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3.3三角函数的积化和差与和差化积课件(人教B版必修4)


? 3.3 三角函数的积化和差与
和差化积

? 重点:掌握积化和差与和差化积公式,能
? ? ? ?
正确运用此公式进行简单的三角函数式的 化简,求值和恒等证明. 难点:公式的灵活运用. 1.积化和差公式的特点 (1)同名函数之积化为两角和与差余弦的和 ( 差 ) 的一半,异名函数之积化为两角和与 差正弦的和(差)的一半. (2)等式左边为单角α,β,等式右边是它们 的和(差)角. (3)如果左端两函数中有余弦函数,那么右

?

? ? ? ? ?

2.和差化积公式的特点 (1)同名函数的和或差才可化积; (2)余弦函数的和或差化为同名函数之积; (3)正弦函数的和或差化为异名函数之积; (4)等式左边为单角α和β,等式右边为 的形式; ? (5) 只有最后一组的符号为负,其余均为 正.

? 3.公式的记忆 ? 课标虽然对此二组公式不要求记忆,但记
住运用起来总是方便些.这样记忆公式. ? 和差化积公式记忆口诀: ? “正和正在前,正差正后迁; ? 余和一色余,余差翻了天.” ? (正代表sinα,余代表cosα),供仅参考.

? 4.公式的应用 ? (1)在应用和差化积公式时,必须是一次同
名三角函数方可施行,若是异名,必须用 诱导公式化为同名,若是高次函数,必须 用降幂公式降为一次. ? (2)根据实际问题选用公式时,应从以下几 个方面考虑: ? ①运用公式之后,能否出现特殊角; ? ②运用公式之后,能否提取公因式,能否 约分,能否合并或消项;

③运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,各 种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造条 件. (3)对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或 选择解题的思路不同,化积结果可能不一致. 为了能够把三角函数式化为积的形式, 有时需要把某些 1 π 常数当作三角函数值应用公式.如 -cosα=cos -cosα 再 2 3 化积.

[解析]

1 ∵cosα-cosβ=2,

α+β α-β 1 ∴-2sin 2 sin 2 =2. α+β α-β 1 1 ∵sinα-sinβ=- ,∴2cos sin =- . 3 2 2 3 α-β α+β 3 ∵sin ≠0,∴tan = , 2 2 2 α+β 3 2tan 2× 2 2 12 ∴sin(α+β)= = 9=13. α + β 1+4 1+tan2 2

? [点评] 对于给式求值问题,一般思路是
先对条件化简,之后看 能否直接求结果; 若不能,则再对所求化简,直到找到两者 的联系为止.“走一走,看一看”对解此 类问题是非常必要的.试图利用已知等式 及平方关系分别求取cosα,cosβ,sinα, sinβ的值,导致运算烦琐,难以求解.

化简下列各式: cosA+cos?120° +B?+cos?120° -B? (1) ; sinB+sin?120° +A?-sin?120° -A? sinA+2sin3A+sin5A (2) . sin3A+2sin5A+sin7A

[解析]

cosA+2cos120° cosB (1)原式= sinB+2cos120° sinA

A+B B-A cosA-cosB 2sin 2 sin 2 A+B = = =tan 2 ; sinB-sinA A+B B-A 2cos 2 sin 2 ?sinA+sin5A?+2sin3A (2)原式= ?sin3A+sin7A?+2sin5A 2sin3Acos2A+2sin3A 2sin3A?cos2A+1? sin3A = = =sin5A. 2sin5Acos2A+2sin5A 2sin5A?cos2A+1?

[解析]

2sinx 解法一: = cosx+cos2x

sinx 3x x cos cos 2 2

3x x 3x x sin 2 cos2-cos 2 sin2 = 3x x = 3x x cos 2 cos2 cos 2 cos2 3x x sin sin 2 2 3x x = - =tan -tan . 3x x 2 2 cos cos 2 2

?3x x? sin? 2 -2? ? ?

3x x sin sin 2 2 3x x 解法二:tan -tan = - 2 2 3x x cos 2 cos2
?3x x ? 3x x 3x x ? - ? sin · cos -cos · sin sin 2 2 2 2 2? ?2 = = 3x x 3x x cos 2 cos2 cos 2 cos2

sinx 2sinx = 3x x = . cosx+cos2x cos 2 cos2

? [例3] 在△ABC中,若sinAsinB=cos2 ,
则△ABC是

?(

)

? ? ? ?

A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形

? [ 解析 ] 由已知等式得
? ? ? ? ? ?

[cos(A - B) -

cos(A+B)]= (1+cosC), 又A+B=π-C, 所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC, 所以cos(A-B)=1. 又-π<A<B<π,所以A-B=0,所以A=B. 故△ABC为等腰三角形. [答案] B

? [点评] 判定三角形形状的基本思路是:对
已知三角恒等式化简变形,把三角函数关 系式最终化成角之间的关系,利用角之间 的关系判定形状,在变形时注意合理利用 内角和定理及其变形.

已知△ABC 中,tanB+tanC+ 3tanB· tanC= 3,试判 断△ABC 的形状.

