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上海市普陀区2015届高三12月质量调研(一模)数学理试卷 Word版含答案


2014 学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷
考 2014.12 1.答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、 考试号填写清楚, 并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 3.本试卷另附答题纸,每道题的解答必须写在答题纸的相应位置,本卷上任何解答都不 ...................... 作评分依据 . ..... 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的 空格中.每个空格填对得 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 若集合 A ? {x | lg x ? 1} , B ? { y | y ? sin x, x ? R } ,则 A ? B ? 2. 若 lim . 生 注 意 :

n ??

an ? 1 ,则常数 a ? n?a

.

x2 ? x ? 1 3. 若 x ? 1 ,则函数 y ? 的最小值为 x ?1
4. 函数 y ? tan ?

A1
.

B1

C1

?? ? ? x ? 的单调递减区间是 ?4 ?
.

.

A B
第6题

C

5. 方程 lg x ? lg(7 ? x) ? 1 的解集为

6. 如图,正三棱柱的底面边长为 2 ,体积为 3 ,则直线 B1C 与底面 ABC 所成的角的大小为 7. 若方程 (结果用反三角函数值表示). .

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 | k | ?2 3 ? k
2

8. 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ( x ? 0 )的反函数是

.

? 1 ? 2 ? 9. 在二项式 ? ?x ? ? 的展开式中,含 x 项的系数为 x? ?
10. 若抛物线 y ?
2

8

(结果用数值表示).

4x m

( m ? 0 )的焦点在圆 x ? y ? 1 内,则实数 m 的取值范围是
2 2

.

C 的对边分别为 a 、 b 、c , c ? 2 ,A ? 120 ? , 11. 在 ?ABC 中, 三个内角 A 、B 、 若a ? 2 3,
则 S ?ABC ? .

12. 若无穷等比数列 {an } 的各项和等于公比 q ,则首项 a1 的最大值是 13. 设 a 为大于 1 的常数,函数 f ( x) ? ?

.
2

?log a x x ? 0
x ?1 x?0 ?a

,若关于 x 的方程 f ( x) ? b ? f ( x) ? 0

P1
.

恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是

P5

14. 如图,点 P 10 分别是四面体的顶点或其棱的中点,则在同一平面 1, P 2 ,? , P 内的四点组 P 1, P i , Pj , P k

?

?

( 1 ? i ? j ? k ? 10 )共有

个.

P P2 P P9 3 8 P 4
第 14 题

P6 P 10

P7

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把 正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5 分,不选、选错或选出的代号超过 一个(不论是否都写在空格内) ,或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分.

b ? R, 15. 设a、 且 ab ? 0 , 则????????????????????????????
( )

( A) | a ? b |?| a ? b | (C ) | a ? b |?| a | ? | b |
2

( B ) | a ? b |?| a ? b | ( D) | a ? b |?| a | ? | b |

16. “ 点 M 在 曲 线 y ? 4 x 上 ” 是 “ 点 M 的 坐 标 满 足 方 程 2 x ? y ? 0 ” 的??????????( )

( A) 充分非必要条件
(C ) 充要条件

( B ) 必要非充分条件
( D) 既非充分也非必要条件

17. 要 得 到 函 数 y ? sin 2 x 的 图 像 , 只 需 将 函 数 y ? cos? 2 x ? 像????????????( )

? ?

??

? 的 图 4? A

( A) 向左平移 (C ) 向左平移

? ?
8 4

个单位 个单位

( B ) 向右平移 ( D) 向右平移

?
?
8 4

个单位 个单位

B P1 P2 P3

Pk
第 18 题

Pn ?1C

18. 若在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上有 n ( n ? N*, n ? 2 )等分点, 沿 向 量

BC













P1 , P2 , ?, Pn ?1





Tn ? AB ? AP1 ? AP1 ? AP2 ? ? ? APn ?1 ? AC ,
若给出四个数值:① ( )

232 29 91 197 ② ③ ④ ,则 Tn 的值不可能的共有??????? 4 10 18 33
( B) 2 个 (C ) 3 个 ( D) 4 个

( A) 1 个

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点,求 P 到 M (m,0) ( m ? 0 )的距离的最小值. 4 2

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. ? 3? 已知函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b sin x cos x 满足 f ( ) ? f ( ) ? 2 6 2 (1)求实数 a , b 的值以及函数 f ( x) 的最小正周期; (2)记 g ( x) ? f ( x ? t ) ,若函数 g ( x) 是偶函数,求实数 t 的值.

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图 1)穿在一起,在 没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合的两块钢板,成为某种钢结构的 配件,其截面图如图 2.(单位:mm).(加工中不计损失). (1)若钉身长度是钉帽高度的 2 倍,求铆钉的表面积; (2)若每块钢板的厚度为 12 mm,求钉身的长度(结果精确到 1 mm).

