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2017夏季会考数学试卷及答案

2017 年北京市夏季普通高中会考

数学试卷

1. 考生要认真填写考场号和座位序号。

考 2. 本试卷共 6 页,分为两个部分,第一部分为选择题, 25 个小题(共 75 分);



第二部分为解答题, 5 个小题(共 25 分)。

须 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必



须用 2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

4.考试结束后,考生应将试卷、答题卡放在桌面上,待监考员收回。

第一部分 选择题(每小题 3 分,共 75分)

在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.

1.已知集合 A ?{1,2,3}, B ? {?1,3} ,那么集合 A B 等于

A.{ 3}

B. { ? 1,1 ,2,3}

C.{?1,1}

D.{ x ?1≤x≤3}

2.如果直线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么直线 l 的斜率是

A. 3

B. ?3

C. 1 3

3.不等式 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的解集为

D. ? 1 3

A. ( ?1,3)

B. ( ? 3,1)

C. ( ? ?,?1) (3,? ?)

D. ( ? ?,? 3) (1,? ?)

4.已知向量 a ? ( ?1,2) , b ? (2,y ) ,且 a ? b ,那么 y 等于

A. ?1

B.1

5.已知 tan? =3 ,那么 tan ( π +? ) 等于

C. ?4

A. ?3

B. ? 1 3

C. 1 3

6.某程序框图如图所示,如果输入 x 的值是 2 ,那么输出 y 的值是

D. 4 D. 3

A. 2

开始

B. 4 C. 5 D. 6

输入 是


输出

数学试卷 第 1 页 (共 10 页)

结束

7.要得到函数 y ? sin( x ? π ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象 4

A.向左平移 π 个单位 4

B.向右平移 π 个单位 4

C.向上平移 π 个单位 4

D.向下平移 π 个单位 4

8.给出下列四个函数:

○1 y ? x ?1; ○2 y ? x2 ;

○3 y ? ln x ;

○4 y ? x3 .

其中偶函数的序号是

A.○1

B.○2

C.○3

D.○4

9.在△ ABC 中, a ? 2 , b ? 7 , c ? 3,那么角 B 等于

A. π 6

B. π 4

C. π 3

10.已知数列? an ? 的前 n 项和 Sn = n2 ?1,那么 a3 等于

A. 5

B. 6

C. 7

11.已知正数 a,b 满足 ab ?10 ,那么 a ? b 的最小值等于

A. 2

B. 10

C. 2 10

12. log2 8 ? log2 4 等于

A.1

B.2

C.5

13.某几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是

A. 2 π 3
B. 5 π 3
C. 8 π 3
D. 2π

D. 5π 12
D. 8 D. 20 D.6

? 2x ?1,x≤0,

14.函数

f

(x)

?

? ? ??

1 x



零点的个数为 x?0

A. 0

B.1

C. 2

数学试卷 第 2 页 (共 10 页)

D. 3

15. cos2 π ? sin2 π 等于

12

12

A. ? 2 2

B. ? 3 2

C. 2 2

?x ? y ?1 ≤ 0, 16.不等式组 ??x ? y ? 2 ≤ 0,表示的平面区域的面积等于
?? x ≥ 0

A. 3 2

B. 2

C. 9 4

17.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是单调函数,其部分图象如图

D. 3 2
D. 5 2

所示,那么不等式 f ( x) ? 3 的解集为

A. (0,??)

B. (??,0)

C. (? 2,??) D. (??,? 2)

18.已知圆 x2 + y2 = 1与圆 ( x - 3)2 + y2 = r2 ( r > 0) 相外切,那么 r 等于

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

19.在植树活动中,每名同学可从两种树苗中任选一种进行种植,那么甲乙两名同学选择同

一种树苗的概率是

A. 1 4

B. 1 3

C. 1 2

D. 3 4

20.已知向量 a ? (0,2) , b ? (1,0) ,那么向量 a ? 2b 与 b 的夹角为

A.135?

B.120?

