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第2章 2.2.2 第1课时对数函数的图象及性质

2.2.2 第 1 课时

对数函数及其性质 对数函数的图象及性质

[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数, 研 究对数函数的性质.

[知识链接] 1.作函数图象的步骤为列表、描点、连线.另外也可以采取图象变换法. 2.指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质. a>1 图象 定义域 值域 过定点 性质 函数值 的变化 单调性 [预习导引] 1.对数函数的概念 一般地, 把函数 y=logax(a>0, 且 a≠1)叫做对数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是(0, +∞). 2.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 R (0,+∞) 过点(0,1),即 x=0 时,y=1 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 是 R 上的增函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 是 R 上的减函数 0<a<1

图象

性质

定义域 值域

(0,+∞) R

过定点 函数值 的变化 单调性 3.反函数

过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y<0 当 x>1 时,y>0 是(0,+∞)上的增函数 当 0<x<1 时,y>0 当 x>1 时,y<0 是(0,+∞)上的减函数

对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)与指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)互为反函数.

要点一 对数函数的概念 例 1 指出下列函数哪些是对数函数? (1)y=3log2x;(2)y=log6x; (3)y=logx3;(4)y=log2x+1. 解 (1)log2x 的系数是 3,不是 1,不是对数函数. (2)符合对数函数的结构形式,是对数函数. (3)自变量在底数位置上,不是对数函数. (4)对数式 log2x 后又加 1,不是对数函数. 规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的形式,即必须满足 以下条件 (1)系数为 1. (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数. (3)对数的真数仅有自变量 x. 跟踪演练 1 若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为( A.y=log2xB.y=2log4x C.y=log2x 或 y=2log4xD.不确定 答案 A 解析 设对数函数的解析式为 y=logax(a>0,且 a≠1),由题意可知 loga4=2, ∴a2=4,∴a=2, ∴该对数函数的解析式为 y=log2x. 要点二 对数函数的图象 4 3 1 例 2 如图所示,曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 取 3, , , ,则相应于 c1, 3 5 10 c2,c3,c4 的 a 值依次为( ) )

4 3 1 4 1 3 A. 3, , , B. 3, , , 3 5 10 3 10 5 4 3 1 4 1 3 C. , 3, , D. , 3, , 3 5 10 3 10 5 答案 A 解析 方法一 先排 c1,c2 底的顺序,底都大于 1,当 x>1 时图低的底大,c1,c2 对应的 a 4 分别为 3, .然后考虑 c3,c4 底的顺序,底都小于 1,当 x<1 时底大的图高,c3,c4 对应的 3 3 1 4 3 1 a 分别为 , .综合以上分析,可得 c1,c2,c3,c4 的 a 值依次为 3, , , .故选 A. 5 10 3 5 10 方法二 作直线 y=1 与四条曲线交于四点,由 y=logax=1,得 x=a(即交点的横坐标等于底 4 3 1 数),所以横坐标小的底数小,所以 c1,c2,c3,c4 对应的 a 值分别为 3, , , ,故选 3 5 10 A.

规律方法 函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的底数变化对图象位置的影响.

观察图象,注意变化规律: (1)上下比较:在直线 x=1 的右侧,a>1 时,a 越大,图象向右越靠近 x 轴,0<a<1 时 a 越 小,图象向右越靠近 x 轴. (2)左右比较:比较图象与 y=1 的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 跟踪演练 2 (1)函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点( A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1) (2)如图,若 C1,C2 分别为函数 y=logax 和 y=logbx 的图象,则( ) )

A.0<a<b<1 B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1 答案 (1)D (2)B 解析 (1)令 x+2=1,即 x=-1,得 y=loga1+1=1,故函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定 点(-1,1). (2)作直线 y=1,则直线与 C1,C2 的交点的横坐标分别为 a,b,易知 0<b<a<1. 要点三 对数函数的定义域 例3 1 (1)函数 f(x)= +lg(1+x)的定义域是( 1-x )

A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞) (2)若 f(x)= 1
1 2

,则 f(x)的定义域为(

)

log ?2x+1? 1 ? ? 1 ? A.? ?-2,0?B.?-2,+∞? 1 ? ? 1 ? C.? ?-2,0?∪(0,+∞) D.?-2,2? 答案 (1)C (2)C
? ?1+x>0, 解析 (1)由题意知? 解得 x>-1 且 x≠1. ?1-x≠0 ? ?2x+1>0, ? 1 (2)由题意有? 解得 x>- 且 x≠0. 2 ?2x+1≠1 ?

