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《2.3.1+2变量之间的相关关系、两个变量的线性相关》ppt课件_图文

成才之路 · 数学
人教A版 · 必修3

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

?第二


统计

?第二

章 2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关

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1 ? 预习导学

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3? 随堂测评

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2 ? 互动课堂

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4 ? 课后精练

预习导学

●课标展示 ? 1.了解相关关系、线性相关、回归直线、最 小二乘法的定义. ? 2.会作散点图,能判断两个变量之间是否具 有相关关系. ? 3.会求回归直线方程,并能用回归直线方程 解决有关问题.
?

●温故知新 ? 旧知再现 ? 1.下列数字特征一定是样本数据中的数据是 ( ) ? A.众数 B.中位数 ? C.标准差 D.平均数 ? [答案] A
?

2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80. 其中平均数、中位数和众数的大小关系是 ( ) ? A.平均数>中位数>众数 ? B.平均数<中位数<众数 ? C.中位数<众数<平均数 ? D.众数=中位数=平均数 ? [答案] D
?

3.某班有48名学生,在一次考试中统计出 平均分为70,方差为75,后来发现有2名同 学的分数登记错了,甲实际得80分却记成了 50分,乙实际得70分却记成了100分,更正 后平均数为________,方差为________. ? [答案] 70 50
?

[解析] 因甲少记了30分,乙多记了30分,故平均分不 变,设更正后的方差为s2,则由题意可得 1 s = 48 [(x1-70)2+(x2-70)2+?+(80-70)2+(70-70)2
2

+?+(x48-70)2],而更正前有 1 75= 48 [(x1-70)2+(x2-70)2+?+(50-70)2+(100-70)2 +?+(x48-70)2],化简整理得s2=50.

新知导学 ? 1.相关关系 ? (1)定义:如果两个变量中一个变量的取值一 随机 定时,另一个变量的取值带有一定的 ________性,那么这两个变量之间的关系, 叫做相关关系. 右上 左下 ? (2)两类特殊的相关关系:如果散点图中点的 左上 右下 分布是从________角到________角的区域, 那么这两个变量的相关关系称为正相关,如 果散点图中点的分布是从_______角到 _______角的区域,那么这两个变量的相关 关系称为负相关.
?

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[归纳总结] 两个变量间的关系分为三类:一 类是确定性的函数关系,如正方形的边长与 面积的关系;另一类是变量间确实存在关系, 但又不具备函数关系所要求的确定性,它们 的关系是带有随机性的,这种关系就是相关 关系,例如,某位同学的“物理成绩”与 “数学成绩”之间的关系,我们称它们为相 关关系;再一类是不相关,即两个变量间没 有任何关系.

2.线性相关 ? (1)定义:如果两个变量散点图中点的分布从 直线 整体上看大致在一条 _______附近,我们就 回归直线 称这两个变量之间具有线性相关关系,这条 直线叫做___________. ^
?

^ 时,使得 (2)最小二乘法:求线性回归直线方程 ^ y = b x+ a

距离的平方和 最小的方法叫做最小二乘 样本数据的点到它的______________
法,其中a,b的值由以下公式给出:

? n n ? x ??yi-- y ? ?xiyi-n - x - y ? ?xi-- ? i=1 ? ^ i =1 = ?b= n n ? 2 x2 x? ? ?xi2-n - ? ?xi-- i=1 i=1 ? ? ^ ^ - ? x , ?a= y -b -

斜率 ^ 是回归方程在y轴上的 其中, b 是回归方程的_________ ,a

^

截距 _________ .

?

[破疑点] 线性回归分析涉及大量的计算,形 成操作上的一个难点,可以利用计算机非常 方便地作散点图、回归直线,并能求出回归 直线方程.因此在学习过程中,要重视信息 技术的应用.

●自我检测 ? 1.下列语句所表示的事件中的因素不具有相 关关系的是( ) ? A.瑞雪兆丰年 B.上梁不正下梁歪 ? C.吸烟有害健康 D.喜鹊叫喜,乌鸦叫丧 ? [答案] D ? [解析] 选项A,B,C中描述的变量间都具有 相关关系,而选项D是迷信说法,没有科学 依据.
?