C. 60?

D. 45?

21.某地区有网购行为的居民约10 万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比

例情况,现从中随机抽取168 人进行调查,其数据

如右表所示. 由此估计,该地区网购消费金额占日

常消费总额的比例在 20% 及以下的人数大约是

A.1.68 万

B. 3.21万

C. 4.41万

D. 5.59 万

数学试卷 第 3 页 (共 10 页)

22.已知数列? an ? 满足 an + an?1 ? n ,那么其前 4 项的和 S4 等于

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

23.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1中, E,F,G,H 分别是棱 A1B1,BB1,CC1,C1D1 的 中点,那么

A. BD1 // GH B. BD // EF C.平面 EFGH // 平面 A1BCD1 D.平面 EFGH // 平面 ABCD

24.如图,在△ ABC 中,点 D 在线段 BC 上, BD ? 2DC . 如果 AD ? x AB ? y AC ,那么

A. x ? 1,y ? 2 33

B. x ? 2,y ? 1 33

C. x ? ? 2,y ? 1 33

D. x ? 1,y ? ? 2

3

3

25.从 2008 年京津城际铁路通车运营开始,高铁在过去几年里快速发展,并在国民经济和日

常生活中扮演着日益重要的角色. 下图是 2009 年至 2016 年高铁运营总.里.程.数的折线图(图

中的数据均是每年 12 月 31 日的统计结果).

根据上述信息,下列结论中正确的是 A.截止到 2015 年 12 月 31 日,高铁运营总里程数超过 2 万公里 B.2011 年与 2012 年新.增.高铁运营里程数之和超过了 0.5 万公里 C.从 2010 年至 2016 年,新.增.高铁运营里程数最多的一年是 2014 年 D.从 2010 年至 2016 年,新.增.高铁运营里程数逐年递增
数学试卷 第 4 页 (共 10 页)

第二部分 解答题(每小题 5 分,共 25分)
26.(本小题满分 5 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2x ? cos 2x . (Ⅰ) f (0) ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上) (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间.
27.(本小题满分 5 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PB ? PC , AB ? AC . D , E 分别是 BC , PB 的
中点. (Ⅰ)求证: DE // 平面 PAC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 PAD .
28.(本小题满分 5 分) 已知数列{an } 是公差为 d 的等差数列, a1 ? 3 , a3 ? 9 . (Ⅰ)公差 d ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上)
(Ⅱ)数列{bn } 满足 bn ? a2n ( n ?1,2,3, ),求数列{bn } 的前 n 项和 Sn .
数学试卷 第 5 页 (共 10 页)

29.(本小题满分 5 分) 已知⊙ M : x2 ? 4x ? y2 ? 0 . (Ⅰ)⊙ M 的半径 r ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上) (Ⅱ)设点 A(0,3) ,B( 2,5) ,试判断⊙ M 上是否存在两点 C ,D ,使得四边形 ABCD 为平行四边形?若存在,求直线 CD 的方程;若不存在,请说明理由.

30.(本小题满分 5 分) 科学研究表明:人类对声音有不同的感觉,这与声音的强度 I (单位:瓦/平方米)有 关. 在实际测量时,常用 L (单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度 I

I 满足关系式: L ? a ? lg
I0

( a 是常数),其中 I0

? 1?10?12 瓦/平方米.

如风吹落叶沙沙

声的强度 I ? 1?10?11 瓦/平方米,它的强弱等级 L ?10 分贝. (Ⅰ) a ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上)

(Ⅱ)已知生活中几种声音的强度如下表:

声音来源 声音大小

风吹落叶沙沙声

强度 I (瓦/平方米)

1? 10?11

强弱等级 L (分贝)

10

轻声耳语
1? 10?10 m

很嘈杂的马路 1? 10?3 90

那么 m ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上) (Ⅲ)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过 50 分贝,求此时
声音强度 I 的最大值.

数学试卷 第 6 页 (共 10 页)

2017 年北京市夏季普通高中会考

数学试卷答案及评分参考
[说明] 1. 第一部分选择题,机读阅卷. 2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便,解答题中的推导步骤写得较为详细,考生只要写明 主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 解答右端 所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
第一部分 选择题 (每小题 3 分,共 75 分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9

答案 B

B

A

B

D

B

A

B

C

题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18

答案 A

C

A

A

B

D

C

A

B

题号 19 20 21 22 23 24 25

答案 C

A

D

B

C

A

C

———

第二部分 解答题 (每小题 5 分,共 25 分)

26.(本小题满分 5 分) 已知函数 f (x) ? sin 2x ? cos 2x . (Ⅰ) f (0) ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上) (Ⅱ)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.

(Ⅰ)解: f (0) = 1.

……………………………………2 分

(Ⅱ)解:由题意得 f (x) ? 2 sin(2x ? π) . 4
所以 T ? ? .

因为 2kπ ? π ≤2x ? π ≤2kπ ? π , k ? Z ,

2

4

2

所以 kπ ? 3π ≤x ≤kπ ? π , k ? Z .

8

8

所以 f (x) 的单调递增区间是[ kπ ? 3π ,kπ + π ], k ? Z .

8

8

27.(本小题满分 5 分)

…………5 分

如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PB ? PC ,AB ? AC .D ,E 分别是 BC ,PB 的

中点.