规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法 外,还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数; 三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式. 跟踪演练 3 求下列函数的定义域. (1)y=log2(x2-4x-5);(2)y= log0.5?4x-3?. 解 (1)要使函数有意义,需 x2-4x-5>0, 即(x-5)(x+1)>0,
? ? ?x-5>0, ?x-5<0, 所以? 或? ?x+1>0 ? ? ?x+1<0,

所以 x<-1 或 x>5, 故所求函数的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).

(2)要使函数有意义,需 log0.5(4x-3)≥0, 即 log0.5(4x-3)≥log0.51, 故 0<4x-3≤1, 3 解得 <x≤1, 4 3 ? 故所求函数的定义域为? ?4,1?.

1.下列函数是对数函数的是( A.y=loga(2x) B.y=log22x C.y=log2x+1D.y=lgx 答案 D

)

解析 选项 A、 B、 C 中的函数都不具有“y=logax(a>0 且 a≠1)”的形式, 只有 D 选项符合. 2.函数 f(x)= 1 +lg(3x+1)的定义域是( 1-x )

1 1 A.(- ,+∞) B.(-∞,- ) 3 3 1 1 1 C.(- , ) D.(- ,1) 3 3 3 答案 D
?1-x>0, ? 1 解析 由? 可得- <x<1. 3 ?3x+1>0, ?

3.函数 y=ax 与 y=-logax(a>0,且 a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是(

)

答案 A 解析 函数 y=-logax 恒过定点(1,0),排除 B 项;当 a>1 时,y=ax 是增函数,y=-logax 是减函数,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,y=-logax 是增函数,排除 C 项和 D 项,A 项正 确.

4.若 a>0 且 a≠1,则函数 y=loga(x-1)+1 的图象恒过定点________. 答案 (2,1) 解析 函数图象过定点,则与 a 无关,故 loga(x-1)=0, ∴x-1=1,x=2,y=1,所以 y=loga(x-1)+1 过定点(2,1). 5.函数 y=lnx 的反函数是________. 答案 y=ex 解析 由反函数的定义知 x=ey,故反函数为 y=ex.

1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有 y=logax(a>0, 且 a≠1)这种形 式. 2.在对数函数 y=logax 中,底数 a 对其图象直接产生影响,学会以分类的观点认识和掌握对 数函数的图象和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分析.

一、基础达标 1.函数 y=logax 的图象如图所示,则 a 的值可以是( )

A.0.5B.2 C.eD.π 答案 A 解析 ∵函数 y=logax 的图象单调递减,∴0<a<1,只有选项 A 符合题意. 2.函数 f(x)=lg(x-1)+ 4-x的定义域为( A.(1,4] B.(1,4) C.[1,4]D.[1,4) 答案 A
?x-1>0, ? 解析 由? 解得 1<x≤4. ? ?4-x≥0,

)

3.在同一坐标系中,函数 y=log3x 与 y=log 1 x 的图象之间的关系是(
3

)

A.关于 y 轴对称 B.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称

答案 B 解析 ∵y=log 1 x=-log3x,∴函数 y=log3x 与 y=log 1 x 的图象关于 x 轴对称.
3 3

4.如图是三个对数函数的图象,则 a、b、c 的大小关系是(

)

A.a>b>cB.c>b>a C.c>a>bD.a>c>b 答案 D 解析 y=logax 的图象在(0,+∞)上是上升的,所以底数 a>1,函数 y=logbx,y=logcx 的 图象在(0,+∞)上都是下降的,因此 b,c∈(0,1),又易知 c>b,故 a>c>b.
?3x ?x≤0?, ? 1 5.已知函数 f(x)=? 那么 f(f( ))的值为( 8 ?log2x ?x>0?, ?

