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2017夏季会考数学试卷及答案


2017 年北京市夏季普通高中会考


考 生 须 知







1. 考生要认真填写考场号和座位序号。 2. 本试卷共 6 页,分为两个部分,第一部分为选择题, 25 个小题(共 75 分) ; 第二部分为解答题, 5 个小题(共 25 分) 。 3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必 须用 2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 4.考试结束后,考生应将试卷、答题卡放在桌面上,待监考员收回。

第一部分

选择题(每小题 3 分,共 75 分)

在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.

3} ,那么集合 A ? B 等于 2 3} , B ? { ? 1, 1.已知集合 A ? {1,,
A. { 3 }
1 2 3} B. { ? 1,,, 1} C. { ? 1,

D. { x ? 1≤ x≤3}

2.如果直线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行,那么直线 l 的斜率是 A. 3 B. ? 3 C.

1 3

D. ?

1 3

3.不等式 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为

3) A. ( ? 1,

1) B. ( ? 3,

? 1) ? (3, ? ?) C. ( ? ?,

? 3) ? (1, ? ?) D. ( ? ?,

2) , b ? ( 2, y ) ,且 a ? b ,那么 y 等于 4.已知向量 a ? ( ? 1,
A. ?1 B. 1 C. ? 4 D. 4

5.已知 tan ? =3 ,那么 tan ( π + ? ) 等于 A. ? 3 B. ?
1 3

C.

1 3

D. 3

6.某程序框图如图所示,如果输入 x 的值是 2 ,那么输出 y 的值是 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
否 开始 输入 是

输出 结束
数学试卷 第 1 页 (共 10 页)

π 7.要得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图象 4

A.向左平移 C.向上平移

π 个单位 4 π 个单位 4

B.向右平移 D.向下平移

π 个单位 4 π 个单位 4

8.给出下列四个函数: 1 y ? x ?1 ; ○ 2 y?x ○
2



3 y ? ln x ; ○

4 y?x ○

3

.

其中偶函数的序号是 A.○ 1 B.○ 2 C.○ 3 D.○ 4

9.在△ ABC 中, a ? 2 , b ? 7 , c ? 3 ,那么角 B 等于 A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. 5π 12

10.已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn = n2 ? 1 ,那么 a 3 等于 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

11.已知正数 a, b 满足 a b ? 10 ,那么 a ? b 的最小值等于 A. 2 12. log2 8 ? log2 4 等于 A.1 B.2 C.5 D.6 B. 10 C. 2 10 D. 20

13.某几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是

2 π 3 5 π B. 3 8 C. π 3
A. D. 2 π

? 2 x ? 1 ,x≤0, ? 14.函数 f ( x) ? ? 1 零点的个数为 ? , x?0 ? x
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

数学试卷

第 2 页 (共 10 页)

15. cos2

π π ? sin 2 等于 12 12
2 2

A. ?

B. ?

3 2

C.

2 2

D.

3 2

? x ? y ? 1 ≤ 0, ? 16.不等式组 ? x ? y ? 2 ≤ 0, 表示的平面区域的面积等于 ?x ≥ 0 ?
A.

3 2

B. 2

C.

9 4

D.

5 2

17.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是单调函数,其部分图象如图 所示,那么不等式 f ( x ) ? 3 的解集为

?? ) A. (0, ?? ) C. ( ? 2,

0) B. ( ??, ? 2) D. ( ??,

18.已知圆 x 2 + y 2 = 1与圆 ( x - 3)2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 相外切,那么 r 等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

19.在植树活动中,每名同学可从两种树苗中任选一种进行种植,那么甲乙两名同学选择同 一种树苗的概率是 A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 4

2) , b ? (1, 0) ,那么向量 a ? 2b 与 b 的夹角为 20.已知向量 a ? (0,
A. 135? B. 120? C. 60 ? D. 45 ?

21.某地区有网购行为的居民约 10 万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比 例情况,现从中随机抽取 168 人进行调查,其数据 如右表所示. 由此估计,该地区网购消费金额占日 常消费总额的比例在 20% 及以下的人数大约是 A. 1.68 万 B. 3.21 万 C. 4.41 万 D. 5.59 万

数学试卷

第 3 页 (共 10 页)

22.已知数列 ? an ? 满足 an + an?1 ? n ,那么其前 4 项的和 S4 等于 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

23.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1D1 中, E,F,G,H 分别是棱 A1 B1 ,BB1 ,CC1 ,C1D1 的 中点,那么 A. BD1 // GH B. BD // EF C.平面 EFGH // 平面 A1 BCD1 D.平面 EFGH // 平面 ABCD

???? ??? ? ???? ? 24.如图,在△ ABC 中,点 D 在线段 BC 上, BD ? 2 DC . 如果 AD ? x AB ? y AC ,那么

1 2 A. x ? , y? 3 3 2 1 B. x ? , y? 3 3 2 1 C. x ? ? , y? 3 3 1 2 D. x ? , y?? 3 3
25.从 2008 年京津城际铁路通车运营开始,高铁在过去几年里快速发展,并在国民经济和日 常生活中扮演着日益重要的角色. 下图是 2009 年至 2016 年高铁运营总里程 数的折线图 (图 ... 中的数据均是每年 12 月 31 日的统计结果).