(Ⅰ)求证: DE // 平面 PAC ;

数学试卷 第 7 页 (共 10 页)

(Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 PAD .

(Ⅰ)证明:因为 D ,E 分别是 BC ,PB 的中点,

所以 DE//PC .

因为 DE ? 平面 PAC ,PC ? 平面 PAC ,

所以 DE // 平面 PAC .

……………………………………2 分

(Ⅱ)证明:因为 PB ? PC ,AB ? AC ,D 是 BC 的中点,

所以 PD ? BC ,AD ? BC .

因为 PD AD ? D ,

所以 BC ? 平面 PAD .

因为 BC ? 平面 ABC ,

所以 平面 ABC ? 平面 PAD . ……………………………………5 分

28.(本小题满分 5 分) 已知数列{an } 是公差为 d 的等差数列, a1 ? 3 , a3 ? 9 . (Ⅰ)公差 d ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上) (Ⅱ)数列{bn } 满足 bn ? a2n ( n ?1,2,3, ),求数列{bn } 的前 n 项和 Sn .

(Ⅰ)解:公差 d ? 3 .

……………………………………2 分

(Ⅱ)解:因为 等差数列{an } 的公差 d ? 3 , a1 ? 3 ,

所以 an ? 3n .

所以 bn ? a2n ? 3 ? 2n .

所以 数列{bn } 是首项为 6 ,公比为 2 的等比数列.

所以

Sn

?

6(1? 2n ) 1? 2

?

6?

2n

?

6

.

29.(本小题满分 5 分)

…………………………………… 5 分

已知⊙ M :x2 ? 4x ? y2 ? 0 .

(Ⅰ)⊙ M 的半径 r ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上)

(Ⅱ)设点 A(0,3) ,B( 2,5) ,试判断⊙ M 上是否存在两点 C ,D ,使得四边形 ABCD

为平行四边形?若存在,求直线 CD 的方程;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)解:⊙ M 的半径 r ? 2 .

……………………………………1 分

数学试卷 第 8 页 (共 10 页)

(Ⅱ)解:由 x2 ? 4x ? y2 ? 0 得 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 .
所以 ⊙ M 的半径 r ? 2 ,圆心 M (2,0) . 由点 A(0,3) , B( 2,5) 可得 直线 AB 的斜率为 5 ? 3 ? 1, AB ? 2 2 .
2?0 如果存在点 C ,D ,使得四边形 ABCD 为平行四边形,那么 AB∥CD ,
AB ? CD .

设直线 CD 的方程为 y ? x ? b ,则点 M 到直线 CD 的距离 d ? 2 ? b . 2

由 r2 ? ? CD ?2 ? d 2 可得 4 ? 2 ? (2 ? b)2 ,解得 b ? 0 ,或 b ? ? 4 .

2

2

当 b ? 0 时,直线 CD 的方程为 x ? y ? 0 ,此时 C (2,2) , D (0,0) ;

当 b ? ? 4 时,直线 CD 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,此时 C (4,0) , D (2,? 2) .
所以 ⊙ M 上存在两点 C , D ,使得四边形 ABCD 为平行四边形. …5 分

30.(本小题满分 5 分) 科学研究表明:人类对声音有不同的感觉,这与声音的强度 I (单位:瓦/平方米)有 关. 在实际测量时,常用 L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度 I 满

足关系式: L ? a ? lg I I0

( a 是常数),其中 I0

? 1?10?12 瓦/平方米.

如风吹落叶沙沙声

的强度 I ? 1?10?11 瓦/平方米,它的强弱等级 L ?10 分贝. (Ⅰ) a ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上) (Ⅱ)已知生活中几种声音的强度如下表:

声音来源 声音大小

风吹落叶沙沙声

轻声耳语

很嘈杂的马路

数学试卷 第 9 页 (共 10 页)

强度 I (瓦/平方米) 强弱等级 L (分贝)

1? 10?11 10

1? 10?10 m

1? 10?3 90

那么 m ? ;(将结果直接填写在答.题.卡.的相应位置上)

(Ⅲ)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过 50 分贝,求此时

声音强度 I 的最大值.

(Ⅰ)解: a ? 10 .

……………………………………1 分

(Ⅱ)解: m ? 20 .

……………………………………3 分

(Ⅲ)解:由题意,得 L ≤50 .

所以

10 ?

I lg 1?10?12

≤50 .

解不等式,得 I ≤10?7 .

答:此时声音强度 I 的最大值为10?7 瓦/平方米. …………………………5 分

数学试卷 第 10 页 (共 10 页)


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