?

规律总结:函数关系是一种确定性关系, 相关关系是一种非确定性关系,判断两个变 量间的关系是否为相关关系的关键是看这个 关系是否具有不确定性.

?

2.观察下列散点图,①正相关,②负相关, ③不相关,与下列图形相对应的是( )

A.①②③ ? C.②①③ ? [答案] D
?

B.②③① D.①③②

^ ^ ^的叙述正确的是( 3.下列有关回归方程y=bx+a

)

①反映^ y与x之间的函数关系; ②反映y与x之间的函数关系; ③表示^ y与x之间的不确定关系; ④表示最接近y与x之间真实关系的一条直线. A.①② C.③④
?

B.②③ D.①④

[答案] D

[解析] 系.故选D.

^ ^ ^ 表示 ^ y = b x+ a y 与x之间的函数关系,而不是y与x

之间的函数关系.但它所反映的关系最接近y与x之间的真实关

?

规律总结:回归直线是对原数量关系的 一种拟合,如果两个变量不具有线性相关关 系,即使求出回归方程也是毫无意义的,而 且由其得到估计和预测的值也是不可信的.

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互动课堂

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●典例探究
?

变量之间的相关关系的判断
)

(1)下列变量之间的关系不是相关关系的是( A.二次函数y=ax2+bx+c中,a,c是已知常数,取b为 自变量,因变量是判别式Δ=b2-4ac B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩田施肥量和粮食亩产量

(2)现随机抽取某校10名学生在入学考试中的数学成绩x与 入学后的第一次数学成绩y,数据如下: 学号 x y 1 84 2 64 3 84 4 68 5 69 6 68 7 69 8 9 10 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 46 57 71

请利用散点图判断这10名学生的两次数学考试成绩是否具 有相关关系.

[分析] 1.判断两个变量之间具有相关关系的 关键是什么? ? 2.利用散点图判断两个变量是否具有相关关 系的依据是什么? ? [解析] (1)在A中,若b确定,则a,b,c都是 常数,Δ=b2-4ac也就唯一确这了,因此, 这两者之间是确定性的函数关系;一般来说, 光照时间越长,果树亩产量越高;降雪量越 大,匀通事故发生率越高;施肥量越多,粮 食亩产量越高,所以B,C,D是相关关 系.故选A.
?

?

(2)两次数学考试成绩散点图如图所示,

由散点图可以看出两个变量的对应点集中在 一条直线的周围,具有正相关关系.因此, 这10名学生的两次数学考试成绩具有相关关 系. ? [答案] (1)A
?

规律总结:两个变量x与y相关关系的判 断方法: ? (1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布 是否存在一定规律,直观地判断;如果发现 点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 那么这两个变量就是线性相关的,注意不要 受个别点的位置的影响. ? (2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行 判断; ? (3)经验法:借助积累的经验进行分析判断. ? [特别提醒] 如果所有的样本点都落在某一函
?

?

对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,?, 10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据 (ui,vi)(i=1,2,?,10),得散点图(2).由这 两个散点图可以判断( )

A.变量x与y正相关,u与v正相关 ? B.变量x与y正相关,u与v负相关 ? C.变量x与y负相关,u与v正相关 ? D.变量x与y负相关,u与v负相关 ? [答案] C ? [解析] 图(1)中的数据y随着x的增大而减小, 因此变量x与变量y负相关;图(2)中的数据随 着u的增大,v也增大,因此u与v正相关.
?

?

回归直线方程

随着人们经济收入的不断增长,个人购买家庭 轿车已不再是一种时尚.车的使用费用,尤其是随着使用年限 的增多,所支出的费用到底会增长多少,一直是购车一族非常 关心的问题.某汽车销售公司作了一次抽样调查,并统计得出 某款车的使用年限x与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资 料:

使用年限x 总费用y

2 2.2

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

若由资料,知y对x呈线性相关关系.试求:
^ ^ ^ ^ ^ (1)线性回归方程y=bx+a的回归系数a、b;

(2)估计使用年限为10年时,车的使用总费用是多少?