20 38

12 20 12

19

19

38

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题5分 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? a n ? 4 , n ? N* (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)已知 c n ? 2n ? 3 ( n ? N*) ,记 d n ? c n ? log C a n ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这样 的常数 C ,使得数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有

?1? n?2 成立,求证:数列 {bn } 是等差数列; b1an ? b2 an ?1 ? b3an ? 2 ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ?2?

n

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题8分 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x 0 ,使得 f (? x 0 ) ? ? f ( x 0 ) 成立,则称 x 0 为函数

f ( x) 的局部
对称点. (1)若 a 、 b ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 f ( x) ? ax ? bx ? a 必有局部对称点;
2

(2)若函数 f ( x) ? 2 ? c 在区间 [?1,2] 内有局部对称点,求实数 c 的取值范围;
x

(3)若函数 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x

x ?1

? m 2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围.

2014 学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研卷参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的 空格中.每个 空格填对得 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. [?1, 10) 5. {2,5} 6. arctan 9.70 2.1 3.3 4. ? k? ?

? ?

?
4

.k? ?

3? 4

? ? ( k?Z ) ?

1 2

7. (?2, 2) ? (3,??)

8. f

?1

( x) ? 1 ? x ? 1 ( x ? 2)
14. 33

10. m

?1

11. 3 12.

1 4

13. 0 ? b ? a

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把 正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5 分,不选、选错或选出的代号超过 一个(不论是否都写在空格内) ,或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分. 题号 答案 15 A 16 B 17 B 18 D

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 【解】设 P ( x, y ) ,其中 ? 2 ? x ? 2 ????????2 分 则 | PM | ? ( x ? m) ? y = ( x ? m) 2 ? 2 ?
2 2 2

1 2 1 2 x ? x ? 2mx ? m 2 ? 2 ??5 分 2 2

?

1 ( x ? 2m) 2 ? 2 ? m 2 ,对称轴 x ? 2m ? 0 ??7 分 2

(1) 若 0 ? 2m ? 2 ,即 0 ? m ? 1 ,此时当 x ? 2m 时, | PM | min ? (2) 若 2m ? 2 ,即 m ? 1 ,此时当 x ? 2 时,| PM | min ? 11 分 综上所述, | PM | min ? ?

2 ? m 2 ;??9 分

m 2 ? 4m ? 4 ?| m ? 2 | ;??

? ? 2 ? m 2 ,0 ? m ? 1 ????12 分 ? | m ? 2 |, m ? 1 ?

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

? ? f( )?2 ? ?a ? 3b ? 8 ?a ? 2 ? 6 【解】 (1)由 ? 得, ? ??2 分,解得 ? ??3 分 3 ? a ? 2 b ? 2 3 ? ? ?f( )?2 ? ? 2


a?2



b?4 3





f ( x) ? a sin2 x ? b sin x cos x



f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x
所以

f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ??4 分

? 1 ? 2 sin( 2 x ?
所以函数

?
6

) ????5 分
2? ? ? ????6 分 2

f ( x) 的最小正周期 T ?
( 1 ) 得 ,



2





f ( x ? t ) ? 2 sin[ 2( x ? t ) ?

?
6

] ?1







?? ? g ( x) ? 2 sin? 2 x ? 2t ? ? ? 1 ??8 分 6? ?
函数 g ( x) 是偶函数,则对于任意的实数 x ,均有 g (? x) ? g ( x) 成立。 所以 sin ?? 2t ?

?? ??

??

? ?? ? ?? ? ? 2 x ? ? sin ?? 2t ? ? ? 2 x ? ????10 分 6? 6? ? ?? ?

整理得, cos? 2t ?

? ?

??

? sin x ? 0 ??(﹡)??????12 分 6?
? ?

(﹡)式对于任意的实数 x 均成立,只有 cos? 2t ? 所以 t ?

??

? ? 0 ,解得 2t ? ? k? ? , 6 2 6?

?

?

k? ? ? , k ? Z ????14 分 2 3

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 【解】设钉身的高为 h ,钉身的底面半径为 r ,钉帽的底面半径为 R ,由题意可知:??1 分 (1) 圆柱的高 h ? 2 R ? 38 ??2 分 圆柱的侧面积 S1 ? 2?rh ? 760? ??3 分 半球的表面积 S 2 ?

1 ? 4?R 2 ? ?R 2 ? 1083? ??5 分 2

所以铆钉的表面积 S ? S1 ? S 2 ? 760? ? 1083? ? 1843? ( mm 2 )??7 分 (2) V1 ? ?r ? h1 ? 100 ? 24 ? ? ? 2400? ??8 分
2

V2 ?

