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高中数学 第三章 导数及其应用 3


2016-2017 学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算高 效测评 新人教 A 版选修 1-1

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.下列结论: 1 ?1? ①(sin x)′=-cos x;②? ?′= 2;

?x?

x

1 1 ③(log3x)′= ;④(ln x)′= . 3ln x x 其中正确的有( A.0 个 C.2 个 解析: (sin x)′=cos x,故①错误; ) B.1 个 D.3 个

?1?′=- 1 ,故②错误; ?x? x2 ? ?
(log3x)′= 1

xln 3

,故③错误;

1 (ln x)′= ,故④正确.

x

答案: B 2.已知 f(x)=x ,若 f′(-1)=-4,则 α 的值等于( A.4 C.5 解析: ∵f′(x)=(x )′=α ·x
α α -1 α

)

B.-4 D.-5 . =-4.

由题意 f′(-1)=-4,即 α ·(-1) ∴α =4. 答案: A

α -1

1 3 2 3.曲线 f(x)= x -x +5 在 x=1 处的切线的倾斜角为( 3 A. C. π 6 π 4 3π B. 4 π D. 3

)

3π 2 解析: f′(x)=x -2x,k=f′(1)=-1,故切线的倾斜角为 . 4
1

答案: B

? π π? 4.曲线 y=xsin x 在点?- , ?处的切线与 x 轴、直线 x=π 所围成的三角形的面 ? 2 2?
积为( A. π 2
2

) B.π
4 2

π C. 4

D.2π

2

π 解析: 切线方程为 y=-x,故围成的三角形的面积为 . 2 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.函数 y=(x+1) (x-1)在 x=1 处的导数等于________. 解析: y′=[(x+1) (x-1)]′ =[(x+1) ]′(x-1)+(x+1) (x-1)′ =2(x+1)(x-1)+(x+1) =3x +2x-1 ∴y′|x=1=4. 答案: 4 6.曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为________. 解析: 利用导数的几何意义先求得切线斜率. 3 ∵y=x(3ln x+1),∴y′=3ln x+1+x· =3ln x+4,
2 2 2 2 2 2

2

x

∴k=y′|x=1=4, ∴所求切线的方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3. 答案: y=4x-3 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求下列函数的导数. e (1)y=sin x-2x ;(2)y=cos x·ln x;(3)y= ; sin x
2

x

1 2 (4)y= 4;(5)y=log2x -log2x.

x

解析: (1)y′=(sin x-2x )′=(sin x)′-(2x )′=cos x-4x. (2)y′=(cos x·ln x)′ =(cos x)′·ln x+cos x·(ln x)′

2

2

2

cos x =-sin x·ln x+ .

x

? e (3)y′=? ?sin
x

x

x x ?′=?e ?′·sin x-e ·?sin x?′ ? 2 x? sin x x x

e ·sin x-e ·cos x e ?sin x-cos x? = = . 2 2 sin x sin x 4 ?1? -4 -4-1 -5 (4)y′=? 4?′=(x )′=-4x =-4x =- 5.

?x ?

x

(5)∵y=log2x -log2x=log2x,∴y′=(log2x)′=
3 2

2

1 . x·ln 2

8.已知函数 f(x)=ax +bx +cx 过点(1,5),其导函数 y=f′(x)的图象如图所示,求

f(x)的解析式.

解析: ∵f(x)=ax +bx +cx, ∴f′(x)=3ax +2bx+c. 由图象可知 f′(1)=0,f′(2)=0. ∴3a+2b+c=0,① 12a+4b+c=0,② 又函数 f(x)的图象过点(1,5),∴f(1)=5, 即 a+b+c=5 ③ 由①②③可得 a=2,b=-9,c=12. ∴函数 y=f(x)的解析式为 f(x)=2x -9x +12x.
3 2 2

3

2

1 3 a 2 9.(10 分)设函数 f(x)= x - x +bx+c,其中 a>0,曲线 y=f(x)在点 P(0,f(0))处 3 2 的切线方程为 y=1,确定 b,c 的值. 解析: 由题意得:f(0)=c,

f′(x)=x2-ax+b,
1 3 a 2 由 切 点 P(0 , f(0)) 既 在 曲 线 f(x) = x - x + bx + c 上 又 在 切 线 y = 1 上 知 3 2
?f′?0?=0, ? ? ?f?0?=1, ?



3

0 -a·0+b=0, ? ? ?1 3 a 2 ×0 - ×0 +b·0+c=1, ? 2 ?3 故 b=0,c=1.

2

4


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