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xxll456:高中数学北师大版必修4第2章6《平面向量数量积的坐标表示》ppt课件_图文

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第二章 平面向量

第二章 §6 平面向量数量积的坐标表示

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课时作业

课前自主预习

? 数字化是当前社会的最大特色,任何一件事物都被 数字化了,当然这里的数字化强调的是数码,向量 的数量积的几何运算为我们展示的是一幅美丽的画 卷,它解决了几何中与度量相关的角度、长度(距离) 等问题,向量的坐标运算又是如何展示这些问题的 呢?

1.平面向量数量积的坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则 (1)a·b=x_1_x2_+_y_1_y2______; (2)|a|=___x_21+__y_21_;
(3)若a⊥b,则_x_1x_2_+_y_1y_2_=_0___; (4)cosθ=____x_21x+_1_xy2_+12.·yx1y22+2 y22 2.直线的方向向量
给定斜率为k的直线l,则向量m=(1,k)与直线l共线,我
们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量.

? 1.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b, 则x等于( )
? A.3 B.1 ? C.-1 D.-3 ? [答案] B
? [解析] ∵a⊥b,∴a·b=0,即3x+1×(-3)=0. 解得x=1.故选B.

2.已知向量a=(1,-1),b=(2,x).若a·b=1,则x=

()

A.-1

B.-12

C.12

D.1

? [答案] D

? [解析] 由a·b=1,得1×2-1×x=1,解得x=1,
故选D.

3.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则向a与b的夹角为

()

A.π6

B.π4

C.π3 [答案] [解析]

D.π2 B 设a,b的夹角为θ,

则cosθ= 323+×?1-+1??-2×1?×12?+-?2-? 2?2= 22,

∵0°≤θ≤180°,∴θ=π4.

4.已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=
10,则a·b=________. [答案] 10 [解析] ∵a=(-2,-6),∴|a|= 4+36=2 10,
∴a·b=2 10× 10×cos60°=10.

? 5.已知a=(2,3),b=(-1,4),c=(5,6),那么 (a·b)·c=________,a·(b·c)=________.
? [答案] (50,60) (38,57)
? [解析] ∵a·b=(2,3)·(-1,4)=-2+12=10, ? ∴(a·b)·c=10(5,6)=(50,60). ? ∵b·c=(-1,4)·(5,6)=-5+24=19, ? ∴a·(b·c)=(2,3)·19=(38,57).

课堂典例讲练

平面向量数量积的坐标运算

?

已知向量a与b同向,b=(1,2),a·b=

10,求:

? (1)向量a的坐标;

? (2)若c=(2,-1),求(a·c)·b.

? [思路分析] 根据a与b共线设出a的坐标,再利用数 量坐标运算公式构建方程求得a的坐标,进而求 (a·c)·b.

? [规范解答] (1)∵a与b同向,且b=(1,2),
? ∴a=λ b=(λ ,2λ )(λ >0). ? 又∵a·b=10,
? ∴λ +4λ =10,∴λ =2,∴a=(2,4). ? (2)∵a·c=2×2+(-1)×4=0,
? ∴(a·c)·b=0·b=0.
? [规律总结] 向量问题的处理有两种思路,一种是 纯向量式,另一种是坐标式,两者互相补充,通过 向量的坐标运算可实现向量问题的代数化,在解题 中应注意与方程、函数等知识联系.

? (1)已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线, 那么a·b的值为( )
? A.1 B.2 ? C.3 D.4
? (2)a=(-4,3),b=(5,6),则3|a|2-4a·b等于
()
? A.23 B.57 ? C.63 D.83 ? [答案] (1)D (2)D

[解析] (1)∵a+b与a共线, ∴a+b=λa,即(1+2,k+2)=λ(1,k). 由?????k3+=2λ,=kλ, 解得?????λk==31,. 故a=(1,1),则a·b=1×2+1×2=4. (2)|a|=5,a·b=-20+18=-2, ∴3|a|2-4a·b=3×25-4×(-2)=83.

利用数量积的坐标表示求模与夹角

?

如图所示,在平面直角坐标系中,已知

点A(16,12),B(-5,15).求:

(1)|O→A|,|A→B|;
(2)∠OAB.

[思路分析] (1)①设a=(x,y),则|a|= x2+y2 ,即向量

的模等于它的坐标平方和的算术平方根.

②若A(x1,y1),B(x2,y2),则A→B=(x2-x1,y2-y1),

所以| A→B |=

?x2-x1?2+?y2-y1?2

.所以|

→ AB

|的实质是A,B两

点间的距离,即线段AB的长度,这是向量模的几何意义.

(2)求角的问题,可转化为利用向量的夹角运算公式求

解.

[规范解答] (1)由O→A=(16,12), A→B=(-5-16,15-12)=(-21,3)得 |O→A|= 162+122=20, |A→B|= ?-21?2+32=15 2.