[分析] 第一步,列表xi,yi,xiyi;
n n 2 2 第二步,计算- x ,- y , xi , yi , xiyi; i=1 i=1 i=1

?

n

?

?

第三步,代入公式计算b,a的值; 第四步,写出回归直线方程.

(1)利用公式: ? n n ? x ??yi-- y ? ?xiyi-n - x - y ? ?xi-- ? i=1 ? ^ i =1 = ?b= n n ? - 2 2 - ? ?xi -nx2 ? ? x i- x ? i= 1 i=1 ? ? ^ ^ - ? x, ?a= y -b - 系数.有时为了方便常列表,对应列出xiyi、x
2 i

来计算回归

,以利于求

和.(2)获得线性回归方程后,取x=10,即得所求.

[解析] (1)列表: 1 i 2 xi 2.2 yi 4.4 x iy i x2 4 i

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22.0 16

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

5 2 - x =4,- y =5, xi =90, xiyi=112.3 i= 1 i =1

?

5

?

112.3-5×4×5 12.3 于是b= = 10 =1.23; 90-5×42
^

^=- a y -b- x =5-1.23×4=0.08.

(2)线性回归直线方程是 ^ y =1.23x+0.08,当x=10(年)时, ^ y =1.23×10+0.08=12.38(万元),即估计使用10年时,支出总 费用是12.38万元.

规律总结:求回归直线方程的一般步骤: ? ①收集样本数据,设为(xi,yi),(i=1,2,?, n)(数据一般由题目给出). ? ②作出散点图,确定x,y具有线性相关关 系. ③把数据制成表格xi,yi,x2 i ,x i y i .
?
n 2 ④计算 x , y , xi , xiyi, i=1 i=1

?

n

?

? n -- ? ?xiyi-nx y ? ? ^ i=1 , ?b= ^ ^,公式为? n - ⑤代入公式计算b,a 2 2 x - nx ? ? i i=1 ? ? ^- ^ ? ?a= y -bx.
^ ^ ^. ⑥写出回归直线方程y=bx+a

(1)(2013~2014· 石家庄高二检测)已知回归直线的斜率的 估计值是1.23,样本点中心(即( x , y ))为(4,5),则回归直线的 方程是( ) B.^ y=1.23x+5 D.^ y=0.08x+1.23 A.^ y=1.23x+4 C.^ y=1.23x+0.08

(2)某公司的广告费支出x(单位:万元)与销售额x(单位:万 元)之间有下列对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

资料显示y对x呈线性相关关系. ^ x+ a ^ 中的 b ^ =6.5, 根据上表提供的数据得到回归方程 ^ y =b 预测销售额为115万元时约需________万元广告费.
?

[答案] (1)C (2)15

[解析] (1)由题意知,可设此回归直线的方程为 ^ y =1.23x ^ ,又因为回归直线必过点( x , y ),所以点(4,5)在直线 ^ +a y= ^上, 1.23x+a ^ ,a ^=0.08, 所以5=1.23×4+a 故回归直线的方程是^ y=1.23x+0.08.

2+4+5+6+8 (2) x = =5, 5 30+40+60+50+70 y= =50. 5 因为回归方程过样本中心(5,50), ^,得a ^=17.5, 代入^ y=6.5x+a 所以^ y=6.5x+17.5, 当^ y=115时,x=15.

●误区警示 有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国 民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童年数 量,如下表: 人均GDP/万元 10 8 6 4 3 1

患白血病的儿童数/人 351 312 207 175 132 180 (1)画出散点图,并判定这两个变量是否具有线性相关关 系;

(2)通过计算可知这两个变量的回归直线方程为 ^ y =23.25x +102.15,假如一个城市的人均GDP为12万元,那么可以断 言,这个城市患白血病的儿童一定超过380人,请问这个断言 是否正确?