)

1 1 A.27B. C.-27D.- 27 27 答案 B 1 1 1 1 - - 解析 f( )=log2 =log22 3=-3,f(f( ))=f(-3)=3 3= . 8 8 8 27 6.已知对数函数 f(x)的图象过点(8,-3),则 f(2 2)=________. 3 答案 - 2 解析 设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),则-3=loga8, 1 ∴a= .∴f(x)=log 1 x, 2
2

3 f(2 2)=log 1 (2 2)=-log2(2 2)=- . 2
2

7.求下列函数的定义域: 1 (1)f(x)=lg(x-2)+ ; x-3 (2)f(x)=log(x+1)(16-4x).
? ?x-2>0, 解 (1)要使函数有意义,需满足? ?x-3≠0, ?

解得 x>2 且 x≠3.∴函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).

16-4x>0, ? ? (2)要使函数有意义,需满足?x+1>0, ? ?x+1≠1, 解得-1<x<0 或 0<x<4. ∴函数的定义域为(-1,0)∪(0,4). 二、能力提升 1 8.设函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=g(x),且 g(a)= ,则 a 等于( 4 1 1 A.2B.-2C. D.- 2 2 答案 B 解析 ∵函数 f(x)=log2x 的反函数为 y=2x, 即 g(x)=2x. 1 1 又∵g(a)= ,∴2a= ,∴a=-2. 4 4 9.若函数 f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中 a,b 为常数,则函数 g(x)=ax+b 的图象大致是 ( ) )

答案 D 解析 由函数 f(x)=loga(x+b)的图象可知,函数 f(x)=loga(x+b)在(-b,+∞)上是减函数. ∴0<a<1 且 0<b<1.所以 g(x)=ax+b 在 R 上是减函数,故排除 A,B.由 g(x)的值域为(b, +∞).所以 g(x)=ax+b 的图象应在直线 y=b 的上方,故排除 C.
2 2 10.设函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 f(x1x2?x2013)=8,则 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2013)的值等

于______. 答案 16
2 2 2 解析 ∵f(x2 1)+f(x2)+f(x3)+?+f(x2013) 2 2 2 =logax2 1+logax2+logax3+?+logax2013

=loga(x1x2x3?x2013)2 =2loga(x1x2x3?x2013)

=2f(x1x2x3?x2013), ∴原式=2×8=16. 11.已知 f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图象; (2)若 f(a)<f(2),利用图象求 a 的取值范围. 解 (1)作出函数 y=log3x 的图象如图所示.

(2)令 f(x)=f(2),即 log3x=log32,解得 x=2. 由图象知:函数 f(x)为单调增函数,当 0<a<2 时,恒有 f(a)<f(2).∴所求 a 的取值范围为 (0,2). 三、探究与创新 1 12.求 y=(log 1 x)2- log 1 x+5 在区间[2,4]上的最大值和最小值. 2
2 2

解 因为 2≤x≤4,所以 log 1 2≥log 1 x≥log 1 4,
2 2 2

即-1≥log 1 x≥-2.
2

设 t=log 1 x,则-2≤t≤-1,
2

1 1 所以 y=t2- t+5,其图象的对称轴为直线 t= , 2 4 所以当 t=-2 时,ymax=10;当 t=-1 时,ymin= 13 . 2

13.若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且 x∈(0,+∞)时,f(x)=lg(x+1),求 f(x)的表达式, 并画出大致图象. 解 ∵f(x)为 R 上的奇函数,∴f(0)=0. 又当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞), ∴f(-x)=lg(1-x). 又 f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-lg(1-x), ∴f(x)的解析式为 lg?x+1?,x>0, ? ? f(x)=?0,x=0, ? ?-lg?1-x?,x<0,

f(x)的大致图象如图所示


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