1 4 2 13718? ??9 分 ? ? ? ? R 3 ? ? 193 ? ? ? 2 3 3 3

设钉身长度为 l ,则 V3 ? ?r 2 ? l ? 100?l ??10 分 由于 V3 ? V1 ? V2 ,所以 2400? ? 解得 l ? 70 mm ??13 分 答:钉身的表面积为 1843?mm 2 ,钉身的长度约为 70mm 。 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题5分 【解】 (1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ??????????1 分 由 S n ? a n ? 4 得 n ? 2 时, S n ?1 ? a n ?1 ? 4 ??2 分 两式相减得, 2a n ? a n ?1 ,

13718? ? 100?l ,??12 分 3

an 1 ? ,??3 分 a n ?1 2
1 的等比数列,所以 a n ? 2 2? n ( n ? N * )??5 2

数列 {a n } 是以 2 为首项,公比为 分 (2)由于数列 {d n } 是常数列

d n = c n ? log C a n ? 2n ? 3 ? (2 ? n) log C 2 ??????6 分

?

2n ? 3 ? 2 log C 2 ? n log C 2

? (2 ? log C 2)n ? 3 ? 2 log C 2





数??????7 分 只有 2 ? log C 2 ? 0 ,??????8 分;解得 C ? 此时 d n ? 7 ??10 分 (3) b1 a n ? b2 a n ?1 ? b3 a n ? 2

2 ,??????9 分

n?2 ?1? ??① ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ?2?

n

n ? 1 , b1 a1 ?

1 3 1 ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? ????11 分 2 2 2

当 n ? 2 时, b1 a n ?1 ? b2 a n ? 2 ? b3 a n ?3

?1? ? ? ? bn ?1 a1 ? ? ? ?2?

n ?1

?

n ?1 ??②??12 分 2
n

②式两边同时乘以

1 n ?1 ?1? 得, b1 a n ? b2 a n ?1 ? b3 a n ? 2 ? ? ? bn ?1 a 2 ? ? ? ? ??③13 分 2 4 ?2?

①式减去③得, bn a1 ?

?n?3 n 3 ,所以 bn ? ? ? ??14 分 4 8 8 1 且 bn ?1 ? bn ? ? ??15 分 8 1 1 所以数列 {bn } 是以 ? 为首项,公差为 ? 的等差数列。??16 分 2 8

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题8分 【解】 (1)由 f ( x) ? ax ? bx ? a 得 f (? x) ? ax ? bx ? a ??1 分
2 2

代入 f (? x) ? f ( x) ? 0 得, ax ? bx ? a ? ax ? bx ? a ? 0 ,
2 2

?

? ?

?

得到关于 x 的方程 ax 2 ? a ? 0 ( a ? 0 ) ,??2 分 其中 ? ? 4a 2 ,由于 a ? R 且 a ? 0 ,所以 ? ? 0 恒成立??3 分 所以函数 f ( x) ? ax ? bx ? a ( a ? 0 )必有局部对称点。??4 分
2

(2)方程 2 x ? 2 ? x ? 2c ? 0 在区间 [?1,2] 上有解,于是 ? 2c ? 2 x ? 2 ? x ??5 分 设 t ? 2x ( ?1 ? x ? 2 ) ,

1 ? 2c ? t ? ??7 分 t 17 所以 ? ? c ? ?1 ??10 分 8
(3) f (? x) ? 4
?x

1 ? t ? 4 ,??6 分 2 1 17 其中 2 ? t ? ? ??9 分 t 4

? m ? 2 ? x ?1 ? m 2 ? 3 ,??11 分
?x

由于 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 所以 4 13 分 于是 (4 ? 4
x ?x

? m ? 2 ? x ?1 ? m 2 ? 3 ? ?(4 x ? m ? 2 x ?1 ? m 2 ? 3) ??

) ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ? 2(m 2 ? 3) ? 0 ??(*)在 R 上有解??14 分

令 2 x ? 2?x ? t ( t ? 2 ) ,则 4 x ? 4 ? x ? t 2 ? 2 ,??15 分 所以方程(*)变为 t 2 ? 2mt ? 2m 2 ? 8 ? 0 在区间 [2,??) 内有解,需满足条件:

?? ? 4m 2 ? 8(m 2 ? 4) ? 0 ? ??16 分 ? 2m ? 4(8 ? m 2 ) ? 2 ? 2 ?

即?

? ?? 2 2 ? m ? 2 2 ,化简得 1 ? 3 ? m ? 2 2 ??18 分 ? 1 ? 3 ? m ? 2 2 ?


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