[错解] (1)根据表中数据画散点图,如图所示,从图可以 看出,虽然后5个点大致分布在一条直线的附近,但第一个点 离这条直线太远,所以这两个变量不具有线性相关关系. (2)将x=12代入 ^ y =23.25x+102.15,得 ^ y =23. 25×12+ 102.15=381.15>380.所以上述断言是正确的.

?

[错因分析] 在第(1)问中,是否具有线性相 关关系,要看大部分点、主流点是否分布在 一条直线附近,个别点是不影响“大局的”, 所以可断定这两个变量具有线性相关关 系.在第(2)问中,381.15只是一个估计值, 由它不能断言这个城市患白血病的儿童一定 超过380人,如果这个城市的污染很严重, 有可能人数远远超过3 80,若这个城市的环 境保护得得很好,则人数就有可能远远低于 380.

[正解] (1)根据表中数据画散点图,如图所示,从圈可以 看出,在6个点中,虽然第一个点离这条直线较远,但其余5个 点大致分布在这条直线的附近,所以这两个变量具有线性相关 关系. (2)上述断言是错误的,将x=12代入 ^ y =23.25x+102.15得 ^ y =23.25×12+102.15=381.15>380,但381.15是对该城市人均 GDP为12万元的情况下所作的一个估计,该城市患白血病的儿 童可能超过380人,也可能低于380人.

(2012· 福建高考改编)某工厂为了对新研发的一种产品进行 合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数 据: 单价x(元) 销量y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

^x+a ^,其中b ^=-20. (1)求回归直线方程^ y =b (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关 系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产 品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)

1 [解析] (1)由于 x =6(x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 1 y =6(y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80. ^ = y -b ^ x =80+20×8.5=250, 所以a 从而回归直线方程为^ y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为L元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20x2+330x-1000 =-20(x-8.25)2+361.25. 当且仅当x=8.25时,L取得是大值, 故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润.

?

随堂测评

1.下列两个变量之间的关系: ? ①角度和它的余弦值; ? ②正n边形的边数与内角和; ? ③家庭的支出与收入; ? ④某户家庭用电量与电价间的关系. ? 其中是相关关系的有( ) ? A.1个 B.2个 ? C.3个 D.4个 ? [答案] A
?

?

2.下列图形中两个变量具有相关关系的是 ( )

?

[解析] A是一种函数关系,因为任给一个x 都有惟一确定的y和它对应;B也是一种函数 关系;C中从散点图可看出所有点看上去都 在某条直线附近波动,具有相关关系,而且 是一种线性相关;D中所有的点在散点图中 没有显示任何关系,因此变量间是不相关 的.

3.线性回归方程^ y=bx+a必过( A.点(0,0) C.点(0,^ y)
?

)

B.点( x ,0) D.点( x , y )

[答案] D

4.设一个回归方程为 ^ y =3+1.2x,则变量x增加一个单位 时( ) A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加3个单位 C.y平均减少1.2个单位 D.y平均减少3个单位
?

[答案] A

5.现有5组数据A(1,3)、B(2,4)、C(4,5)、 D(3,10)、E(10,12),去掉________组数据后, 剩下的4组数据的线性相关性最大. ? [答案] D
?

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照 数据: x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线
^ ^ ^; 性回归方程y=bx+a

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的 生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

[分析] (1)以产量为横坐标,以生产能耗对应的测量值为 纵坐标,在平面直角坐标系内画散点图;(2)应用计算公式求 ^ 的值;(3)实际上就是求当x=100时,对 得线性相关系数 b , a 应的y的值.
^

?

[解析] (1)散点图,如图所示.

(2)由题意,得 66.5,

?x
i=1

n

iyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 x= =4.5, y = =3.5, 4 4
2 2 2 2 = 3 + 4 + 5 + 6 =86, ?x 2 i i =1 n

66.5-4×4.5×3.5 66.5-63 ∴b= = =0.7, 86-4×4.52 86-81
^ ^ ^ a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35,

故线性回归方程为^ y=0.7x+0.35.

(3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产 品消耗的标准煤的数量为0.7×100+0.35= 70.35, ? 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨标准 煤).
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