[解析]

首先 tanB· tanC≠1,若 tanB· tanC=1,则 tanB

+tanC=0 矛盾. 由 tanB+tanC+ 3tanB· tanC= 3, tanB+tanC 得 = 3. 1-tanB· tanC ∴tan(B+C)= 3, ∵B、C 是△ABC 的内角,∴B+C=60° ,∴A=120° . 故△ABC 为钝角三角形.

? [例4] 求sin210°+cos240°+
sin10°cos40°的值.

[解析]

解法一:因为 40° =30° +10° ,于是

原式=sin210° +cos2(30° +10° )+sin10° cos(30° +10° )= sin
2

? 10° +? ? ? ? ? ? ?

? 3 1 ?2 cos10° - sin10° ? +sin10° 2 2 ?

? 3 3 3 1 ? 2 2 +cos 10° )=4. -2sin10° ?=4(sin 10° 2 cos10° ?

解法二:令 sin10° =a+b,cos40° =a-b,则 1 1 a=2(sin10° +cos40° )=2(sin10° +sin50° ) 1 =sin30° cos20° =2cos20° ,

1 1 b= (sin10° -cos40° )= (sin10° -sin50° ) 2 2 3 =cos30° sin(-20° )=- 2 sin20° . 原式=(a+b)2+(a-b)2+(a+b)(a-b) =3a2+b2 3 2 3 2 3 = cos 20° + sin 20° = . 4 4 4

? 解 法 三 : 设 x = sin210° + cos240° +
sin10°cos40°, ? y=cos210°+sin240°+cos10°sin40°.则 ? x + y = 1 + 1 + sin10°cos40° + cos10°sin40° = 2 + sin50° = 2 + cos40° ,

? [ 点评 ] 解法一:通过对该题中两个角的
特点分析,巧妙地避开了和差化积与积化 和差公式. ? 解法二:运用代数中方程的方法,将三角 问题代数化处理,解法新颖别致,不拘一 格,体现了数学的内在美. ? 解法三:利用正余弦函数的互余对偶,构 造对偶式,组成方程组,解法简明. ? 在此基础上,通过分析三角函数式中的角 度数之间的特定关系,作推广创新.

? 求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的
值.

[ 解析 ]

1-cos40° 1+cos100° 1 解法一:原式= + +2 2 2

1 sin70° - sin30° 2 1 1 1 =1+2(cos100° -cos40° )+2sin70° -4 3 1 1 =4+2(-2sin70° · sin30° )+2sin70° 3 1 1 3 = - sin70° + sin70° = . 4 2 2 4

解法二:原式=sin220° +cos2(30° +20° )+sin20° cos(30° +20° ) = sin220° + cos230° cos220° - 2cos30° cos20° sin30° sin20° +sin230° sin220° +sin20° cos30° cos20° -sin20° sin30° sin20° 3 2 3 1 2 3 = sin 20° + 4 cos 20° - 2 sin20° cos20° + 4 sin 20° + 2
2

1 2 sin20° cos20° - sin 20° 2 3 2 3 2 3 =4sin 20° +4cos 20° =4.

? [例5] 求函数y=5sin(x+20°)+4cos(x+
50°)的最大值.
[辨析] 形 如 y = asinx + bcosx 的 函 数 的最 大 值 为 a2+b2,而函数 y=5sin(x+20° )+4cos(x+50° ),不符合上 述形式.

? [正解] y=5sin(x+20°)+4cos(x+50°) ? =5sin(x+20°)+4cos[(x+20°)+30°] ? = 5sin(x + 20°) + 4cos(x + 20°)cos30° -
4sin(x+20°)sin30°

一、选择题 π 5π 1.sin cos 的值是 12 12 ( 3 A.1- 2 1 C.4(2- 3)
[答案] C

)

1 B. (2+ 3) 4 1 D.4( 2-1)

π 5π [解析] sin12cos12
?π 5π?? 1? ? π 5π? =2?sin?12+12?+sin?12-12?? ? ? ? ? ??

1 ? 3? ? ? 1 =2×?1- ?=4(2- 3),故选 C. 2? ?

2.下列四个公式中,不正确的是 1 A.sinxsiny= [cos(x-y)-cos(x+y)] 2 1 B.cosxcosy=2[cos(x-y)+cos(x+y)] 1 C.sinxcosy=2[sin(x-y)+sin(x+y)] 1 D.cosxsiny=2[sin(x-y)-sin(x+y)]

(

)

[答案] D

二、填空题 2 1 3.已知 sin(α+β)=3,sin(α-β)=5,则 sinαcosβ 的值 是________.

三、解答题
? α+β α-β? ? ?2 4.化简:(1-sinα)(1-sinβ)-?sin . -cos ? 2 2 ? ?

[解析]

原式=1-(sinα+sinβ)+sinαsinβ

? ? α+β α-β ? 2α+β 2α-β? -?sin -2sin 2 cos 2 +cos 2 ? 2 ? ?

α+β α-β =1-2sin 2 cos 2 +sinαsinβ-
?1-cos?α+β? 1+cos?α-β? α+β α-β? ? ? + - 2sin cos ? 2 2 2 2 ? ? ?

1 =sinαsinβ+2[cos(α+β)-cos(α-β)] =sinαsinβ-sinαsinβ=0.


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