根据上述信息,下列结论中正确的是 A.截止到 2015 年 12 月 31 日,高铁运营总里程数超过 2 万公里 B.2011 年与 2012 年新增 高铁运营里程数之和超过了 0.5 万公里 .. C.从 2010 年至 2016 年,新增 高铁运营里程数最多的一年是 2014 年 .. D.从 2010 年至 2016 年,新增 高铁运营里程数逐年递增 ..

数学试卷

第 4 页 (共 10 页)

第二部分
26. (本小题满分 5 分)

解答题(每小题 5 分,共 25 分)

已知函数 f ( x ) ? sin 2 x ? cos 2 x . (Ⅰ) f (0) ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间.

27. (本小题满分 5 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PB ? PC , AB ? AC . D , E 分别是 BC , PB 的 中点. (Ⅰ)求证: DE // 平面 PAC ; (Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 PAD .

28. (本小题满分 5 分) 已知数列 { an } 是公差为 d 的等差数列, a1 ? 3 , a3 ? 9 . (Ⅰ)公差 d ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

2, 3, ?) (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? a2n ( n ? 1, ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

数学试卷

第 5 页 (共 10 页)

29. (本小题满分 5 分) 已知⊙ M : x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 . (Ⅰ)⊙ M 的半径 r ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

3) , B ( 2, 5) , (Ⅱ) 设点 A (0, 试判断⊙ M 上是否存在两点 C , 使得四边形 ABCD D,
为平行四边形?若存在,求直线 CD 的方程;若不存在,请说明理由.

30. (本小题满分 5 分) 科学研究表明:人类对声音有不同的感觉,这与声音的强度 I (单位:瓦/平方米)有 关. 在实际测量时,常用 L (单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度 I 满足关系式: L ? a ? lg

I ( a 是常数) ,其中 I 0 ? 1?10?12 瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙 I0

声的强度 I ? 1 ? 10?11 瓦/平方米,它的强弱等级 L ? 10 分贝. (Ⅰ) a ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

(Ⅱ)已知生活中几种声音的强度如下表: 声音来源 声音大小 强度 I (瓦/平方米) 强弱等级 L (分贝) 那么 m ?

风吹落叶沙沙声

轻声耳语

很嘈杂的马路

1 ? 10 ?11
10

1 ? 10 ?10

1 ? 10?3
90

m

; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

(Ⅲ)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过 50 分贝,求此时 声音强度 I 的最大值.

数学试卷

第 6 页 (共 10 页)

2017 年北京市夏季普通高中会考 数学试卷答案及评分参考
[说明] 1. 第一部分选择题,机读阅卷. 2. 第二部分解答题. 为了阅卷方便, 解答题中的推导步骤写得较为详细, 考生只要写明 主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同, 正确者可参照评分标准给分. 解答右端 所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

第一部分 选择题 (每小题 3 分,共 75 分)
题号 答案 题号 答案 题号 答案 1 B 10 A 19 C 2 B 11 C 20 A 3 A 12 A 21 D 4 B 13 A 22 B 5 D 14 B 23 C 6 B 15 D 24 A 7 A 16 C 25 C 8 B 17 A 9 C 18 B

———

第二部分 解答题 (每小题 5 分,共 25 分)
26. (本小题满分 5 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x . (Ⅰ) f (0) ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. (Ⅰ)解: f (0) = 1 . (Ⅱ)解:由题意得 f ( x) ? 所以 T ? ? . ……………………………………2 分

π 2 sin(2 x ? ) . 4

π π π ≤2 x ? ≤2kπ ? , k ? Z , 2 4 2 3π π 所以 kπ ? ≤x ≤kπ ? , k ? Z . 8 8 3π π ,kπ + ] , k ? Z . …………5 分 所以 f ( x) 的单调递增区间是 [ kπ ? 8 8 27. (本小题满分 5 分)
因为 2kπ ? 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,PB ? PC ,AB ? AC .D ,E 分别是 BC ,PB 的 中点. (Ⅰ)求证: DE // 平面 PAC ;