(2)设A→O与A→B所成角为θ,

→→

则cos∠OAB=cosθ=

AO·AB →→

.

|AO||AB|

其中A→O·A→B=-O→A·A→B=-(16,12)·(-21,3)=-[16×(-21)

+12×3]=300.

故cos∠OAB=20×30105

= 2

22,

所以∠OAB=45°.

? [规律总结] 求向量a与b的夹角θ 的步骤: ? ①计算a·b,|a|,|b|;
? ②利用夹角公式计算cosθ ; ? ③根据范围[0,π ]确定夹角θ 的大小.

已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5,若(a+b)·c= 52,求[解a与析c]的夹依角题.意a+b=(-1,-2),|a|= 5,
设c=(x,y),而(a+b)·c=52,∴x+2y=-52. 设a与c的夹角为θ,则 cosθ=|aa|·|cc|= x5+×2y5=-552=-12, ∴a与c的夹角为120°.

向量平行与垂直的坐标形式的应用 在△ABC中,设 A→B =(2,3), A→C =(1,k),且△ ABC是直角三角形,求k的值. [思路分析] △ABC是直角三角形,故可以用a⊥b?a·b= 0,但题中未明确哪个角是直角,故要分类讨论.

[规范解答] 若∠A=90°,则A→B⊥A→C,

于是2×1+3×k=0,得k=-23;

若∠B=90°,则A→B⊥B→C.又B→C=A→C-A→B=(-1,k-3),

故2×(-1)+3(k-3)=0,得k=131;

若∠C=90°,则

→ AC



→ BC

,故1×(-1)+k(k-3)=0,得k

=3±2 13.

故所求k的值为-23或131或3±2

13 .

? [规律总结] 充分利用公式:a⊥b?a·b=0?x1x2 +y1y2=0,利用向量数量积的坐标表示,使两向量
垂直的条件更加代数化,因而其判定方法也更加简 捷,在以后解题中要注意应用.

? 设向量a=(3,-2),b=(1,2),若a+λ b与a垂直,
则实数λ =________.
? [答案] 13
? [解析] ∵a=(3,-2),b=(1,2), ? ∴a+λ b=(3,-2)+λ (1,2)=(3+λ ,-2+
2λ ).
? ∵a+λ b与a垂直,
? ∴(3+λ )×3+(-2+2λ )×(-2)=0. ? ∴λ =13.

直线的方向向量及应用
已知两条直线l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a为 实数,当这两条直线的夹角为π4时,试求实数a的值.
[思路分析] 给出直线,由直线的方向向量与直线平行, 两条直线的夹角问题即转化为两向量夹角问题.

[规范解答] 由题意,设直线l1的方向向量为m=(1,1),直 线l2的方向向量为n=(1,a).
设两直线的夹角为θ,则cosθ= 2·1+1+a a2, 由于两直线的夹角为π4, 故| 2·1+1+a a2|= 22,解得a=0.

[规律总结] 通过直线的方向向量研究直线的夹角,但直

线的夹角与其方向向量的夹角并不一定是相同的.这是由于向

量的夹角范围是[0,π],而直线的夹角范围是[0,

π 2

].在本题

的求解中,不要将|

1+a 2· 1+a2

|=

2 2

中的绝对值符号漏掉,否

则容易引起结果错误.

? 已 求知 直直 线线l1和l1l:2的7x夹+角y-.1=0和直线l2:3x+4y-6=0,
[解析] 任取直线l1和l2的方向向量 m=(1,-7)和n=???1,-34 ???

设向量m与n的夹角为θ,

∵m·n=|m|·|n|cosθ,

从而cosθ=

1×1+?-7?×???-34??? = 12+?-7?2· 12+???-34???2

2 2.

∴θ=45°,即直线l1和l2的夹角为45°.

易错疑难辨析

已知向量a=(1,-2),b=(1,λ),若a与b的夹

角是锐角,求λ的取值范围.

[错解]

因为a,b的夹角是锐角,故cosθ>0,即

a·b |a|·|b|

>0,

即a·b>0,又a=(1,-2),b=(1,λ),则1-2λ>0,λ<12,所以λ

的取值范围是λ<12. [辨析] 当a·b>0,即cosθ>0时,0°≤θ<90°.事实上当λ=-

2时,a=(1,-2),b=(1,-2),它们间的夹角是0°,不是锐

角,故λ≠-2.

[正解] 因为a,b的夹角是锐角,所以0<cosθ<1,又a= (1,-2),b=(1,λ),所以a·b>0且a≠m·b(m>0),则1-2λ>0且 (1,-2)≠m(1,λ),即λ<12且λ≠-2,所以λ 的取值范围是λ<12 且λ≠-2.
[规律总结] 两向量的夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,而此 时-1≤cosθ≤1.当θ为锐角(0°<θ<90°),此时0<cosθ<1;当θ为 钝角(90°<θ<180°),此时-1<cosθ<0,若理解不清,往往导致 错误.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等,这些用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面 的内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

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