? 1 a b 4 4 八.利用均值不等式
均值不等式公式:① a2 ? b2 ? 2ab ? ab ? ab,(a, b ? R) (当且仅当 a ? b 时取 “?” ) ; ② a ? b ? 2 ab ? ab ? ab ,(a, b ? R? ) (当且仅当 a ? b 时取“ ? ” ) 。 均值不等式是高考中一个重要知识点,其变形多,约束条件“苛刻“ (一正、二 定,三相等) 。 例10: 已知a, b, c为不全相等的正数, 求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 分析:观察要证不等式的两端都是关于a,b,c的3次多项式,左侧6项,右侧6 项,左和右积,具备均值不等式的特征。 证明: ∵ b2+c2≥2bc, a>0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 同理,b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 因为a,b,c不全相等, 所以上述三个不等式中等号不能同时成立, 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc。
1 1 例 11.若 x, y ? 0, x ? y ? 2 ,求证: ? ? 2 x y
5

1 1 1 1 1 证明:因为 x, y ? 0, 所以 ? ? ( x ? y )( ? ) x y 2 x y
? 1 y x (1 ? 1 ? ? ) ? 2 2 x y

当且仅当

y x ? ,即 x ? 1, y ? 1 时等号成立 x y

九.导数法 当 x 属于某区间,有 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 单调递增;若 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 单 调递减.推广之,若证 f ( x) ? g ( x) ,只须证 f (a) ? g (a) 及 f ?( x) ? g ?( x), ( x ? (a, b)) 即可. 例 12 证明 证明不等 e x ? 1 ? x , x ? 0. 设 f ( x) ? e x ? 1 ? x, 则 f ?( x) ? e x ? 1. 故当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f 递增;

当 x ? 0, f ?( x) ? 0, f 递减. 则当 x ? 0 时, 从而证得
f ( x) ? f (0) ? 0,

e x ? 1 ? x, x ? 0.

十.利用柯西不等式 设 a, b, c, d 均为实数, 则 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 ,当且 ad ? bc 仅当时成 立.
1 1 例 13.若 x, y ? 0, x ? y ? 2 ,求证: ? ? 2 x y

一.

此题在前面用均值不等式解的,也可以用柯西不等式解答。
1 1 1 1 1 证明: ? ? ( x ? y )( ? ) x y 2 x y

?( x?

1 1 2 ? y? ) ?2 x y

6

当且仅当

y x

?

x ,即 x ? 1, y ? 1 时等号成立 y

7


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