数学试卷

第 7 页 (共 10 页)

(Ⅱ)求证:平面 ABC ? 平面 PAD . (Ⅰ)证明:因为 D ,E 分别是 BC ,PB 的中点, 所以 DE //PC . 因为 DE ? 平面 PAC ,PC ? 平面 PAC , 所以 DE // 平面 PAC . ……………………………………2 分

(Ⅱ)证明:因为 PB ? PC ,AB ? AC ,D 是 BC 的中点, 所以 PD ? BC ,AD ? BC . 因为 PD ? AD ? D , 所以 BC ? 平面 PAD . 因为 BC ? 平面 ABC , 所以 平面 ABC ? 平面 PAD . ……………………………………5 分

28. (本小题满分 5 分) 已知数列 { an } 是公差为 d 的等差数列, a1 ? 3 , a3 ? 9 . (Ⅰ)公差 d ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

2, 3, ?) (Ⅱ)数列 {bn } 满足 bn ? a2n ( n ? 1, ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .
(Ⅰ)解:公差 d ? 3 . ……………………………………2 分

(Ⅱ)解:因为 等差数列 { an } 的公差 d ? 3 , a1 ? 3 , 所以 an ? 3n . 所以 bn ? a2n ? 3 ? 2n . 所以 数列 {bn } 是首项为 6 ,公比为 2 的等比数列. 所以 S n ? 29. (本小题满分 5 分) 已知⊙ M :x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 . (Ⅰ)⊙ M 的半径 r ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

6(1 ? 2 n ) ? 6 ? 2 n ? 6 . …………………………………… 5 分 1? 2

3) , B ( 2, 5) , (Ⅱ) 设点 A (0, 试判断⊙ M 上是否存在两点 C , 使得四边形 ABCD D,
为平行四边形?若存在,求直线 CD 的方程;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)解:⊙ M 的半径 r ? 2 . ……………………………………1 分

数学试卷

第 8 页 (共 10 页)

(Ⅱ)解:由 x2 ? 4 x ? y 2 ? 0 得 (x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .

0) . 所以 ⊙ M 的半径 r ? 2 ,圆心 M (2, 3) , B ( 2, 5) 可得 直线 AB 的斜率为 由点 A (0,

5?3 ? 1 , AB ? 2 2 . 2?0

如果存在点 C , D ,使得四边形 ABCD 为平行四边形,那么 AB ∥ CD ,

AB ? CD .
设直线 CD 的方程为 y ? x ? b ,则点 M 到直线 CD 的距离 d ?

2?b 2

.

2 由r ??

CD 2

?

2

? d 2 可得 4 ? 2 ?

(2 ? b) 2 ,解得 b ? 0 ,或 b ? ? 4 . 2

当 b ? 0 时,直线 CD 的方程为 x ? y ? 0 ,此时 C (2, 2) , D (0, 0) ; 当 b ? ? 4 时,直线 CD 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,此时 C (4, 0) , D (2, ? 2) . 所以 ⊙ M 上存在两点 C , D ,使得四边形 ABCD 为平行四边形. …5 分

30. (本小题满分 5 分) 科学研究表明:人类对声音有不同的感觉,这与声音的强度 I (单位:瓦/平方米)有 关. 在实际测量时,常用 L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度 I 满 足关系式: L ? a ? lg

I ( a 是常数) ,其中 I 0 ? 1?10?12 瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声 I0

的强度 I ? 1 ? 10?11 瓦/平方米,它的强弱等级 L ? 10 分贝. (Ⅰ) a ? ; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

(Ⅱ)已知生活中几种声音的强度如下表: 声音来源 声音大小

风吹落叶沙沙声

轻声耳语

很嘈杂的马路

数学试卷

第 9 页 (共 10 页)

强度 I (瓦/平方米) 强弱等级 L (分贝) 那么 m ?

1 ? 10 ?11
10

1 ? 10 ?10

1 ? 10?3
90

m

; (将结果直接填写在答题卡 的相应位置上) ...

(Ⅲ)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过 50 分贝,求此时 声音强度 I 的最大值. (Ⅰ)解: a ? 10 . (Ⅱ)解: m ? 20 . (Ⅲ)解:由题意,得 L ≤50 . 所以 10 ? lg ……………………………………1 分 ……………………………………3 分

I ≤ 50 . 1?10?12

解不等式,得 I ≤10?7 . 答:此时声音强度 I 的最大值为 10 ?7 瓦/平方米. …………………………5 分

数学试卷

第 10 页 (共 10 页)


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